《實數》教學設計與反思

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089(2012)02-0080-01

教學目標：

（1）通過的故事引入無理數，了解無理數的發現是人類理性思維的勝利，是人類對數的認識上的飛躍，是數學發展史上的一個重大突破。

（2）通過動手操作親歷發現無理數的過程，理解無理數是客觀存在的數。

（3）通過對比分析，理解無理數是無限不循環小數。會辨別一個數是否是無理數。

（4）了解數系從整數到有理數、再到實數的擴展過程，理解實數系統的結構；體會分類思想。

教學重點：

理解無理數是無限不循環小數。會辨別一個數是否是無理數。

教學難點：

理解無理數是客觀存在的數。

教學過程：

一、復習舊知，作好鋪墊

1.同學們，你們什么時候開始接觸“數學”？

2.你最初接觸到的“數學”是什么？

3.請你想一想，到目前為止，你認識了哪些數？

4.人類對于數的認識，就像我們每個人一樣，經歷了一個逐步擴展的過程。先有自然數，接著出現了分數和小數，引入負數之后，數的范圍擴大到了有理數。

5.我們先把我們學過的這些數整理一下：

復習有理數的分類。（板書）

任何一個有理數都可以寫成用兩個整數之比表示的分數（q≠0）的形式。

6.人們都認為，數的擴充可以到此為止了，有理數已經夠用了。你認為呢？

二、創設情境，激趣導入

1.從古埃及到古代中國的數學，都認為任何一個量，總可以用有理數來表示，但是，出生于公元前約470年的古希臘數學家希帕斯（Hippasus）發現了一種實際存在的量，卻不能表示為兩個整數的比。（這意味著什么？）當時他所在的畢達哥拉斯（Pythagoras）學派認為這不合常理，與他們一直信奉的“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭，這一發現使畢氏學派惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希帕斯因此被囚禁，受到百般折磨，傳說2500年前，在愛琴海岸邊，希帕斯被綁上巨石投進了大海……當然，后來人們知道，這是一個偉大的發現，也是數學史上一個重要的里程碑。

2.現在就讓我們隨著前人的腳步，一起探索，思考，一起來認識數。

三、嘗試探討，學習新知

1.這是一個面積是4的正方形，你能得到什么？

面積是9的正方形呢？

面積是25的正方形呢？

那么面積是2的正方形呢？

2.問題1：面積為2的正方形存在嗎？

（1）利用兩個邊長為1的正方形思考這個問題。

（2）學生小組討論操作。

（3）實物投影演示。

3.問題2：面積為2的正方形的邊長是多少？

（1）分析：這條邊長的平方是2，若設邊長是x，那么x2=2。

（2）我們用來表示。

（3）若一個面積是3的正方形，你能得到什么？面積是5的正方形呢？

4.問題3：是個什么數？

（1）學生討論，暢所欲言。

（2）不是有理數，就不是有限小數，無限循環小數，它只能是無限不循環小數。這是一種新的數，是我們要研究的對象。

5.問題4：像這樣的無限不循環小數還有嗎？

（1）學生舉例、……

（2）還可以構造一些無限不循環小數，教師舉例。

（3）揭示概念無理數，正負無理數，互為相反數的無理數。

（4）實數的分類。

6.例題：將下列各數放入圖中適當的位置：

-0.101001000100001、0、-2、4、3.14、0.23、π、0.3733373337…

（1）學生嘗試分類。

（2）你認為哪些數在填寫時容易出錯。

四、反饋小結、深化理解

1.通過這節課的學習你有什么收獲？

2.完成練習11.1第二題。

五、作業布置

習題冊、習題11.1。

課后反思：

無理數的產生是現實生活的需要和解決數學內部矛盾的需要，對無理數的認識是“超經驗”的，數的范圍擴展是基于人類的理性思考；過去所有教材都先寫開平方根，由開方引出無理數。這與人類歷史上對數的認識過程不符，新教材的寫法突出無理數的發現是人類對數的認識的一種飛躍，一種質變，是對首創精神的尊重。

為了遵循課本重視探源、說理，培育學生理性精神的思想，我在課前設計了三個問題：（1）你們什么時候開始接觸“數學”？（2）你最初接觸到的“數學”是什么？（3）請你想一想，到目前為止，你認識了哪些數？讓學生感受人類對于數的認識，是經歷了一個逐步擴展的過程。并與有理數分類方法進行比較，為實數的分類作鋪墊。這節課對無理數的探究有三個步驟。

第一，探究生活中是否存在無理數。通過操作產生面積為2的正方形，由正方形的邊長引出“”；教師應做簡單的說理，讓學生感知數學需要理性的思考和想像；

第二，探究是什么樣的數。通過與有理數比較分析，推出只能是一個無限不循環小數，即無理數；

第三，探究是否存在其他的無理數。舉面積為3、5、6、7、8、10的正方形邊長及圓周率π為例，說明無理數普遍存在。

通過拼圖操作，得到一個面積為2的正方形，再提出求這個正方形邊長的問題；根據平方的意義，把面積為2的正方形邊長表示為“”，然后指出不是有理數，只能是一個無限不循環小數。動手操作和問題討論的目的，是讓學生感受的現實意義，并認識到用已有的有理數不能準確表示這一線段長度，因而需要尋找一種新的數來解決問題；同時調動學生學習和思維的積極性，幫助學生體驗無理數的產生過程，引導學生用科學的眼光認識世界。

在例題的處理上，從不同的角度幫助學生理解實數系中各類數的概念。例題中通過問題“你認為哪些數在填寫時容易出錯”，對-0.101001000100001、3.14、應給予關注。

小結部分應該是這節課的另一個亮點，應給予充裕的時間和充分的重視，除了知識點的小結，更要重視對無理數的產生是現實生活的需要和解決數學內部矛盾的需要，對無理數的認識是“超經驗”的，數的范圍擴展是基于人類的理性思考的小結。