“數學開放題”之我見

摘要:早在2003年全國高考數學科命題組就指出:“要考查一些開放問題”，國家教委也將“數學開放題”列為重點科研項目。相對于傳統的封閉題嚴密完整，開放題在構成問題的要素——條件、策略、結論中有一些是不明確的(分別稱為條件開放題、策略開放題、結論開放題)。

關鍵詞:數學;開放題

當前數學開放題之所以引起中學數學教師的關注，我認為一是以實踐能力、創新意識的培養為核心的素質教育深入的需要。數學開放題對培養學生思維的發散性(結論開放)、聚斂性(條件開放)、創造性(策略開放)不失為好載體。二是高考命題的導向作用，數學開放題走進高考試卷的需要。三是數學走向應用的需要。在素質教育的引導下，數學教育的目標不僅僅是要讓學生學會書上的數學理論，考試取得好成績，還要讓學生獲得良好的數學素養，能運用所學的數學知識解決實際生活中的問題，在分析和解決問題時能結合數學思想，使問題獲得更好的解決。為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學。筆者下面談談對數學開放題教學的一些認識。

一、砸破籬笆，讓學生展開想象的翅膀

青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代。開放題往往形式活潑，供學生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學生提供了一個展翅的舞臺。而封閉題往往形式單一，要求學生在特定的范圍內進行定向思維。長期做這類機械式的思維訓練，學生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆。這樣的教學活動，不僅沒有促進學生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想。通過開放式教學，可以讓學生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發揮自身才華。

根據我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬了這樣一道題:

開放題1 用一塊長2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形的鏡子(鏡面為完整的一體)，要使鏡面面積最大，該如何設計加工鏡子(注S橢=παb)。

本題考查的重點是橢圓的畫法。學生在解題過程中可以根據題意，在硬紙板上畫出題中所要求的橢圓。在進行整理解題思路時，學生至少可從以下幾個角度去思考:(1)建立坐標系，寫出方程描點;(2)確定焦點，長軸長，由第一定義得到;(3)用解析幾何課本中橢圓參數方程的定義;(4)利用橢圓規的工作原理。

二、 傳授定式，幫學生克服畏懼的心理

開放題引入課堂教學之初，學生的表現一是覺得好奇，感到有趣;二是感到畏懼，不知從何處入手。這就要求教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學生建立科學的思維定式。

1.尋找充分條件型開放題

開放題2 在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中(如圖5)，當底面四邊形ABCD滿足——條件時，有A1B1C1D1為正方形(填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形)。

這類題型，只需找到能使結論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結論成立的充要條件.這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件。

2.“是否存在”型開放題.

開放題3設{αn}是由正數組成的等比數列，Sn是其前n項和.是否存在常數C>0，使得■=lg(Sn+1-C)成立?并證明你的結論(1995高考卷第25題).

這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較小。若“存在”，就是具有適合條件的某種數學對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在。若“不存在”，一般需要有嚴格的推理論證。故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設存在滿足條件的數學對象，如果找出矛盾，說明假設不成立，進而否定假設。如果經過嚴格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可。

3.猜想型開放題

開放題4 已知數列{bn}是等差數列，b1+b2+……+bn=145， b1=1.(1)求數列{bn}的通項bn;(2)設數列{an}的通項an= loga(1+■)其中a>0且a≠1)，sn是數列{an}的前n項和，試比較sn與■logabn-1的大小(1998高考理科第25題).

解答這類開放題，要求學生學會猜想.牛頓早就說過:“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”美國數學教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼:“讓我們教猜測吧!”可我們在日常教學中，往往過分強調數學學科的嚴謹性和科學性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養，讓學生覺得數學枯燥、無趣、難學。

三、開展實驗，用計算機輔助開放式教學

利用計算機輔助教學有利于改善課堂氣氛，激發學生的學習興趣;有利于“觀察(實驗)、猜想、證明(否定)”這一思想方法的運用，快捷方便地驗證學生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動的時間.

開放題5 (荒島尋寶)從前，有個年輕人在曾祖父的遺物中發現一張破羊皮紙，上面指明了一項寶藏，內容是這樣的:

“在北緯**，西經**，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架。從絞架走到橡樹，并記住所走的步數，到了橡樹向左拐一個直角，再走相同的步數并在那里打個樁。然后回到絞架再朝松樹走去，同時記住所走的步數，到了松樹向右拐一個直角，再走相同的步數并在那里也打個樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏。”

年輕人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了。長期的日曬雨淋，一切痕跡也不復存在。年輕人無從下手，只好空手而返。同學們，你能用數學方法幫助這位年輕人嗎?

學生看到上述題目時，往往無從下手，找不到分析問題的切入點。我利用多媒體制作出了題目所描述的圖形，讓學生通過對問題進行重新分析，立刻提高了學生的積極性，活躍了課堂氣氛，使問題順利解決。

總之，學生的數學思維的培養不是一躍而蹴的，在素質教育下，教師要注意發展學生的創新能力，發散學生的思維，使學生能熟練運用所學數學知識，真正將數學知識內化，提高數學的思維能力。

參考文獻:

1.戴再平，《數學習題理論》，上海教育出版社，1991.4

2.張奠宙，《數學教育的全球化、開放化、信息化》數學教育，1998.5

3.王珂，《從高考的新題型—開放題引起的思考》，數學通報，1999.12

4.陳錫龍，《設計開放性的數學教學初探》，中學數學教學參考，1999.10

【責編 馮立偉】