一種新型工具準確解決化圓為方及相關問題

摘 要：本文通過一種新型的工具，僅用有限的幾步，實現化圓為方。該新型工具，不僅可以化圓為方，而且實現了化扇為方和化方為圓。

關鍵詞：新型工具 化圓（扇）為方 圓度量法 化曲為直

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2012）12（c）-0100-02

用直尺和圓規作圖，化圓為方是古代數學幾何作圖的三大難題之一，而化扇為方和化方為圓則又是在此問題上衍生的更難的問題。

早在二千四百多年前，古希臘人提出的三大幾何作圖問題之一，即求作一個正方形，使得它的面積等于已知圓的面積。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺和圓規。吸引了無數人研究，但無一人成功。1882年，法國數學家林德曼證明了π是超越數，同時證明了化圓為方單靠尺規是不可能的事。因為19世紀有人證明了若設任意給定的長度單位，則尺規可作的線段長必為代數數，而化圓為方相當于求作長為的線段，但并非代數數，因此尺規不可能作出。

雖然化圓為方問題可以通過各種辦法近似做到，但是到目前為止，尚無一人準確做出化圓為方。探究尺規作圖無法實現化圓為方的本質，原因在于幾何尺規作圖中的圓規自身不存在度量弧的功能。實際上利用幾何圓規，在紙上畫出一個圓，然后將此圓裁剪下來，安裝在幾何圓規保留作圖痕跡的一個尖角上，成為一種新型作圖工具后，就可以利用此圓的轉動度量弧，從而準確解決化圓為方等問題。

1 新型工具

（1）尺規作圖工具：尺畫直線，規畫圓弧。

（2）新型工具（圖1）：同樣具有尺畫直線，新型工具畫圓弧的功能。當新型工具一個尖角上的圓靜止時，就是規畫圓弧，即用一個靜止的點的移動來描述圓弧（無數個點的痕跡）。當新型工具一個尖角上的圓在紙面上轉動時，在紙面上留下的痕跡仍是圓弧，即就是轉動圓上弧的點和在紙面上留下的弧的點一一對應。也就是用轉動圓上的弧度量紙面上的弧。

2 問題解決

2.1 化圓為方：即求作一個正方形，使得它的面積等于已知圓的面積（如圖6）

（1）作圖說明：如圖6，設已知⊙O的半徑為OA=R，則有S正方形=S圓=πR2=（R）2，也就是只要得到R線段的長即可，采用圓度量法度量⊙O的周長，結合直尺將⊙O周長轉化為線段AB=2πR，利用相交弦定理的推論找出AC=πR和OA=R這兩條線段的比例中項為AD=R.（相交弦定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。）

（2）作法：①以O為圓心，任意長OA=R為半徑畫圓。

①以O為圓心，OA=R為半徑，讓轉動圓上的標記點A'和紙面上點A完全重合（圖2），扭動新型工具，讓新型工具上的轉動圓緩緩沿著⊙O轉動一周，當轉動圓與紙面上A點重合時，在轉動圓上標記點B'，（圖3）得到轉動圓上的弧長A'B'=2πR。

②延長OA，讓直尺的邊與射線OA重合，轉動圓上的A'與紙面上的點A完全重合（圖4），讓轉動圓沿著直尺轉動，直到轉動圓上的標記點B'與紙面相接時，在射線OA上標記點B，即線段AB=弧A'B'的長度=2πR。（圖5）

③取線段AB=2πR的中點C，即AC=πR。

④以OA=R和AC=πR的和OC為直徑畫圓，過點A作OC的垂線交圓于D、F兩點，則DA=R（相交弦定理的推論）。

⑤以DA=R為邊長作正方形DAEG，正方形DAEG就是與⊙O面積相等的正方形。

以上作圖步驟①和②，就是拿新型工具上的轉動圓度量出⊙O的周長（弧長）為弧A'B'的弧長。然后用直尺將轉動圓上的弧A'B'轉化為線段AB=弧A'B'的長度=圓周長2πR，我們把這樣的度量截取的方法叫做圓度量法.使用新型工具將弧轉化為線段的效果概括為化曲為直。

2.2 化扇形為方，即求作一個正方形，使它的面積等于已知扇形的面積

作圖說明：如圖7。設扇形OAB的半徑OA=R，弧AB的長度為L，則有S正方形=S扇形OAB=1/2LR=（）2，也就是只要得到的線段長即可。同樣將扇形OAB的弧長L用圓度量法，轉化為線段AC=L（化曲為直）。利用相交弦定理的推論得出線段OA=R，和AD=1/2 L這兩條線段的比例中項為AE=，即以AE=為邊長的正方形AEFG就是與扇形OAB面積相等的正方形（如圖7）。

2.3 化方為圓.即求作一個圓，使得它的面積等于已知正方形的面積（如圖8）

作圖說明：如圖8，設正方形OADE的邊長為OA=X，所要求的圓的半徑為R，則有S圓=S正方形=X2=π（X/）2，也就是只要作出R=x/的線段，就解決了化方為圓。首先用前面化圓為方問題中相同的辦法由線段OA=X得到AF=X，即就是以O為圓心，OA=X為半徑畫圓，采用圓度量法度量⊙O的周長，通過化曲為直的辦法得到AC=1/2AB=πX，利用相交弦定理的推論找出AC=πX和OA=X這兩條線段的比例中項為AF=X，其次再利用相交弦定理的推論，由于R·AF=OA2中AF=X，和OA=X已經作出，然后利用尺規作圖法，完全可以作出AG=R=OA2/AF=X2/（X）=X/的線段。⊙A就是與正方形OADE面積相等的圓。

總之，尺規作圖工具中，有圓規就有圓.新型作圖工具不過就將尺規作圖工具所作的一個圓裁下來安裝在圓規轉動的一個尖角上。正是這樣的新型工具，不僅滿足尺規作圖工具的所有要求，而且輕而易舉的解決了“化圓為方、化扇為方”和“化方為圓”。從更普遍的解決問題來看，新型工具，是完善尺規作圖的工具。

參考文獻

[1]李文林.數學史概論[M].2版，北京：高等教育出版社，2002.

[2]李跟娃，王應戰.一種新型工具準確解決三等分角及相關問題[J].讀寫算（教育教學研究），2012（35）.