基于線性和非線性混合預測的改進連續潮流法

李 林，康積濤

(西南交通大學電氣工程學院，四川成都 610031)

連續潮流法是一種基于負荷的變化和發電機的功率分配而追蹤電力系統靜態行為的一種有效的工具［1－4］。在電力系統靜態電壓穩定分析中，通常利用連續潮流法繪制PV曲線來反映負荷點的臨界電壓和極限功率。連續潮流法是通過引入負荷參數采用預估校正技術，在PV曲線的每一點反復迭代，計算出準確的潮流解，它主要由4部分組成:參數化、預測、校正和步長控制。參數化是避免在功率極限處潮流方程的雅各比矩陣奇異，文獻［4］、［5］指出弧長參數化比局部參數化更具有魯棒性;預測是為了找到一個潮流解的近似值，為下一步校正時解潮流方程提供一個初始值，預測值與實際值越接近，校正過程的迭代次數就越少。文獻［6］通過對潮流方程的變換，擺脫了對負荷參數的依賴，改善了連續潮流法的收斂性，由于其預測環節仍要解線性方程組，降低了計算的效率;文獻［7］采用非線性拉格朗日插值法預測，在PV曲線功率極限處可以采取較大步長，減少計算時間，但是在PV曲線下半支部分其預測解與實際解的接近程度不太理想。

為了提高計算效率，提出了基于線性和非線性混合預測的改進算法。該算法在PV曲線上半支和下半支的功率極限附近采用非線性預測，剩下部分采用割線預測。該方法在IEEE 39節點系統中和其他方法作了比較，體現了其有效性和快速性。

1 連續潮流法說明

1.1 電力系統潮流方程

一般地，在靜態輸電計算中，極坐標系統下的潮流方程可用式(1)表示為

式中，λ表示發電機和負荷的增長參數，即為負荷因子;nGi、nPLi分別表示發電機和負荷有功、無功增長的方向向量;PGi0、QGi0為節點的發電機出力;PLi0、QLi0為節點 i的負荷;Pi(V，θ)、Qi(V，θ)分別表示節點的有功和無功，其具體表達式如下。

其中，Vi是節點的電壓幅值;θij是節點i和節點j的電壓相角差值;Gij、Bij為節點i與節點j之間的網絡導納矩陣的實部和虛部。

1.2 非線性預測

非線性預測方法主要由一個多項式函數逼近PV曲線上已知解，當多項式函數確定后，對于一個給定的步長，下一個解則可以利用外推技術來預測。如圖1所示，通過3個潮流實際解1、2、3，利用非線性預測得到預估解4。最常用的多項式逼近方法是拉格朗日插值法。

圖1 非線性預測示意圖

根據已知的實際潮流解，預估解就可以由拉格朗日多項式插值的多項式逼近獲得。拉格朗日多項式可以由式(3)給出。

其中，P(x)為拉格朗日插值多項式;xk為已知的潮流解;Lk(x)為拉格朗日插值系數;n為多項式的階數。若已知n+1個點，則拉格朗日插值系數表示如下。

由于電力系統PV曲線近似二次函數，通常預估值通過拉格朗日二次插值多項式獲得［7］。

給定一個弧長sj+1，由式(3)能求出第j+1步的預估值。例如，圖1中已知3個潮流解(s1，x(s1))、(s2，x(s2))、(s3，x(s3))，可以通過拉格朗日二次插值多項式來估計第4個潮流解()。取一個適當的步長△s，則

1.3 已有的非線性預測算法說明

采用拉格朗日非線性方法預測，在PV曲線功率極限處可以采用較大的步長加快計算速率，然而研究表明非線性預測對于PV曲線的下半支部分并不是有效，因為非線性應用的是弧長與狀態變量的關系。如圖2所示，可觀察出曲線是關于A點對稱的，而實際系統中很多節點的電壓幅值與PV曲線下半支弧長的關系不同于與上半支弧長的關系。

圖2 弧長和狀態變量的關系圖

2 改進的連續潮流法

針對以前方法的不足做了如下改進:把PV曲線分為兩個區域，如圖3所示。區域Ⅰ為PV曲線上半支和下半支的功率極限附近，由于非線性預測具有較好的魯棒性和非線性，并且弧長與PV曲線的上半支有近似二次函數的關系，因此采用二階拉格朗日插值法預測具有較高的精度和速度。區域Ⅱ為PV曲線剩下部分，利用割線法預估，避免了第2.3中說明的非線性預測的問題。區域Ⅰ向區域Ⅱ過渡時，由閾值β控制。當在曲線下半支|△x/△λ|≤β時，區域Ⅰ向區域Ⅱ過渡。

圖3 PV曲線區域圖

步長控制是連續潮流法中的一個關鍵環節，步長過小將造成預估校正步數太多，步長過大將使得校正過程收斂緩慢甚至發散。理想的情況下是，步長應該隨著曲線的曲率大小進行自適應調節:潮流解曲線在曲率小的部分，即平坦部分采用較大的步長，在曲率大的部分采用較小的步長。這里利用曲線上緊挨著的兩點(xj，λj)和(xj－1，λj－1)來控制步長，其表達式為

式中，MAX=max(|Vj－Vj－1|)，其中 V 為狀態變量中x節點電壓的幅值;a、b是系數。從式(7)中可以看出，曲線在曲率小的部分，電壓幅值變化較大，此時步長取值較小;在曲率大的部分，電壓幅值變化較小，步長取值較大，這樣步長的大小就根據曲線曲率的大小自動變化。

3 算例分析

用IEEE 39節點測試系統對改進的連續潮流法進行了效率評估。所有仿真沒有考慮發電機無功限制，所有的負荷和發電機的有功和無功按同一比例增長，負荷為恒功率模型，并且保持功率因數不變。

為了方便，把方法定義如下。

方法A:切線法;

方法B:非線性法;

方法C:改進方法，步長控制采用式(7)，在區域Ⅰ中采用非線性拉格朗日插值法時，式中a、b分別取0.5和2.5;在區域Ⅱ中采用割線法時，式中a、b分別取0.4和3;區域Ⅰ向區域Ⅱ過渡時的閾值β取1.12。

圖4 IEEE 39節點母線12的PV曲線圖

圖4 顯示了IEEE 39節點系統在節點31的PV曲線，圖中(a)、(b)、(c)分別表示用方法 A、B、C 繪制的PV曲線。從圖中可以觀察出，在PV曲線的功率極限處C方法和D方法所得的預估點與相應的校正點非常接近，說明利用非線性預測曲線曲率大的部分具有很好的魯棒性。

表1比較了A、B、C 3種方法CPU的計算時間，其中RA、RB分別表示了其他方法相對于A、B方法CPU計算時間的比率。從表中可以看出方法C相對于方法A、B分別減少了CPU時間的35.7%、6.5%。圖5顯示了繪制曲線每步所需要的迭代次數，從圖中可以看出A、B、C 3種方法繪制曲線的步數分別為22、21、20步;采用了非線性預測法的B、C方法在曲線極限功率處的迭代次數最多達3次，在曲線的下半支仍采用B方法導致迭代次數增加，達到了5次，這就是由于曲線在下半支的弧長與狀態變量的關系不同于上半支弧長與狀態變量的關系。

表1 IEEE 39節點系統CPU時間比較

圖5 繪制曲線步數和校正迭代次數關系圖

4 結論

對求解PV曲線的連續潮流法進行了改進。通過線性和非線性的混合預測，解決了常規非線性預測在PV曲線下半支的問題，有效地改善了連續潮流法的性能。采用自動變步長提高了程序的效率。通過IEEE 39節點測試系統的算例分析，表明了該方法的正確性和有效性。

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