《三角形的中位線》案例

摘 要：“三角形中位線性質”的具體應用，展現(xiàn)了“三角形中位線”的“迷人風采”，同時也向學生說明了三角形中位線的性質的運用背景和條件，為學生準確熟練地運用三角形的中位線的性質進行解題提供了證明和實例。另外例1也是一道很有研究價值的題目，可通過本題引申和挖掘出“中點四邊形”的有關問題。

關鍵詞：三角形的中位線；設計意圖；效果

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）14-188-03

【案例背景】

本節(jié)課是筆者在2009—2010年學年度第一學期所上的一節(jié)校級公開課。所授班級學生有優(yōu)生有中等生也有后進生。這節(jié)課學生積極主動參與，課堂氣氛活躍，師生關系平等，教學效果良好。

【教材分析】

《§3.6 三角形的中位線》是蘇科版八年級（上冊）第三章《中心對稱圖形（一）》的“收官之作”。是繼“中心對稱圖形的認識”、“中心對稱圖案的設計”、“幾個具體的中心對稱圖形的性質和識別”之后的知識“深化”和“拓展”，是前面幾節(jié)知識的“綜合”和“提煉”。《三角形的中位線》這一知識點，是遵循數(shù)學知識循序漸進，數(shù)學能力螺旋上升，數(shù)學方法不斷強化，數(shù)學思想也由“幕后”走上“臺前”這幾個特點呈現(xiàn)給學生的。它利用中心對稱變換，將三角形的中位線的性質的研究轉化為平行四邊形性質的研究，既展示了“幾何變換”的數(shù)學方法，也滲透了“轉化”的數(shù)學思想，更強化了知識的整合度和關聯(lián)度。但運用中心對稱的性質推理論證三角形中位線的性質畢竟與學生的常規(guī)思維有所沖突（尤其是七年級下學期學習過“全等三角形”后，反應更為強烈），顯得有點“另類”，因此，筆者在組織本節(jié)課教學時運用中心對稱的性質理解三角形中位線的性質、規(guī)律等，體現(xiàn)教材的編寫意圖。

【教學目標】

知識與技能目標：理解并掌握三角形中位線的概念和性質并運用性質解決簡單的實際問題。

過程性目標：經(jīng)歷探索三角形中位線性質的過程，體會轉化的數(shù)學思想；

情感與態(tài)度目標：

1、通過情境問題的研究，提高學生學習數(shù)學的興趣；

2、通過三角形中位線性質的探索研究，樹立學生的自信心和面對困難解決問題的決心；

3、培養(yǎng)學生獨立思考，大膽發(fā)表個人見解的學習品質。

數(shù)學思考：在探索三角形中位線性質的活動過程中，通過對圖形的觀察、測量，發(fā)展學生的幾何直覺。通過對證明思路的剖析，發(fā)展學生的數(shù)學聯(lián)想能力。

解決問題：

1、能運用三角形中位線的性質解決一些具體的數(shù)學問題；

2、通過對例1的引申拓展的總結反思，獲得對“中點四邊形”的深刻認識。

【教學重點】

探索并掌握三角形中位線的性質以及用其性質解決實際問題。

【教學難點】

1、運用轉化思想得出三角形中位線的性質；

2、運用中心對稱的性質論證三角形中位線的性質。

【教學手段】

多媒體、數(shù)學學具。

【教學過程】

一、創(chuàng)設問題情境，產(chǎn)生認知沖突，激發(fā)探索欲望

師：上初二的小明和上初三的小亮是同村一對很要好的伙伴，對數(shù)學有著共同的興趣愛好使他們經(jīng)常在一起探討數(shù)學問題。

雙休日的一天，他們相約來到村頭的清水潭，他們在潭邊的一棵樹（A點）坐下。小亮望著對岸的一棵樹（B點），對小明提出一個問題：“小明，你會用什么方法得知這棵樹和對岸的樹相距多遠？”“用工具測量一下，不就行了嗎？”小明立即回答， “可以這樣：在潭邊找到可以直接到達A、B兩點的一個恰當?shù)狞cO，用皮尺連接AO、BO，并分別延長到點C和點D，使OC =OA，OD =OB。用皮尺測量出CD的長就可以知道AB的長了。” 小明邊說邊在地上畫出了示意圖（如圖1）。

設計意圖：體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又回歸于生活，服務于生活。

效 果：激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

親愛的同學們，你說小明的測量方案正確嗎？有依據(jù)嗎？（停頓，讓學生思考）

生：小明的測量方案正確，依據(jù)是三角形全等的性質。

師：小亮對小明說，“你的測量方案可行，但我還有一種簡便的方法。 我不需要延長AO、BO，只要用皮尺找到他們的中點M和N，用皮尺量出MN的長度我就可以知道A、B兩點間的距離了”。（如圖2）

小明一聽，有點丈二和尚摸不著頭腦，就問小亮，“你的測量依據(jù)是什么？”小亮固作神秘狀，慢言細語地說：“這是嘛，三角形的中位線……”

設計意圖：欲擒故縱。

效 果：筆者看到了學生的求知欲望。

親愛的同學們，你知道小亮要說的是什么嗎？他的測量方案正確嗎？本節(jié)課我們就來探索這個知識。（引出課題并板題）

二、滿足學生需求，比較剖析概念，呈現(xiàn)學習新知

1、介紹“三角形的中位線”的概念。

小亮說的“三角形的中位線”是什么圖形呢？就是“連接三角形兩邊中點的線段”。如圖2，線段MN就△是OAB的中位線。

簡要說明“三角形的中位線”也是三角形中重要的線段。

2、剖析“三角形的中位線”和“三角形的中線”

這兩種線段都是有“中點”作為端點的線段，只不過“三角形的中位線”的兩個端點都是邊的中點，而“三角形的中線”的另一個端點是三角形的頂點；一個三角形有三條中線，也有三條中位線。

3、制造問題懸念，指明研究方向。

我們已經(jīng)知道，三角形的一條中線可以把三角形分成兩個面積相等的三角形，那么三角形的中位線具有什么特殊的性質呢？下面我們就一起走進“探索世界”。

設計意圖：自然而然過渡到研究三角形的中位線性質。

三、組織實踐活動，引導觀察發(fā)現(xiàn)，啟發(fā)推理論證

畫一畫：

1、在白紙上任意畫一個三角形ABC，使BC=6cm；

2、分別取AB、AC的中點D、E，連接DE；

量一量：

用刻度尺量出DE的長；

師：DE的長度是多少呢？

生：（異口同聲）3cm

猜一猜：

師：同學們所畫的三角形各不相同，為什么中位線DE的長都是3CM呢？同學們猜測一下DE的長度由誰來決定的？

生：由BC的長度決定（）

驗一驗：

師：請同學們再試一試，任意畫一個三角形ABC，使BC=4CM，取AB、AC的中點M、N，連接MN，量一量MN的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？與上面發(fā)現(xiàn)的結論一致嗎？

說一說：

師：你能用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：三角形的中位線等于第三邊的一半

設計意圖：由學生動手操作，感受規(guī)律，揭示規(guī)律。

效 果：激發(fā)了學生學習的主動性。

想一想：

師：三角形的中位線除了具有“等于第三邊的一半”外，它還具有什么性質？請觀察圖形、實踐測量后再回答你的發(fā)現(xiàn)？

生：三角形的中位線平行第三邊

設計意圖：鼓勵學生大膽猜想，激活學生的發(fā)散性思維。

你是怎么知道的？（預見：① 畫的三角形很特殊，三角形的中位線的兩個端點正好是格點；② 用三角板“推”出來的；③ 量同位角獲得的；）

證一證：

師：猜想是我們對事物的一種直覺，它還有待于我們對它進行嚴密的論證。下面我們師生就共同來解決這個問題。

引導策略一：要說明兩直線平行，我們可有哪些判定方法？（學生回答：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），這些方法在本題中有發(fā)揮作用的余地嗎？想一想，我們怎樣才能把三角形轉化為平行四邊形呢？

引導策略二：要證明“”，能否轉化為證明兩線段相等（這可是我們非常熟悉的形式）？如何轉化？（延長DE到F，使EF=DE），這樣論證的結論就變?yōu)樽C明“DF∥BC，DF=BC”（如圖3）

設計意圖： 討論結束后，呼應開頭的問題情境，說明小亮測量方案的正確性。

效 果：學生在教師的引導下自學自悟

四、嘗試運用新知，感受新辟思路，探究例題本源

1、直接運用：

如圖4，已知D、E、F是⊿ABC三邊的中點。

（1）若△DEF的周長是20㎝，則△ABC的周長為__________㎝；

（2）圖中，平行四邊形共有______個，分別是_______________；

（3）圖中四個小三角形有何關系：_____________； S△DEF= __________S△ABC；

2、綜合應用：

如圖5，已知直角△，，點分別是△三邊的中點。

（1）線段和有何數(shù)量關系？請說明理由；

（2）四邊形是一個什么四邊形？為什么？

設計意圖：通過本題對學生智力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。

效 果：優(yōu)等生勇于攀登。

3、例1教學：（1） 喚醒舊知：

師：如圖6，已知：分別是□四邊的中點，試問：四邊形是什么四邊形？你能用我們過去學過的知識來判斷嗎？說說你的思路。

生：利用兩對三角形全等得到EH=FG，EF=HG從而得到四邊形是平行四邊形。

（2） 激活新知：

師： 可以用我們剛剛學過的三角形中位線的知識來解決這個問題嗎？說說你的推理過程。（連接一條對角線）

（3）比照思考：

解題后，你有什么感想？

生：1、運用剛學過的三角形中位線的性質來解決本題比以前用全等三角形知識來說明更簡捷，新知好用!

2、運用三角形的中位線的性質來解題，要將中位線置于一個三角形中，如果三角形不完整，要構造出三角形。

師：你有什么困惑的地方？

生：“平行四邊形”這個條件沒有用到。

設計意圖：留下懸念

（4）變式引申：

平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形，那么一般的四邊形的中點四邊形又是什么形狀呢（如圖 7）為什么？

（5） 拓展探索：

問題1、一個四邊形的中點四邊形可不可以是矩形？舉一例說明（菱形）。具備什么條件的四邊形才能保證他的中點四邊形是矩形？（對角線互相垂直）

問題2、一個四邊形的中點四邊形可不可以是菱形？舉一例說明（矩形、等腰梯形）。具備什么條件的四邊形才能保證他的中點四邊形是菱形？（對角線相等）

問題3、通過前面的研究，你認為中點四邊形的形狀由原來四邊形的什么要素決定？如何決定的？

問題4、討論到現(xiàn)在，你能明白前面同學們提出的困惑“為什么平行四邊形這個條件對中點四邊形形狀的判斷沒用”的道理了嗎？

第5環(huán)節(jié)的重心要放在探討上，使學生獲得一個初步的直覺印象和一個大致的推理過程，由于時間的限制，筆者沒有提出過高、過細的要求，但要求學生課后對自己的判斷要有一個正確的解釋并寫出推理過程。

五、小結學習心得，反思教學

1、學生自主小結。在筆者的引導下，采用學生交流補充的方式完成本節(jié)課的學習小結。筆者引導時，從數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想、解題思路、解題規(guī)律以及學習品質等多角度、多層次地進行反思總結。

2、教學反思：（1）本節(jié)課整個課堂多數(shù)學生一直在三動即“動腦、動手、動口”，課堂氣氛一直活躍，體現(xiàn)了以教師為主導、學生為主體，以知識為載體、以培養(yǎng)學生的思維能力為重點的教學思想。教師以探究任務引導學生自學自悟的方式，提供了學生自主合作探究的舞臺，營造了思維馳騁的空間，在經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程中，培養(yǎng)了學生探究、歸納的能力。

（2）在課堂教學設計中，盡量為學生提供“做中學”的時空，不放過任何一個發(fā)展學生智力的契機，讓學生在“做”的過程中，借助已有的知識和方法主動探索新知識，擴大認知結構，發(fā)展能力，完善人格，從而使課堂教學真正落實到學生的發(fā)展上。

（3）“樂思方有思泉涌”，在課堂教學中，時時注意營造積極的思維狀態(tài)，關注學生的思維發(fā)展過程，創(chuàng)設民主、寬松、和諧的課堂氣氛，整個課堂顯得生動活潑，讓學生暢所欲言，這樣學生的創(chuàng)造火花才會不斷閃現(xiàn)，個性才得以發(fā)展。