高等數學可視化實驗教學案例的研究與實現

劉雄偉 李建平 王曉

國防科技大學理學院數學與系統科學系 長沙 410073

1 引言

隨著計算機技術，尤其是數學軟件技術的發展，如何借助于它們實現現代高等數學教學與學習的改革來提高教學和學習的效率，成為世界各國實現教育信息化持續關注的課題。由于高等數學課程本身所具有的特點，在教學實踐的過程中不能完全拋棄傳統的教學方式來進行推理、論證，因此進行將數學軟件Mathematica融入教材內容、教學過程、學習過程、實踐與評估過程等的教學改革。在課堂教學中則主要通過構建可視化的教學案例，讓數學思想和理論“可視化”[1]，從幾何直觀、數值分析和符號推算的結合中加深對概念和理論的理解，增強應用理論解決問題的能力，增強教學和學習效果。根據案例在教學過程中起到的作用，將構建的案例分為演示型案例、探索型案例、學科交叉應用型案例和理論說明型案例等，以下是各案例類型的具體實現過程與方法。

2 演示型案例

這種類型的案例主要通過圖形、動畫和數值演示的方法，讓學生在案例的演示過程中對高等數學中相關圖形、方法和結論加強直觀印象，培養學生觀察、分析、理解和解決問題的能力。

在這方面最有直觀效果的就是Mathematica軟件的繪制函數圖形的功能。借助Mathematica軟件提供的繪圖命令函數，可以快捷繪制各類函數所對應的曲線和曲面圖形。借助動畫創建命令函數則可以實現交互式動畫的演示效果。

將3個不同的參數R，d，t設置為可控參數，可實現交互式動態演示。通過調節不同參數值可以看到不同預置條件下生成的曲線過程，了解各參數的意義和擺線的實際曲線圖形。

繞其他坐標軸得到的曲面方程可以類似得到。通過取具體的空間曲線數學描述，可以實現曲線生成曲面的交互式動畫演示，觀察曲面生成效果。在高等數學教學內容中能夠構建演示型案例的內容很多，這里只是其中的兩個例子。通過這兩個例子可以看到，演示型案例能夠在視覺上讓學生產生愉悅的學習心態，感受到數學的奇幻莫測的變化，從而在腦海中留下深刻印象，也進一步加深對所學知識的理解。

3 探索型案例

大學學習不僅僅是學習知識，更重要的是培養能力。高等數學作為幾乎所有專業都要開設的基礎課程，在培養學生的文化素養、創新能力和探索精神方面起著重要作用。課堂教學作為學生主要接受教育的形式，在這方面有著十分重要的引導作用。引導學生學會利用已有知識和經驗，挖掘新問題，探索新領域，提出新觀點，從不同角度思考問題，選用不同方法解決問題，形成多角度、多方面的思維品質也是課堂教學必不可少的教學環節。適當地構建合適的可視化教學案例能夠起到極大的引導和推進作用。

案例4：曲率。在現行的高等數學教材中對于曲率的引出一般都是通過弧微分的介紹，分析弧長變化與切線轉角變化之間的關系得到。在課堂教學實踐中，嘗試使用“三點確定一個圓”的方法，直接使用圓的大小來度量曲線彎曲程度的方式進行引入與介紹。這樣就很直觀地和中學內容銜接起來，更容易讓學生接受。并且，在實驗結果的理論探討過程中還加深對之前極限與導數內容的理解，可謂取得一舉多得的教學效果。

具體實施方法：利用Mathematica軟件計算不同圓的半徑，利用給定函數y=f(x)對應的曲線上三個點的坐標（x0，f(x0)）和（x0±h，f(x0±h)）求得對應圓的圓心坐標和半徑計算公式；根據計算得到的公式，取f(x)=x2為例繪制曲線與不同位置的曲率圓，觀察曲線彎曲程度與曲率圓大小的變化對應關系；對Mathematica中求得的公式，取t→0進行理論推導得到半徑和圓心坐標的極限值；最后發現得到的結果與教材中利用弧微分推導得到的結果一致，從而驗證該方法的有效性。但是該方法相對于弧微分方法來說更加直觀、簡單和更容易被學生所接受。

4 學科交叉應用型案例

學習的目標是為了滿足應用的需要。當然，這種需要有實際生活、工程等方面的需要，也包括后續學習的需要。因此，在教學過程中需要給學生充分展示數學的實際應用能力和其他學科知識的相關性，這樣既能激發他們學習的興趣，喚起探索數學的熱情，也從不同的角度更好地理解和掌握數學知識。

案例5：圖像信息隱藏與偽裝[2]。在Mathematica中比較大的優勢是能夠將矩陣作為一個整體進行處理，而不管其元素是否為單個的數值。因此，借助于Mathematica軟件在不需要太多其他相關知識的前提下能夠完成對圖像的處理操作。因此，該案例只是對數字圖像在計算機中的表示方法和在Mathematica中讀取圖像和分離像素的方法進行簡單、直觀的介紹。通過線性函數y=ax+b就實現簡單的圖像融合處理。由此也將其應用進行拓廣與比較，如直接的矩陣變換方法、按像素操作的方法、疊像術、圖像分離以及多次融合的方法，將學生最感興趣的圖像處理引入簡單的數學應用中。

案例6：圖形變換。這是實施空間解析幾何部分內容教學時使用的案例，主要是將立體圖形的變換轉換為矩陣對方程的操作，將一般方程轉換為標準曲面方程，從而搭建起高等數學與線性代數之間的橋梁。

如xOy面繞z軸坐標旋轉變換關系為：

方程z=xy使用該變換關系得到二次標準方程z=(x2-y2)/2，通過實驗演示直觀上得到一般曲線方程z=xy為馬鞍面的結論。

5 理論說明型案例

在高等數學教學內容中，概念與相關理論結果的解釋與說明一直是課堂教學中教學的重點與難點。借助于Mathematica構建的可視化案例則可以起到直觀說明作用。

案例7：極限定義中ε-N，ε-δ之間的關系。以數列極限的ε-N為例，定義為，存在N∈Z+，當n＞N時，恒有|an-a|＜ε。定義中，學生對于ε和N的關系一直弄不清楚，是函數關系還是不是，也一直不是特別明白。為此，構建交互式演示程序，從直覺上解釋說明。同樣對于其他的極限的精確定義形式也構建了相應的案例。

案例8：向量積的右手法則[3]。事實上，只要證明兩個相互垂直的單位向量a，b連同它們的叉積a×b服從右手法則即可。為此，構造一族隨時間t（0≤t≤1）連續變化的兩兩相互垂直的向量組a(t)，b(t)，a(t)×b(t)，使得a(0)，b(0)，a(0)×b(0)就是a，b，a×b，而a(1)，b(1)，a(1)×b(1)就是坐標軸方向。因為最初設置空間直角坐標系時是按照右手系法則來安排基向量i，j，k的，并且a(t)，b(t)，a(t)×b(t)這三個向量在連續轉動過程中其定向關系是不會改變的，這樣就證明向量a，b的叉積運算服從右手法則。為說明以上是正確的，構建可視化的Mathematica程序進行驗證與演示。

6 結論

以上是在教學實踐過程中進行可視化教學的幾個案例。對于這樣的案例還有很多，比如對擺線生成的擴展，漸屈線和漸伸線，極坐標方程的生成，變化率與相關變化率的意義，多項式逼近與泰勒公式的演示，積分概念的引出，微分方程、方向導數與梯度的應用，冪級數與傅里葉級數的展開，曲面的面積計算和三維圖形的展示，等等，都是在課堂教學中進行可視化教學構建案例的知識點。另外，與高等數學內容相關的各課程之間，尤其是與公共基礎課程線性代數與概率論與數理統計課程之間的聯系，比如函數的線性相關性與線性代數中的線性相關性，微積分內容與概率論與數理統計分布函數、密度函數之間的聯系，函數、向量處理與級數理論在信號處理方面的應用，借助于微分幾何或向量代數的方法對曲率概念的推廣[4-5]，等等，都是值得去挖掘的教學案例。

借助于數學軟件設計的可視化教學案例，將抽象的數學定義、公式和定理通過數學實驗以直觀、形象的方式表現出來，在一定程度上確實起到增強教學效果的作用。但是在實施可視化實驗案例教學的同時，也要充分認識到借助于數學軟件的可視化教學也只不過是實施高等數學教學的一種手段。高等數學中有一些內容確實適合于課堂計算機輔助教學，但還有很多內容可能借助于黑板板書與推算教學會更有效。所以，在教學實踐中需要將兩者結合起來，相輔相成，才會取得更好的教學效果。

[1]徐秋平,王亞榮.數學課件智能交互的設計與實現[J].現代教育技術,2007,17(5):53-55.

[2]李建平,朱健民,劉雄偉,等.高等數學課程實驗[M].北京:科學出版社,2011.

[3]朱健民,李建平.高等數學[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4]祁玉海,陳酌.曲面上的曲率新講[J].大學數學,2006,22(5):138-142.

[5]劉元興.“曲率”教學管見[J].湘潭師范學院:自然科學版,2004,26(2):115-116.