約束多傳感器線性系統(tǒng)的RMPC容錯(cuò)控制
2012-04-29 00:00:00高學(xué)偉劉曉華
計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化 2012年3期
摘要：針對(duì)一類約束多傳感器線性故障系統(tǒng)，提出了一種基于魯棒預(yù)測(cè)控制策略的容錯(cuò)控制方案.首先為多傳感器線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了觀測(cè)器，然后離線設(shè)計(jì)不變集列，使得時(shí)變的狀態(tài)估計(jì)誤差存在于相應(yīng)的不變集列中，利用不變集的理論提出了一種新的故障檢測(cè)的方法，最后基于魯棒預(yù)測(cè)控制策略為故障系統(tǒng)設(shè)計(jì)了容錯(cuò)控制器，給出了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的證明.仿真結(jié)果證明了方法的可行性。
關(guān)鍵詞：傳感器故障；不變集列；故障檢測(cè)；魯棒MPC；容錯(cuò)控制
中圖分類號(hào)：TP272 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
RMPC Fault Tolerant Control of Constrained Multisensor Linear Systems
GAO Xuewei，LIU Xiaohua
（School of Mathematics and Information， Ludong University， Yantai264025，China）
Abstract：In this paper， for a class of constrained multisensor linear fault system， we propose a faulttolerant control scheme based on robust predictive control strategy.Firstly， the observer is designed for multisensor linear systems，then， invariant set sequences is designed offline， and the timevarying state estimation error exists in the corresponding invariant set sequences. A new fault detection method is proposed based on the invariant set theory. Lastly， we design faulttolerant controller for fault system based on robust predictive control strategy， and the closedloop system robust stability is proved. The simulation results show that the method is feasible.
Key words：sensor fault；Invariant set sequences；fault detection；robust MPC；faulttolerant control
1引言
現(xiàn)代大系統(tǒng)的大規(guī)模化、復(fù)雜化使得其一旦發(fā)生故障就會(huì)造成非常大的損失，容錯(cuò)控制系統(tǒng)的研究日益重要[1].模型不確定性和外界擾動(dòng)以及具有約束的輸入變量和狀態(tài)變量廣泛存在于實(shí)際系統(tǒng)中，使得魯棒容錯(cuò)預(yù)測(cè)控制的研究更具有實(shí)際意義。
基于模型預(yù)測(cè)控制（MPC）的容錯(cuò)控制研究在近十年有了一定的發(fā)展，1998年，約可夫斯基在文獻(xiàn)[2]中提出預(yù)測(cè)控制本身的一些容錯(cuò)特性，標(biāo)志著基于MPC的容錯(cuò)控制研究的開始.文獻(xiàn)[3]利用預(yù)測(cè)控制能夠很好的處理約束的能力，為一類多模型切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)了容錯(cuò)控制器。文獻(xiàn)[4]利用魯棒預(yù)測(cè)控制對(duì)線性不確定系統(tǒng)進(jìn)行了容錯(cuò)控制器的分析與設(shè)計(jì)文獻(xiàn)[5]針對(duì)具有不確定項(xiàng)以及輸入約束的非線性對(duì)象，給出了一種魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)方案，并且滿足穩(wěn)定性.并用這種控制器設(shè)計(jì)方案對(duì)于故障系統(tǒng)設(shè)計(jì)了容錯(cuò)控制器.文獻(xiàn)[6]為具有狀態(tài)和輸出干擾的約束線性系統(tǒng)提出了一種故障檢測(cè)的方法，并且基于輸出反饋預(yù)測(cè)控制原理實(shí)現(xiàn)了容錯(cuò)控制. 不足在于，此方法需要設(shè)計(jì)觀測(cè)器“足夠長(zhǎng)”的時(shí)間后設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)容錯(cuò)控制器，以保證觀測(cè)器誤差存在于事前計(jì)算好的不變集里，這就使得容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)與觀測(cè)器的設(shè)計(jì)不能同步。
本文考慮觀測(cè)器誤差在時(shí)變的情況下，利用文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)不變集序列的方法，使得觀測(cè)器誤差存在于相應(yīng)的不變集序列中，提出一種新的故障檢測(cè)方法以及容錯(cuò)控制策略，解決了觀測(cè)器設(shè)計(jì)與容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)不能同步的問題。
2問題描述
考慮如下線性離散時(shí)不變系統(tǒng)
x+=Ax+Bu+w（1）
其中x∈Rn， u∈Rm分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入，x+∈Rn為系統(tǒng)的后繼狀態(tài)，w∈W是未知的系統(tǒng)干擾，A∈Rn×n，B∈Rn×m為常數(shù)矩陣。
考慮如下多傳感器故障模型
yt=∏I（Cix+ηi）+（Ipi—∏i）ηF(xiàn)i，
i=1，2，…，M（2）
其中yi∈Rpi為第i組傳感器的測(cè)量輸出，ηi，ηF(xiàn)i為未知的輸出干擾，Ipi為單位矩陣，Ci∈Rpi×n為常數(shù)矩陣。ηiηF(xiàn)i滿足
ηi∈
瘙 綃 i，ηF(xiàn)i∈
瘙 綃 i，其中
瘙 綃 i，
瘙 綃 F(xiàn)i為緊的凸集且滿足下面條件
瘙 綃 iRpi，
瘙 綃 F(xiàn)iRpi對(duì)任意i=1，2…M。
故障矩陣如下：
Πi=Ipi 所有傳感器正常
diagπi1，…πipi其他（3）
其中πij∈0，1，對(duì)j=1，2…pi，πij<1代表第i組傳感器組中第j個(gè)傳感器出現(xiàn)故障，πij=0代表傳感器停止。
本文的控制目標(biāo)：在滿足約束（x，u）∈X×U的情況下，為系統(tǒng)（1）提出一種故障檢測(cè)的方法，并且設(shè)計(jì)一個(gè)有效的主動(dòng)容錯(cuò)控制器，使系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。
假設(shè)1：（A，B，Ci）為可穩(wěn)的，（A，Ci）為可觀的。
定義 1[8]集合A包含原點(diǎn)，并且A為凸集，A為緊集，那么稱集合A為C集。
定義 2[9] 若帶干擾w系統(tǒng)的系統(tǒng)x+=f（x，w）對(duì)任意的x∈A，可以得到f∈A，則稱集合A對(duì)系統(tǒng)x+=f（x，w）是魯棒不變的。
計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2012年9月
第31卷第3期高學(xué)偉等：約束多傳感器線性系統(tǒng)的RMPC容錯(cuò)控制
3觀測(cè)器設(shè)計(jì)
對(duì)應(yīng)于第i組傳感器，我們給出相應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)器如下：
+i=Ai+Bu+Li（yi—Cii）（4）
UPi=i+Giyi—Cii （5）
其中i∈Rn是當(dāng)前的觀測(cè)器狀態(tài)，+i∈Rn為后繼觀測(cè)器狀態(tài)，UPi∈Rn為更新的觀測(cè)器狀態(tài)，Li按如下規(guī)則選取：使得ρ（ALi）<1，其中ALi=A—LiCi.更新增益矩陣Gi∈Rn×pi為實(shí)矩陣。
假設(shè)第i組傳感器是正常的（Πi=Ipi），利用（2），（4），我們得到狀態(tài)估計(jì)以及狀態(tài)估計(jì)誤差如下
+i=Ai+Bu+LiCii+Liηi （6）
+i=ALii+（w—Liηi）（7）
其中狀態(tài)估計(jì)誤差定義：i=x—i.
為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，傳感器故障發(fā)生后，需要運(yùn)用相應(yīng)的故障檢測(cè)的方法檢測(cè)出現(xiàn)故障的傳感器，之后對(duì)正常的觀測(cè)器狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu).我們采用文獻(xiàn)[10]中的狀態(tài)切換方法以及狀態(tài)重構(gòu)的方法，對(duì)經(jīng)過(guò)故障檢測(cè)正常的傳感器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)如下：
UP*=∑l∈HλlUPi （8）
其中H與λl選取規(guī)則如下：H=l∈1，2，…，M：第l組傳感器正常且∑l∈Hλl=In.
為了后面的討論，我們給出“重構(gòu)的”更新狀態(tài)估計(jì)誤差
UP*=x—UP*=∑l∈Hλl[（In—GlCl）l—Glηl] （9）
4閉環(huán)系統(tǒng)的不變集序列
采用文獻(xiàn)[7]中的方法，首先給出系統(tǒng)（1）的標(biāo)稱系統(tǒng)如下
+=A+B （10）
其中∈Rn為標(biāo)稱系統(tǒng)的狀態(tài)變量，∈Rm為標(biāo)稱系統(tǒng)（10）的控制輸入。
設(shè)計(jì)輸出反饋控制器的方法設(shè)計(jì)控制器如下：
u=+K（UP*—） （11）
K按如下規(guī)則選取：使得ρ（ALk）<1，其中ALk=A+BK.
首先給出系統(tǒng)跟蹤誤差z、狀態(tài)跟蹤誤差ei、更新的狀態(tài)跟蹤誤差eUPi以及重構(gòu)的更新狀態(tài)跟蹤誤差eUP的定義
z=x— （12）
ei=i— （13）
eUPi=UPi—（14）
eUP=z—UP （15）
4.1估計(jì)誤差
對(duì)于系統(tǒng)（7），令i=w—Liηi，則原系統(tǒng)可以表示為
+i=ALii+i （16）
其中i存在于一個(gè)C—集Δ—i=W（—Li
瘙 綃 i）.
由文獻(xiàn)[7]，存在集列ij，以C—集i0為初始集，收斂于C—集i
SymboleB@ ，ij對(duì)于系統(tǒng)（16）魯棒不變的并且滿足下面的條件
j+1i=ALijiΔ—i（17）
∞i=ALijiΔ—i（18）
利用（9），我們可以定義一個(gè)C—集序列UP（j）如下，
UP（j）=UH∈PMl∈HλlIn—GlClij
—Gl
瘙 綃 l（19）
其中l（k）∈ki，l∈H，PM={1，2…M}.
4.2系統(tǒng)跟蹤誤差
由（9）～（12），我們可以得到跟蹤誤差系統(tǒng)如下
z+=AKz—BKUP+w （20）
令zδ=—BKUP+w，則系統(tǒng)（20）可以轉(zhuǎn)換為
z+=AKz+zδ （21）
其中zδ∈Zδ，Zδ為c—集如下
Zδ=（—BK）UP（j）W
由文獻(xiàn)[7]，存在集列Zj，以C—集Z0為初始集，收斂于C—集Z
SymboleB@ ，Zj對(duì)于系統(tǒng)（21）魯棒不變的并且滿足下面的條件
Zj+1=AKZj（—BK）UP（j）W（22）
Z
SymboleB@ =AKZ
SymboleB@ （—BK）UP（j）W（23）
4.3傳感器正常條件下的狀態(tài)跟蹤誤差
把（11），（12），（15）帶入（6）得到
+i=Ai+B+BK（z—UP*i）+LiCii+Liηi（24）
由（10），（12），（13），（16）可以得到估計(jì)跟蹤誤差ei滿足下面的等式
e+i=AKei+（BK+LiCi）i—BKUP*+Liηi （25）
令δi=BK（z—UP*）+LiCii+Liηi，那么系統(tǒng)（25）可以轉(zhuǎn)換為
e+i=AKei+δi （26）
其中δi∈Δi，Δi為C—集如下
Δi=（BK+LiCi）Sji（—BK）UP（j）Li
瘙 綃 i由文獻(xiàn)[7]，存在集列ji，以C集S0i為初始集，收斂于C集S
SymboleB@ i，Zj對(duì)于系統(tǒng)（26）魯棒不變的并且滿足下面的條件
S
SymboleB@ i=AkS
SymboleB@ iΔi（27）
Sj+1i=AkSjiΔi（28）
把（9），（12）帶入（15）我們可以得到
eUP=z—UP （29）
利用（29），我們可以定義一個(gè)C—集序列SUP（j）如下
SUP（j）=ZjUP（j） （30）
定理1：假設(shè)原系統(tǒng)初始狀態(tài)為x（0），標(biāo)稱系統(tǒng)初始狀態(tài)為（0），與第i組傳感器相對(duì)應(yīng)的觀測(cè)器狀態(tài)為i（0），狀態(tài)估計(jì)誤差初始狀態(tài)為i（0），滿足下面的條件
i（0）=x0—i（0）∈0i
z（0）=x0—（0）∈Z0
ei（0）=i（0）—（0）∈S0i
那么可以得到下面的結(jié)果.
（i）UP（k）∈UP（k）
（ii）z（k）∈Zk，x（k）∈（k）Zk
（iii）ei（k）∈Ski，eUP*i（k）∈SUP*（k）
證明：（i）Ski對(duì)系統(tǒng)（16）是魯棒不變的，那么，由i（0）∈i0可以得到i（k）∈ik，這樣由UP（k）以及UP（k）的構(gòu)造方法，易得UP（k）∈UP（k）。
（ii）由（i）的證明得到UP（k）∈UP（k），由Zδ的構(gòu)造可以得到zδ（k）∈Zδ，而Zk對(duì)系統(tǒng)（21）是魯棒不變的，那么由z（0）∈Z0可以得到z（k）∈Zk，而由式子（12）可得x=+z，這樣對(duì)k≥0，容易得到x（k）∈（k）Zk。
（iii）由i（k）∈ik、UP（k）∈UP（k）以及Δi的構(gòu)造，我們?nèi)菀椎玫溅莫璱∈Δi，而Ski對(duì)系統(tǒng)（26）是魯棒不變的，那么由ei（0）∈S0i可以得到ei（k）∈Ski，而由eUP*i（k）以及SUP（k）的構(gòu)造方法，容易得到eUP*i（k）∈SUP*（k）。
證畢。
5故障檢測(cè)方法以及魯棒MPC容錯(cuò)控制
5.1故障檢測(cè)方法
若第i組傳感器正常的情況下，將（2）、（5）帶入（14）得到eUPi=ei+γi，其中γi=GiCii+Giηi，這樣我們可以定義一個(gè)集列{SUP（k）i，使得第i組傳感器正常的情況下有eUPi（k）∈SUP（k）i，其中SUP（k）i定義如下
SUP（k）i=SkiGiCikiGi
瘙 綃 i（31）
若第i組傳感器發(fā)生故障的情況下，由式子（2）（13）（14）得到“故障模式”下更新的估計(jì)跟蹤誤差eUP，F(xiàn)i如下
eUP，F(xiàn)i=[In+Gi（∏i—Ipi）Ci]ei+
Gi（∏i—Ipi）+Gi∏iCii+
Gi[∏iηi+（Ipi—∏i）ηF(xiàn)i]（32）
這樣，我們可以利用（32）構(gòu)造一個(gè)集列{SUP，F(xiàn)（k）i}，使得eUP，F(xiàn)i（k）∈SUP，F(xiàn)（k）i，SUP，F(xiàn)（k）i定義如下
SUP，F(xiàn)（k）i=[In+Gi（∏i—Ipi）Ci]Ski
Gi（∏i—Ipi）Gi∏iCiki
Gi∏i
瘙 綃 iGi（Ipi—∏i）
瘙 綃 F(xiàn)i
其中的定義在下一部分給出.而Ski，ki，
瘙 綃 i，
瘙 綃 F(xiàn)i的定義如前述。
假設(shè)2 對(duì)任何的i，k，SUP（k）i∩SUP，F(xiàn)（k）i為空集。
假設(shè)3 第一個(gè)故障發(fā)生前，系統(tǒng)已經(jīng)正常運(yùn)行足夠長(zhǎng)時(shí)間以保證所有的估計(jì)誤差存在于不變集列里。
定理2對(duì)任意時(shí)刻k以及i∈1，2…M，若eUPi（k）∈SUP（k）i，那么第i組傳感器是正常的，否則，第i組傳感器出現(xiàn)了故障。
5.2魯棒MPC容錯(cuò)控制
考慮標(biāo)稱系統(tǒng)（10）在k時(shí)刻的優(yōu)化問題N（，，k）如下
V0N（，，k）=min VN（，）|∈N（，k）
VN（，）=∑N—1k=0ζ（，）+Vf（（N）），
ζ（，）=（1/2）TP+（1/2）TQ，Vf（）
=（1/2）TR
N（，k）=|（k）∈UΘKSUP（k），
（k）∈=XΘZk，（N）∈Xf
其中P，Q，R為正定權(quán)矩陣，XfXΘZN為終端約束集。
這樣，N（，，k）的解如下0（，k）=arg min VN（，）|∈N（，k）選取0（0，，k）的第一個(gè)標(biāo)0（0，，k）作為標(biāo)稱系統(tǒng)的控制輸入。
令（，0）為N（，，k）的最優(yōu)解，那么由（11），我們可以得到重構(gòu)后的控制輸入u=0（0，，k）+K（UP*—*）
定理3應(yīng)用故障檢測(cè)方法后，對(duì)正常的傳感器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)，觀測(cè)器系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。
證明：對(duì)觀測(cè)器系統(tǒng)在k時(shí)刻應(yīng)用故障檢測(cè)方法后，把正常的傳感器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)后的優(yōu)化問題P*N（UP*，k）如下
V*N（UP*，k）
=min{V0N（，）|UP*∈SUP*（k）}
=min（，）{VN（，）|UP*∈SUP*（k），
∈N（，k）}
令（x*，u*）（UP*，k）為P*N（UP*，k）的最優(yōu)解.由文獻(xiàn)[7]我們可以得到：
c1|x*（（UP*，k）|2≤V*N（UP*，k）
≤c2|x*（UP*，k）|2（34）
V*N（UP*，k+1）
≤V*N（UP*，k）—c1|x*（UP*，k）|2（35）
把V*N（UP*，k）=V0N（x*（UP*，k），k）帶入（35）我們可以得到
V0N（x*（UP*+，k+1），k+1）
≤V0N（UP*，k）—c1|x*（UP*，k）|2
由（34）可以得到
—|x*（UP*，k）|2≤—（1/c2）V0N（UP*，k）
帶入上式得
V0N（x2（UP*+，k+1），k+1）
≤（1—c1/c2）V0N（UP*，k）≤V0N（UP*，k）
這樣，我們得到了觀測(cè)器系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的.
證畢.
6仿真
考慮如下二重積分系統(tǒng)
x+=1101x+11u+w
采樣時(shí)間為0.1s，W=w∈R2|w≤0.1，考慮四個(gè)傳感器的情況如下
Ci=[1，0]，i=1，2，3，4，
瘙 綃 1=
瘙 綃 F(xiàn)1={η∈R||η|≤0.001}，
瘙 綃 p=
瘙 綃 F(xiàn)p={η∈R||η≤0.1|}
其中p=2，3，4，狀態(tài)以及控制約束集分別為X=x∈R2|xi≤15，i=1，2，U=u∈R|u≤0.4.權(quán)矩陣作如下選取如下
Q=I，R=10—5，P=11.51341.05231.05231.1063G1=0.99910.9503，G2=G3=G4=0.68750.6250， Li=AGi，i=1，2，3，4
x（0）=[20；—20]，
u（0）=0.
仿真結(jié)果如下：
time/s圖1狀態(tài)隨時(shí)間的變化曲線
time/s圖2控制輸入
由圖1、圖2可以看出，當(dāng)出現(xiàn)傳感器故障時(shí)，本文基于魯棒MPC的容錯(cuò)控制算法能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。
7結(jié)論
本文在觀測(cè)器誤差為時(shí)變情況下，針對(duì)一類離散約束多傳感器線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了不變集列，使得觀測(cè)器誤差存在于相應(yīng)的不變集序列中，利用設(shè)計(jì)不變集序列的方法提出了一種新的故障檢測(cè)的方法，并且給出了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的證明，仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的可行性。
參考文獻(xiàn)
[1]周東華， Ding X. 容錯(cuò)控制理論及其應(yīng)用[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2000，26（6）：788—797.
[2]JM Maciejowski. The implicit daisyChaining property of constrained predictive control[J].Applied Mathematics and Computer Science，1998，40（8）：695—711.
[3]M Gopinathan， JD Boskovic， A Multiple Model Predictive Scheme for Fault—Tolerant Flight Control Design[C].Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision Control ，F(xiàn)lorida ， USA：IEEE，1998：1376—1381.
[4]Chen XueQin， Geng YunHai. Fault—tolerant control of linear uncertain systems using
