基于CORDIC算法的數字下變頻技術設計與實現

侯武威，袁安民，趙穎輝

（空軍工程大學 電訊工程學院，陜西 西安710077）

傳統的數字下變頻器（DDC）是將本地數控振蕩器（NCO）產生的信號與輸入信號相乘實現數字下變頻。NCO產生離散正弦信號最簡單、最直接的方法就是查表法（LUT），即事先根據各個NCO正弦波相位計算好相應的正弦值，并按相位角度作為地址存儲該相位的正弦值數據[1]。

1 NCO結構

圖1為用查表法實現的NCO結構，DDC工作時，每向DDC輸入一個待下變頻的信號采樣樣本，NCO就增加一個相位增量，然后按照相位累加角度作為地址，檢查該地址上的數值并輸出到數字混頻器，與信號樣本相乘，完成數字下變頻。其中，初始相位控制字用來設置本振信號的初相，相位步進控制字用來設置本振信號的頻率。

圖1 查表法NCO基本結構Fig.1 Basic diagram of look-up table method NCO

2 CORDIC算法基本原理

CORDIC算法是由J.Volder等人在1959年首先提出的[2]，該算法通過迭代方式僅用加法和移位2種運算進行矢量旋轉，不僅可以用來計算正余弦、極坐標和直角坐標變換與反變換、反正切、矢量求模，而且還可以實現反正弦和反余弦函數的計算，擺脫了用查表法產生離散正弦信號需要占用大量ROM資源的弊端。CORDIC算法由于只采用加法和移位運算，很適合在FPGA中實現，可以用來實現數字下變頻功能。

設一向量（x′1，y′1），旋轉 θ角后得新向量（x′2，y′2），如圖 2所示，根據坐標變換規則，兩者有如下關系：

圖2 CORDIC算法原理圖Fig.2 Principle block diagram of CORDIC algorithm

式（2）可改寫為：

當 N→∞ 時，有 zi+1=zi-δiarctan（2-i），i=0,1,2,…，N-1，θ，故K可以看做一個常數。

這樣，向量旋轉式（1）的計算問題轉換為式（7）的計算以及如下迭代運算。

式（8）中僅含移位、加減法算法，特別適合硬件實現，為硬件快速計算三角函數提供了一種新的算法，這就是提出CORDIC算法的初衷。迭代計算時，為了跟蹤已經旋轉的角度，還需引入一個新變量，定義為：

表示第i次旋轉后剩余未旋轉角度。上式中arctan（2-i）可以預先求出，保存在寄存器中。式（8）與式（9）構成了CORDIC算法的基本迭代關系。

為了能計算更多的基本函數，1971年，J.S.Walther提出了統一的CORDIC算法，引入參數m表示工作模式：m=1為圓周系統、m=0為線性系統、m=-1為雙曲系統，將3種系統統一到同一個CORDIC迭代方程中，表示為：

3 基于CORDIC算法的NCO及混頻器設計

為了提高數控振蕩器的頻率分辨率，往往需要擴大存儲器的容量，造成存儲資源的大量消耗。因此，當設計高速、高精度的數控振蕩器時，查表法就不合適采用。因此，可以考慮利用算法實時產生正余弦樣本，基于矢量旋轉的CORDIC算法正好滿足這一需求，該算法有線性的收斂域和序列特性，只要迭代次數足夠，即可保證結果有足夠的精度[3]。

本文應用CORDIC算法圓周旋轉模式產生正余弦信號，令 m=1，則 θi=arctan2-i，旋轉方向由 zi決定，若 zi>0，則 δi=-1，若zi<0，則δi=+1，經過n次迭代最終使zi趨于0。迭代的最終結果為：

給定相位值，利用CORDIC算法就可以實時產生相對應的正余弦值，在本設計中，NCO產生的正余弦樣本要與接收信號 x（n）相乘，通過觀察式（9），本文給定初值 x0=x（n），y0=0，z0=φ，則式（9）可化為：

從式（13）可以看出，利用CORDIC算法同時實現了NCO和混頻器，既節省了資源，又提高了效率[4]。圖3給出了NCO和混頻器的實現框圖，在時鐘的控制下，頻率偏移控制字不斷調整本地頻率控制字，對調整后的頻率控制字進行累加，截取輸出值的高位與相位偏移控制字相加，每來一個時鐘，得到一個相位φ，利用CORDIC算法計算相位φ的正余弦值并與接收信號 x（n）相乘，得到 I（n）和 Q（n），同時實現了 NCO 及混頻器。

圖3 基于CORDIC算法的NCO和混頻器實現框圖Fig.3 Block diagram of NCO and frequency mixer based on CORDIC algorithm

4 CORDIC算法的FPGA實現

CORDIC迭代算法的一種直接實現方式是反饋結構[5]，此結構只設計一級CORDIC運算迭代單元，然后在系統時鐘的驅動下，將本級的輸出作為本級的輸入，通過同一級迭代完成運算。這種方法硬件開銷很小，但控制比較復雜，而且完成一次CORDIC運算需要多個時鐘周期，運算速度較慢不利于數據的高速實時處理。

CORDIC迭代算法的另一種實現方式是流水線結構，每一級CORDIC迭代運算都使用單獨的一套運算單元，它的處理速度非常快，為數據實現高速實時處理提供了前提[6]。每一級實現的功能是根據式（8）和式（9）進行一次迭代，移位的位數等于當前的迭代級數，加減法選擇由該級中z的最高位（符號位）決定，得到下一級的x、y和z的值。經過N級流水線運算后，z的值變為0，x和y的值則為初始值z的余弦和正弦值。可以看出，在迭代過程每一級電路結構中只有移位和加減運算，級與級之間直接相連，不需要額外的寄存器，特別適合于FPGA實現，其結構如圖4所示。

5 仿真及其結果分析

圖4 CORDIC算法流水線結構圖Fig.4 Structure diagram of CORDIC pipeline implementation

圖5 NCO及混頻器仿真結果Fig.5 Simulation result of NCO and frequency mixer

圖6 I路信號和Q路信號的頻譜Fig.6 Frequency spectrum of I and Q

6 結束語

本文提出了一種基于CORDIC算法的數字下變頻方法，克服了傳統數字下變頻器查詢表大的缺點，而且該算法將NCO和混頻器合在一起完成，占用資源少，效率高、速度快、精度高，采用流水線結構，只有加法和移位單元，易于FPGA實現，具有較高的工程應用價值。

[1]楊小牛，樓才義.軟件無線電原理與應用[M].北京：電子工業出版社，2005.

[2]Volder J E.The CORDIC trigonometric computing technique[J].IRETransactionsonElectronicComputers，1959，8（3）：330-334.

[3]趙林軍.基于CORDIC算法的DDC實現[J].微計算機信息，2008，24（10）：274-275.

ZHAO Lin-jun.Theimplementation ofDDC based on CORDIC algorithm[J].Microcomputer Information，2008，24（10）：274-275.

[4]張科峰，彭帥，蔡夢.基于CORDIC算法的NCO[J].現代雷達，2008，30（6）：91-94.

ZHANG Ke-feng，PENG Shuai，CAI Meng.The NCO based on CORDIC algorithm[J].Modern Radar，2008，30（6）：91-94.

[5]駱艷卜，張會生，張斌.一種CORDIC算法的FPGA實現[J].計算機仿真，2009，26（9）：305-307.

LUO Yan-bo，ZHANG Hui-sheng，ZHANG Bin.FPGA implementationofaCORDIC algorithm [J].Computer Simulation，2009，26（9）：305-307.

[6]楊宇，毛志剛，來逢昌.一種改進的流水線CORDIC算法結構[J].微處理機，2006（4）：10-13.

YANG Yu，MAO Zhi-gang，LAI Feng-chang.An improved pipeline structure for CORDIC algorithm[J].Microprocessors，2006（4）：10-13.

[7]王旭東，潘廣楨.MATLAB及其在FPGA中的應用[M].北京：國防工業出版社，2006.