談化歸思想在高考數學解答題中的應用

摘 要：本文對數學中化歸思想的內涵作了探討，先介紹了化歸思想的概念，然后從教學過程、教學觀、學習觀等方面介紹了如何應用化歸數學思想，以及化歸數學思想應遵循的原則，最后以幾道典型的高考理科數學試題為例，闡述了化歸思想在高考數學解答題中的應用。

關鍵詞：高考數學；化歸思想；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-044-02

一、前言

化歸思想是指問題在解決的過程中，將待解決的問題通過一系列的轉化手段，歸結為另一個問題，該問題相對未轉化前的問題而言，比較熟悉且容易解決或者有一種固有模式去解決，從而達到解決原問題的目的。由于高考模式趨于成熟和題型相對穩定，化歸思想可以使數學問題的解決變得目標明確、簡潔、起到化繁為簡、化難為易的效果，所以在高考數學的解題中有著廣泛的應用，掌握這種思想往往能起到事半功倍的效果，高考數學的解答題共六種題型：三角函數、立體幾何、概率、導數、數列，圓錐曲線，下面我結合高考數學中的三道代表性的試題予以說明化歸思想的應用。

二、如何應用化歸數學思想

教師在數學課堂教學的過程中，以教材中的數學知識為載體，充分挖掘里面所蘊含的數學思想和方法，化歸數學思想作為數學思想的一種，其實質是更本質的隱性的數學知識內容，所以數學教師應該充分的專研教材，通過典型例題的講解，讓學生達到領悟和運用的目的。

滲透這種思想要做到：首先要有一定的目的性，在具體的教學過程中，學生對這種數學思想掌握到什么程度同時要有一定的預見性，結合學生的知識結構和智力發展水平，確定教學目標，設計問題的提出，如何創設問題的情景，如何選擇合適的教學方法，整個過程都要經過縝密的思考，做到有目的有意識進行化歸數學思想方法教學，做到有的放矢。其次要有一定的計劃性，由于化歸數學思想是基于知識又高于數學知識的一種特殊的知識，是需要通過具體的實踐和反復的領悟、理解的，然后把這種數學思想恰到好處的納入原有的知識結構體系中，備好課，設計好課堂教學是貫徹化歸數學思想的基本保證。最后要有層次性，數學知識的或得應遵循循序漸進的原則，剛開始講授這種思想時，要用最簡單的例題講解，讓學生自己去體會理解，在熟練掌握的基礎之上，然后逐漸增加試題的難度，實現學生對數學思想的認識、理解和再創造的過程。田萬海老師認為：數學理解是一個逐步深入的過程，隨著學生認知水平的提高，對知識的理解會越來越深刻。在學習的不同階段，學生對所學知識的理解可以有不同的層次，不同的水平，[1]關于這一點國內的某些學者已達成共識。

化歸數學思想應用遵循的原則，一般認為應遵循簡單化原則、熟悉化原則，和諧化原則

簡單化原則是將難以直接處理的復雜問題轉化為容易處理的簡單問題，這樣可以使看起來非常棘手的問題變得容易處理。所謂的熟悉化原則是指將陌生問題轉化為熟悉的問題，把未知變為已知，在做數學試題的過程中就是把題目中的已知進行初加工，得到我們熟悉的問題。和諧性原則是將孤立的雜亂的問題進行梳理，或者聯立變形，有助于揭示各個數學對象之間的本質聯系。

三、化歸數學思想在高考解答題中的應用舉例

1、在三角函數解答題中的應用

例1 （2011年，重慶理科，16題）

設，滿足，求函數在上的最大值和最小值。

點評：本小題主要考查基本三角函數公式能否恰當應用，具體的做法是：高次化歸低次，異，角的終邊過（a，b），高考中三角函數解答題一般出三種題型：三角函數、解三角形、三角函數和解三角形綜合，化歸的思想在三角函數問題解題中體現地最明顯，也就說通過誘導公式或者和角、差角的正余弦公式展開后，就會出現次數較高的項，我們首先是考慮的是次數高且復雜，需要把次數降下來，一次的形式是我們比較熟悉的形式，當次數降低后既有正弦還有余弦，函數名多、復雜，此時正弦函數的性質用不上，所以就要考慮將不同的名化成相同的名：即的形式，這種形式比較常見，所以大多數同學處理起來就容易多了，高次化歸低次，異名化歸同名是化歸思想的最好體現，把繁瑣的數學問題轉化為簡單的數學問題，體現了化歸思想的簡單性原則。

2、在導數解答題中的應用

例2（2011年，遼寧理科數學，21題）

已知函數 （1）討論的單調性。（2）證明：當。（3）若函數的圖像與X軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為證明：

點評：利用導數求函數的單調區間是高考中的常考點，在解答題中屬于中等難度的題目，單點區間的求解問題化歸為含有參數的不等式問題來求解，不等式解集和原函數定義域的交集，就是原函數的單點區間，下面的表格是2011年高考理科數學導數解答題中函數單調區間求解方式的統計：

含有參數的一元二次不等式和一元一次不等式是我們比較熟悉的題目，所以原函數求導后就要考慮構造一個二次函數，有時候是一次函數，但是這種情況比較簡單，不常見。這也體現了化歸數學思想的熟悉性原則和具體化原則。函數的單調區間對于整道試題的求解意義非凡，起到承前啟后的作用，是函數的極值、最值的求解以及零點的判斷的已知條件。其重要性類似與圓錐曲線解答題中的圓錐曲線標準方程的求解，是成功解答出這道試題關鍵的第一步。

3、在圓錐曲線解答題中的應用

例3（2011年，北京理科數學，19題）

點評：直線與圓錐曲線的位置關系是每年高考數學考查的重點和難點，難度系數較小，得分率低，計算量大，上述特點已成為廣大高中數學教師的共識，圓錐曲線這道解答題主要考查學生的邏輯思維能力，運算求解能力，分析問題和解決問題的能力，該試題的一般解題思路是:首先求出圓錐曲線的標準方程，然后設出直線的方程（斜率存在與否有時候需要討論）聯立直線和圓錐曲線的方程消去一個變量，得到關于x或y的一元二次方程，通過韋達定理來求解，下面是2011年高考理科數學試卷中，圓錐曲線這道解答題可以化歸為一元二次方程這種形式的統計：

2011年的理科數學試卷中的70.6%圓錐曲線解答題的試題都可以化歸為一元二次方程，進而用韋達定理來求解，一元二次方程幾乎是所有同學熟悉的問題，體現了數學化歸思想的熟悉性原則，一元二次方程是直線和圓錐曲線的結合，同時也體現了化歸思想的和諧性原則。

四、結語

數學應用的根本意義在于數學思想方法的應用，所以歷史上歷次數學改革無不都是以數學思想作指導進行的，現代化數學教育改革的指導思想是“大眾數學”，其本質是常見數學思想的一個結合體。大量的實踐證明，如果數學教師在數學的教學中注重數學思想方法的教育，使學生更加透徹的理解所學的知識，提高分析問題、解決問題的能力，達到較好的學習效果，學生在考試時能迅速找到解決這類問題的通用方法，以不變應萬變，明確解題的方向，從而提高解題的速度。重視數學思想有利于培養學生的應用能力和創新精神，形成良好的思維品質。問題的求解并不是一層不變的，在具體的解決過程中要注意靈活變通，不斷地反思這種思想的應用，以便尋求有利于問題的求解方法和途徑。