摭談高中數學教材中的向量

摘 要：現行高中數學教材引入向量概念，它應用較廣，如幾何、三角函數、解析幾何等，是一個很好的數學工具。

關鍵詞：向量；應用；數學工具

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）14-199-01

當你翻開現行的高中數學教材瀏覽一下，你會發現必修課多了向量、計算機和微積分等內容，比2000年以前的教材確實改革了不少，刪除了一些過時和不必要的內容，讓人真切感受到現代數學的氣息，體現了“人人學有價值的數學”的大眾數學理念及“與時俱進”的舉措。真是什么時代出什么樣的教材。2000年以前的中學數學老師對這一部分教材多數人應是比較陌生的。細細品讀向量的內容，你會為其簡單明了的思路而吸引，大有相見恨晚的感覺。它很實用，有廣泛的物理和數學背景，是研究物理中的運動學、力學、電學、宇航學等許多學科不可缺少的數學工具，為大學數學建立了一座橋梁，降低了學習平面幾何和立體幾何的難度，為三角函數、解析幾何、空間幾何搭起網絡聯系。近幾年的高考題都頻現它的身影。

用空間向量處理立體幾何問題，提供了新的視角，為解決問題提供了一種十分有效的工具，不夸張的說它是數學園地的一朵奇葩。傳統的立體幾何課程重視公理體系，強調用綜合法處理，強調邏輯推理與論證，學習難度較大，導致許多學生懼怕幾何，在新課程中引入向量，較難處理的問題用代數方法解決，從一定程度上改變了學生對立體幾何的態度，更重要的是加強了幾何與代數的聯系，培養了數形結合的思想，完善了數學認知結構。縱觀教材中的向量部分，向量作為一種數學工具，在平面幾何和空間幾何中直線的平行、夾角、比例分點、二面角等都有突出的應用，而且它的應用觸角延伸到不等式、三角、解析幾何。不僅新穎，而且簡單明了。引入向量的概念，不僅僅是以上幾個方面孤立的應用，它還嵌入到數學的方方面面，如復數、矩陣變換、解析幾何，凡是與帶有方向的數量都能派上用場。就像生活中的工具，沒有局限在哪一方面、哪一時刻用一樣。下面僅舉三個例子說明一下，對此有興趣的同志可查閱相關書籍。

例1：求異面直線的交角。如圖1，ABC-ABC是直棱柱，∠BCA=90°，點D、F分別是AB、AC的中點，若BC=CA=CC，則異面直線BD與AF所成的角的余弦值是多少？

分析:設棱長為2，BD與AF所成的角為，建立如圖二直角坐標系，則A(2，0 ，0)，B(0，2，0)，D(1，1，2)，F(1，0，2)，

通過此解法，連一條輔助線都不用做，只需建立直角坐標系，就可解得何樂不為。在現代計算器如此普及的年代用它就可算出來，以算代證不用在絞盡腦汁苦思冥想如何添加輔助線了。在此算式中如果就判斷兩條直線互相垂直，因此，此法也常用來判斷兩條異面直線是否互相垂直的依據。傳統的做法則需要補充一些輔助線，如圖三將直三棱柱補成一個正方體ACBP-ACBP，分別取AP、BD的中點為E、H，連DE、BE、EH。則AF∥=ED，故∠EDH即為所求。設正方體的棱長為2，則ED=，DH=，且EH⊥DB，故∠EDH =。從兩種方法來看，向量法顯然比較容易想到解題思路，而傳統的方法就有作輔助線的問題，從哪里作，相對比較難，看來學生會比較容易接受向量法。

一般的用空間向量解決立體幾何問題分成三步：

建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；

通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；

把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。

在平面里點到直線的距離用公式: d=，那么空間中的點到平面的距離是怎樣的？

例2. 求空間中的點到平面的距離。如圖四，正方形ABCD的邊長為4，GC垂直平面ABCD，且GC=2，點E、F分別是AB、AD的中點，求點B到平面GEF的距離。

要解決這一問題，我們先推導用向量法求空間中的一點到平面的距離的計算方法。

如圖五，設點P平面，A，ＰＱ⊥，PQＱ，是平面的一個法向量，

則點

P到平面的距離，d=。在圖五中

利用此計算方法，則Ｂ到平面ＧＥＦ的距離可求。不過利用此計算公式應先設平面的一個法向量n，求出法向量n的坐標后再求點到平面的距離。

解：如圖四，以點Ｃ為坐標原點建立空間直角坐標系，則根據已知條件，可得：Ｂ（４，０，０），Ｅ（４，－２，０），Ｆ（２，－４，０），Ｇ（０，０，２），所以設平面ＥＦＧ的一個法向量為＝（ｘ，ｙ，ｚ），則有⊥，⊥，

即它的一組解為ｘ＝－１，ｙ＝１，ｚ＝－３，從而得平面ＡＢＣＤ的一個法向量為＝（－１，１，－３）。

所以ｄ＝，即點Ｂ到平面ＧＥＦ的距離為。

運用向量的有關知識（向量加減法與向量數量積的運算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題，結合圖形特點，選定正交基底，用坐標表示向量進行運算解決幾何問題，體現幾何問題代數化的特點，數形結合的數學思想體現的淋漓盡致。

利用向量數量積的一個重要性質變形為可以解決不等式中一類含有乘積之和或乘方之和的式子的題目，采用構造向量去解，往往能化難為易，同時有效地提高學生的觀察分析能力和想象能力。

例3.設任意實數x、y滿足＜1，＜1，求證：

證明：構造向量：，由向量內積性質：（得：4

∴即

新教材使用這些年來，學生教師的反應如何。根據相關調查情況反映：對《全日制普通高級中學數學教學大綱》和《普通高中數學課程標準（實驗）》；《全日制普通高級中學教科書（必修）第二冊下（B）》和《普通高中課程標準實驗教科書》中關于空間向量和立體幾何的內容及教學要求進行了對比分析，并進一步通過對高三理科三個班209名學生進行問卷調查，還對部分學生進行了面對面的訪談調查，探尋空間向量的引入對學生學習立體幾何的影響。最后，將調查得到的數據進行合理統計和分析，得知：第一，從近年的高考要求中可以看出對向量內容的考察比重逐年增大，并且空間向量法為學生解決立體幾何多提供了一種可選擇的途徑。調查中顯示，重點班里有79.8%的學生認可空間向量法，平行班里有53.8%的學生認可，兩類班級均有過半的學生在情感態度上接受向量法.因此，對空間向量的學習，使學生初步領略了機械化的現代思想。第二，在解決立體幾何題中有關計算類型的題時，多數學生傾向于選用空間向量法。不同類型的題制約著學生不同方法的選擇，當面對立體幾何中的邏輯證明題時，選用傳統綜合法的學生多于選用向量法的學生，當面對立體幾何的計算題時，選用向量法的學生明顯多于傳統綜合法，但是無論哪一類型的題，均是選用向量法的學生得分率高于傳統綜合法。因此，空間向量的學習，影響著學生的學習成績，也為學生學習立體幾何提高了自信心，并且在一定程度上降低了學習難度，減弱空間想象力的培養要求。

以前，我們生活的那個年代，教材還沒有引入向量，對一些空間幾何題目教師都會感到棘手，何況學生。現在教材改革了，用起來，倍感好用。教材裁剪了一些不常用的東西，減輕學子們的負擔，更實用，更人性化了。使我們開闊了眼界，感觸頗深，特撰此文聊聊自己的感想。教材應符合社會的發展需要，既要能為上大學深造選拔人才，也要兼顧沒有進入大學深造而參加社會勞動實踐的學子知識儲備創造條件，要讓他們學的來，用的上。不要只為了升學而教學，從長遠的宏觀的來看更重要的是要提高全體國民的數學素質。要讓他們真真確確體會到數學就在生活工作中，能用學過的知識解決遇到的問題，不要把數學刻意的抽象拔尖以至于成為少數人欣賞的擺設。世界各國的數學教育都普遍重視解決實際問題，無論是美國的“數學課程標準”，還是英國的“國家數學課程”，都對數學應用能力的發展十分重視，瑞典的課程標準認為“數學課的根本目的是使所有的學生獲得解決他們日常生活中遇到的數學問題的能力”，法國的數學大綱也提出：“更重要的是學生應該運用所學知識解決自己在實踐中遇到的問題”。在我國，對教材的應用意識也是十分強調的。所學知識惟有學以致用，學以能用才有生命力。對新舊教材有過比較后人們自然會對哪種教材孰優孰劣做出評判的。