不等式的解法

摘 要：不等式問題貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程，不等式不僅是一類常見類型，更是一種解題工具。很多學(xué)生看見不等式題目就無從下手，所以從必修的集合開始就對(duì)不等式敬而遠(yuǎn)之，特別是對(duì)有些不等式的求解，常有同學(xué)因不會(huì)變通或思維定勢，導(dǎo)致因運(yùn)算過繁而計(jì)算終止或棄而不解。針對(duì)這種情況，本文就結(jié)合教學(xué)中的實(shí)例談?wù)劜坏仁降膬?yōu)化問題。

關(guān)鍵詞：不等式；解析

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）22-312-01

一、一元高次不等式的解法

【例1】 解不等式：

【分析】 如果多項(xiàng)式可分解為個(gè)一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“區(qū)間法”求解，但要注意處理好有重根的情況.

解：（1）原不等式可化為把方程的三個(gè)根順次表上數(shù)軸，然后從右上開始畫曲線順次經(jīng)過三個(gè)根，其解集如圖（5-1）的陰影部分.所以原不等式的解集為

（2）原不等式等價(jià)于

所以原不等式解集為.【說明】 用“區(qū)間法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：①各一次項(xiàng)中的系數(shù)必為正；②對(duì)于偶次或奇次重根可參照（2）的解法轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“區(qū)間法”，但注意“奇穿偶不穿”.其法如圖（5-2）.

二、分式不等式的解法

【例2】 解下列不等式：

【分析】當(dāng)分式不等式化為時(shí)，要注意它的等價(jià)

①②

解：（1）原不等式等價(jià)于

所以原不等式解集為（-∞，-2）∪〔-1，2）∪〔6，+∞）.

三、無理不等式的解法

【例3】解下列不等式 ：

【分析】無理不等式的基本解法是轉(zhuǎn)化為有理不等式（組）后再求解，但要注意變換的等價(jià)性.

解：（1）原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于【說明】解無理不等式需從兩方面考慮：一是要使根式有意義，即偶次根號(hào)下被開數(shù)大于或等于零；二是要注意只有兩邊都是非負(fù)時(shí)，兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向才不變.

四、含指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的解法

【例4】解下列不等式：【分析】（1）可以化成以為元的一元二次不等式問題（2）可以整理為

解：（1）原不等式等

（2）原不等式等價(jià)于

解對(duì)數(shù)不等式需注意各真數(shù)必為正數(shù).在利用對(duì)數(shù)性質(zhì)時(shí)，需注意變換的等價(jià)性，否則會(huì)出現(xiàn)增解或漏解.

此外含絕對(duì)值不等式如：解此題關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)主要利用當(dāng)不等式的對(duì)數(shù)或指數(shù)底數(shù)含有字母或未知數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論。