正午太陽高度角計算公式及分布規律的幾何分析

摘 要：通過幾何方法驗解釋正午太陽高度角的計算公式H=90°-∣α-β∣，太陽直射點與觀測點在勁線圈上的弧長所對應的圓心角的大小Φ，并得出地球表面任意一點正午太陽高度角H=90°-∣α-β∣=90°-Φ，當Φ增大時，觀測點的H將變小，反之則增大。

關鍵詞：正午太陽高度角；直射點；切線；圓心角

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-038-02

地球繞太陽公轉過程中，由于地軸的傾斜，地軸與黃道平面始終保持著大概66°34'的夾角，這樣，就造成了太陽直射點在南北緯23°26'之間往返移動。對于地球上的某觀測點而言，太陽高度角是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，太陽高度角又簡稱為太陽高度（H），在數值上等于太陽在天球地平坐標系中的地平高度。

太陽高度隨著地方時和太陽的赤緯變化而變化，如太陽直射點緯度以α表示，觀測點緯度用β表示，地方時(時角)以t表示，有太陽高度角的計算公式：

sinH＝sinβ sinα＋cosβ cosα cos t

日升日落，同一地點一天內太陽高度角是不斷變化的。正午時太陽高度角最大，正午時t=0，以上公式可以簡化為：

sinH＝sinβ sinα＋cosβ cosα，由兩角和與差的三角函數公式，可得：sin H＝cos(β-α) ，因此，得到正午太陽高度角的計算公式:

H=90°-∣α-β∣，當觀測點為夏半年時，

α取正值；當觀測點為冬半年時，α取負值。

一、正午太陽高度角的幾何分析

正午太陽高度角的計算公式H=90°-∣α-β∣也可通過幾何的方法來求證，假設太陽直射在北半球某點A（可以是在23°26'N上）而言，A地的緯度為α。現分三種情況，用幾何的方法來分析觀測點B的正午太陽高度角HB的大小，B點的緯度為β。

1、當觀測點B位于太陽直射點以北時。α、β、HB、Φ、太陽光線等的幾何關系，見圖（一）。由于太陽的體積較大，我們觀察來自太陽的光線近似為平行的光線。BK為B點的切線，<1+HB=90°。將過A點的太陽光線延長至地心O，將過B點的太陽光線延長至M點，直線OA和直線MB相互平行，<Φ和<1互為相等的內錯

圖（一）

角，把<1=<Φ=β-α，代入上式得如下公式（1）：

HB=90°-<1=90°-（β-α）………………（1）

2、當觀測點B位于直射點和赤道之間時，見圖（二）BK為B點的切線，將過B點的入射光線延長至M點，所以<1+<2=90°；

直線OA和直線MB相互平行，<Φ和<1互為相等的內錯角，把<1=<Φ=α-β，并代入上式得： <2=90°-<1=90°-（α-β），而<2和HB互為對頂角，得如下公

式（2）：

圖（二）

HB=<2=90°-（α-β）………………（2）

3、當觀測點B位于南半球時，觀測點為冬半年，為了幾何證明α仍取正值，見圖（三）。

延長B點的太陽光線至M，則直線OA與BM相互平行，<Φ和<1為相等的內錯角，BK為B點的

切線，則

<1+HB=90°，把

圖 （三）

<1=<Φ=β+α代入上式，得β+α+ HB=90°，公式變形：

HB=90°-（β+α），觀測點為冬半年，α取負值，則得如下公式（3）：

HB =90°-∣α-β∣……………………（3）

綜合公式（1）、（2）和（3）得出：

H=90°-∣α-β∣= 90°-Φ

從圖（一）、（二）、（三）可以看出公式中的Φ=∣α-β∣是表示直射點和觀測點之間間隔的緯度值，在幾何上表現為在經線圈上兩點弧長所對應的圓心角Φ的大小。如果兩地都在同一個半球（北半球或南半球），則兩點弧長所對應的圓心角的大小，在數值上就是∣α-β∣，為兩地緯度的數量之差；如果兩地分別位于不同的半球上，則兩點弧長所對應的圓心角的大小，在數值上則為α+β（α取正值）。

二、太陽高度角的分布規律

通過分析公式（1）、（2）和（3）可知，地球表面任一點正午太陽高度角的大小均為：H=90°-Φ。當兩地弧長所對應的圓心角Φ增大時，觀測點的太陽高度角則減小，反之則增大。

當太陽直射點移到最北端時，即直射在北回歸線時（夏至日），北回歸線以北地區任一點和直射點所對應的圓心角Φ達到一年中最小值，所以該點的太陽高度角達到一年中最大值，南回歸線以南地區則相反，達到一年中的最小值。

在南北回歸線之間的地區，觀測點一年有兩次的直射機會。其余時間里如果直射點逐漸遠離觀測點時，即Φ增大，觀測點的太陽高度角則逐漸減小，反之則逐漸增加。