基于遺傳算法的空間自由漂浮機械臂系統運動規劃*

李 巖 蔡遠文

裝備學院，北京 101416

由于空間自由漂浮機械臂(FSM)系統工作在微重力環境下，存在動量和動量矩守恒，其姿態會隨機械臂的運動而改變。此時，機械臂系統的運動規劃和固定基座的機械臂完全不同，其運動過程滿足非完整約束。如何結合非完整性對系統進行運動規劃和控制，是FSM系統運動規劃需要解決的問題[1-4]。

FSM系統的運動規劃一般以機械臂的運動對基座擾動最小和控制過程能耗最小為優化目標。研究思路為：首先建立FSM系統的動力學模型，將其轉化為非線性控制系統狀態方程；然后確定系統優化的目標函數，利用最優化理論和方法計算最優控制律，實現機械臂運動最優規劃。本文以文獻[5]中建立的單臂二關節機械臂系統為例，討論其運動規劃步驟和方法，幾何與物理參數定義和數值參見文獻[5]2.1節。

圖1 單臂二關節FSM系統參數定義圖

1 系統狀態方程和運動規劃目標函數

(1)

根據最小能量控制原理，選擇機械臂關節相對轉動的耗散能作為最優控制指標，用泛函表示為：

(2)

其中，〈u(t),u(t)〉表示內積。式中u(t)為Hilbert空間L2的可測向量函數[7-9]。在實際計算時，常用有限維的子空間代替，由函數空間中的投影定理，取Fourier基向量ei張成N維線性子空間，則u(t)在N維Fourier子空間上的投影就是Fourier級數中前N項部分和，即：

Φa

(3)

其中，ai為函數u(t)在{ei}(i=1，…，N)基上的投影，a為投影向量；Φ是Fourier正交基向量組成的n×N維矩陣。將a看作新的控制變量，根據Fourier正交基的積分特性：

(4)

同時考慮系統終端約束條件，控制目標可表示為以下函數：

(5)

其中λ為懲罰系數，取值足夠大；x(T)是式(1)在給定控制輸入u(t)時，系統在t=T時的狀態。顯然，x(T)也是a的函數，記作x(T)=f(a)，當給定N和λ時，式(6)可寫為：

(6)

因此，尋找控制輸入u(t)使式(5)為最小的問題即為尋找a使式(6)為最小值的問題[10-13]。按照上述思路得到以下幾類最優規劃問題的目標函數。

1)在機械臂關節角運動初末速度無約束的條件下，目標函數為式(6)。

2)一般情況下，機械臂位形變化時，要求其關節角速度在初始時刻和終端時刻為0。在該條件約束下，將目標函數增加輸入條件約束及其懲罰系數γ，即：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(7)

3)FSM系統，在展開過程中對本體(載體或基座)的姿態造成一定的影響，這種影響可以通過機械臂從收縮狀態到完全展開過程中基座姿態的變化情況來觀察和分析。在此過程中，假設系統滿足能量最優以及初末時刻關節角速度為0的條件(即式(7)的條件)，且關節角初末狀態分別為：q10=q20=180°，q1T=q2T=0°，其目標函數如下：

minJ(a)=〈a,a〉+λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(8)

4)為了尋找控制輸入u(t)使機械臂展開對基座的影響最小，需要得到衡量基座姿態變化的指標量。從姿態變化過程方面考慮，可以用單位時間姿態變化量絕對值的總和來表示，得到以下指標量：

(9)

所以總的目標函數為：

q2T(a)2]+γ[u0(a)2+uT(a)2]

(10)

5)為了使機械臂展開過程始末，載體姿態初始和末端狀態一致，即qB0=qBT(本例為0°)，在系統能耗最小且初末關節角速度為0條件下，提出以下目標函數：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(11)

2 求解運動規劃問題的遺傳算法

遺傳算法是一種新型的優化算法，由于其在進化搜索中能基于多點進行整體搜索，有較好的全局搜索性能；且僅以目標函數為依據，在多變量優化中優于傳統的梯度方法，因而在工程優化問題中得到廣泛的應用。利用遺傳算法求解優化問題時，當變量維數過高且取值范圍較大時，可使用精度高、便于大空間搜索的實數編碼[14-15]。在設計算法和仿真計算過程中，發現群體中個體的適應度值相差很小，致使平均適應度值和最大個體適應度值比較接近，在采用賭輪選擇機制時，平均適應度值附近的個體和適應度值最高的個體被選擇的幾率幾乎相等。這種情況在算法最初，有利于擴大搜索范圍，增加種群多樣性，減小得到局部收斂點的可能。但是，在遺傳算法后期，適應度差別不明顯，會使最優個體與大多數個體具有等同的淘汰幾率。這樣就會導致進化過程不收斂，或產生未成熟收斂現象，這時需要對適應度進行放大，增加個體間的競爭力。選擇合適的冪函數對適應度進行收放，能夠有效解決上述問題。結合空間機械臂的運動規劃最優控制問題，相應的遺傳算法步驟如下：

1)染色體編碼。利用遺傳算法的并行搜索，對式(6)中函數u(t)在Fourier基上的投影a采用實數編碼，染色體編碼為ai(i=1,2,…,N)組成的N維向量。

a=[a1,a2,…,aN]T

(12)

其中，ai為實數。

2)初始群體的生成。隨機產生M個個體，將M個個體的每一分量初始化為0均值，方差為σ的高斯分布隨機數。

3)適應度函數的建立。染色體評價的適應度函數設為：

(13)

其中，a為染色體，J(a)為目標函數式(6)。

4)尺度變換函數，收放適應度：

g′(a)=F(g(a))=(b·g(a))c

(14)

式中，b，c為收放參數，g′(a)變換后的適應度函數值。

5)遺傳操作設計。

①選擇：根據式(13)和式(14)計算每個染色體的適應度值g′(ai)(i=1,2,…,M)，那么第i個個體被選擇的概率為：

/

(15)

個體的選擇采用輪盤賭選擇方法。

②交叉：根據交叉概率Pc選擇參加交叉的個體(偶數個)。采用隨機線性組合方式進行交叉計算。設被選中交叉的個體為：v，w，則其后代v′，w′為：

v′=rv+(1-r)w

w′=rw+(1-r)v

(16)

其中，r為(0,1)均勻分布的隨機數。

③變異：根據變異概率Pm，將被選擇變異的基因變為任一同均值和方差的高斯分布隨機數δj。

aij=δj

(17)

6)重復3)～5)步，直到求出滿足條件的最優解，或到達終止代數G。

3 運動規劃仿真算例和分析

以上述空間機械臂系統參數作為算例，如圖1所示。設系統物理和幾何參數為：m0=1800kg，m1=m2=50kg；I0=1260kg·m2，I1=I2=71kg·m2；b0=3.5m，a1=b1=a2=b2=2.0m。

,,,

(18)

4 已知初末時刻位置的運動規劃

(1)初末時刻關節角速度無約束

假設機械臂系統從初始位形qB0=0°，q10=-21.8°，q20=117.4°，運動到終端位形qBT=-31.3944°，q1T=66.3102°，q2T=94.9596°[5]，如何選擇投影a，使運動過程機械臂消耗最小。目標函數為：

取λ=1000。

在按照上述步驟執行遺傳算法的同時，需要根據多次試驗的數據，進一步確定合適的適應度收放參數b,c，以及高斯分布的方差σ。實際操作過程中，本例首先選擇σ=1.0，b=c=10，計算數據表明，滿足最優目標的投影a分量均小于1，且目標值J(a)也小于1。為了使遺傳算法收斂更快，得到更加準確的結果，調整收放參數為b=1，c=5，種群分布σ=0.1。經過3次計算，分別得到結果如表1所示。表1中最優值及其遺傳代數是指同一次試驗的2000次迭代中，得到的最優值及其代數。為了獲得更加準確的最優目標值，將三次試驗中的最優結果，即第二次計算的投影值a，作為優選樣本插入遺傳算法的初始種群中，再次執行遺傳算法，得到表2的最優值。

表1 計算結果統計

表2 插入優選樣本試驗得到的最優結果

圖2 無初末端速度約束的位形變化

如果仍然沒有得到滿意的最優值，可以進一步將多次計算的最優值結果作為種子插入初始種群如此往復直到得到滿足精度要求的結果。以下計算過程同樣采取這種方法。本例以表中的第5次試驗結果作為最優值，其仿真過程軌跡和各參數的變化情況如圖2和圖3。

(2)關節角速度初末時刻為0。其目標函數為：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

取λ=γ=1000，下同。表3中是遺傳算法計算結果，圖4中是最優輸入下的變化軌跡。從圖5中相關參數變化曲線能夠更清楚的看到機械臂關節角速度初末時刻為0。

圖3 關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線

表3 遺傳算法計算結果統計

圖4 初末速為0約束條件下的位形變化

5 機械臂展開過程的擾動分析

1)能耗最小，初末時刻關節角速度為0的情況。目標函數為：

minJ(a)=〈a,a〉+λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+

γ[u0(a)2+uT(a)2]

由于機械臂系統物理參數參考真實航天器，因而機械臂系統的運動時間盡量符合實際，設T=200s。假設機械臂在Z軸垂直平面內，不受載體形狀約束，可以完全收縮。機械臂系統以最小的能耗從完全收縮狀態q10=q20=180°，到完全展開狀態q1T=q2T=0°，分析該過程對基座的影響情況。此時，機械臂伸展到達慣性系中的最大作用距離|rt|max=11.1053m。設基座初始狀態為qB0=0°，計算數據如表4。

圖6和圖7中的軌跡和參數變化曲線可以看出，在初末角速度(關節角速度)為0，能耗最小的條件下，機械臂展開過程中，基座姿態由0°變為52.33°。且桿1和桿2幾乎同時同步展開，關節展開速度變化幾乎一致。算例結果表明，機械臂在展開過程中對基座姿態造成了較大影響。

圖5 關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線

表4 遺傳算法計算結果統計

圖6 機械臂從收縮到展開的過程

2)能耗最小，初末時刻關節角速度為0，同時對基座擾動最小情況。計算數據如表5。目標函數為：

λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+γ[u0(a)2+uT(a)2]

從圖8和圖9中可以得出，增加擾動最小的目標要求后，機械臂展開過程中，關節角q1的變化出現了非單調的特征。為了減小對基座的影響，關節角q1在110s附近開始“過零”和“回調”。機械臂基座姿態由0°變為26.26°，比上例減小近半。此外，為減小對基座的擾動，展開過程中，桿1(關節1)首先展開；桿2展開動作稍滯后，且q2單調變化。該算例表明，合理設計規劃目標，可以減小機械臂對基座的姿態擾動。

圖7 展開過程中關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線

表5 遺傳算法計算結果統計

3)能耗最小，初末時刻關節角速度為0，擾動最小，且基座末端姿態與初始姿態一致。計算數據如表6。目標函數為：

圖10和圖11中可以看出，機械臂的展開過程中關節角q1和q2的變化都呈現非單調性。為了使基座初末狀態保持一致，機械臂需要通過自身的伸展和收縮運動相協調，對基座進行姿態回調。該算例結果表明，合理設計目標函數，可以通過機械臂運動調整基座姿態。

表6 遺傳算法計算結果統計

圖10 基座擾動最小且初末時刻姿態一致條件下機械臂展開過程

上述分析表明，FSM系統中，機械臂的運動給基座造成較大影響。一方面，這種影響可以代替GNC系統對基座姿態進行調整，從而節省調姿發動機的燃料消耗。另一方面，通過研究影響的變化規律，可以設計相應的姿態補償系統，消除機械臂作業過程中對基座的不必要擾動。

圖11 關節角速度，關節角，基座姿態角以及基座位置變化曲線

6 結論

本文提出了一種可行的FSM系統運動規劃方法。該方法首先確定規劃目標，將機械臂系統動力學模型轉化為非線性控制系統狀態方程，將運動規劃轉化為尋求滿足目標函數的最優控制問題。為了進一步簡化目標函數，將輸入控制函數表示為Fourier正交基與其投影的積的形式，而目標函數中對于初末時刻約束條件的處理采用增加懲罰系數的方法。

狀態方程和目標函數明確以后，可以用多種最優化方法解決問題，而遺傳算法具有通用性強，最優解全局性好的特點，能夠求解多種復雜的目標函數。算法設計過程中，染色體采用實數編碼，長度與Fourier基的數量一致；種群數一般選擇20～100(本文40)；適應度函數需要根據遺傳代數進行適當縮放，有助于選擇最優個體；交叉概率的選擇既不能破壞好的個體的優良性，又不能使新個體產生速度過慢，一般選擇0.4～0.99(本文為0.8)；變異概率同樣要保持個體優良性并較快地產生新個體，一般選擇0.01～0.2(本文為0.15)；遺傳代數是算法的終止條件之一，為得到更高精度的最優解，遺傳代數越大越好，但計算時間較長，效率不高，一般建議選擇500～5000(本文2000)。為確保算法結果更快地收斂到全局最優點，可先進行若干次計算，從中選擇最優結果作為優秀個體再次參與遺傳計算，直到得到滿足精度要求的結果為止。

FSM系統相當復雜，本文僅以較簡單的二關節單臂系統為例進行分析，得出了解決機械臂系統運動規劃問題的一般思路。文中內容還有不完善的地方需要進一步深入研究。如：動力學模型為二維簡化模型，僅考慮了關節軸平行的情況，需要進一步分析多桿機械臂系統在三維空間的運動模型；載體姿態隨機械臂運動軌跡和方向等因素的變化規律還需進一步明確，以實現機械臂運動控制載體姿態的目標；機械臂系統運動規劃需要進一步嘗試多種最優化方法，以提高計算效率等。

參 考 文 獻

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