含驅動摩擦的四自由度并聯機構動力學分析

季 曄 劉宏昭 原大寧

西安理工大學，西安，710048

0 引言

由于并聯機構具有串聯機構所不具備的優點，因此受到了學術界的廣泛關注。在許多場合應用的并聯機構往往只需要部分自由度即可，故少自由度并聯機構已成為近年來研究的熱點。空間四自由度并聯機構是少自由度并聯機構中的一個重要分支，其中，具有2個移動自由度和2個轉動自由度的并聯機構有著廣闊的應用前景。

文獻［1－3］分別利用拉格朗日方程、凱恩方程和牛頓－歐拉法（N－E法）建立了六自由度并聯機構動力學方程；文獻［4］建立了考慮摩擦的兩自由度平面五桿機構的動力學方程。摩擦的存在會影響機械系統的效率，滑動摩擦的影響更為顯著。含摩擦的并聯機構動力學研究相對較少，本文以一種新型4－UPS/PPU并聯機構為研究對象，其中，UPS支鏈為驅動支鏈，PPU支鏈為從動支鏈。P副控制支鏈長度，其原型為活塞桿和液壓缸之間的滑動。低速運動時，P副之間的滑動摩擦力對系統的影響顯著；S副和U副以轉動為主，如果潤滑良好，摩擦對系統的影響較小。綜上所述，根據機構動平臺實際位姿變量，建立了機構動平臺和各支鏈的運動學方程；運用N－E法建立了含摩擦的機構動力學方程，得到了摩擦對輸入的影響程度和各運動副的約束反力/力偶。

1 機構模型描述

該機構具有4條驅動支鏈（UPS支鏈）和1條約束從動支鏈（PPU支鏈）。在驅動支鏈上，與運動平臺相連的S副用Ai（i＝1，2，3，4）表示，與固定平臺相連的U副用Bi表示。從動支鏈的U副與運動平臺中心（A5）相連，在固定平臺上有一位于x軸上能自由移動的P副，無論動平臺處于何種位姿，該支鏈都與z軸平行。各支鏈均由副Pj（j＝1，2，…，5）控制伸縮。

2 運動分析

2.1 機構位置分析

在機構的固定平臺上建立慣性坐標系Oxyz，坐標原點位于B1B2B3B4組成矩形的中心，x軸平行于B1B2，y軸平行于B2B3，z軸可由右手法則確定方向，如圖1所示。

圖1 4－UPS/PPU并聯機構結構簡圖

固定于運動平臺的動坐標系O′x′y′z′的坐標原點位于A1A2A3A4組成矩形的中心，x′軸平行于A1A2，y′軸平行于A2A3，z′軸可由右手法則確定方向，如圖1所示。

運動平臺位姿X由動坐標系相對于慣性坐標系的廣義坐標表示：

式中，xp、zp分別為P點在慣性坐標系Oxyz下的絕對坐標；β、γ分別為Y－X型Euler角。

動坐標系O′x′y′z′到慣性坐標系Oxyz的旋轉變換矩陣為

設運動平臺各頂點在動坐標系O′x′y′z′下的坐標為（A′ix，A′iy，A′iz），在慣性坐標系Oxyz中的坐標為（Aix，Aiy，Aiz）。 在慣性坐標系Oxyz下，固定平臺各頂點坐標為（Bix，Biy，Biz），則有

支鏈i的向量表示為

長度為

2.2 速度分析

運動平臺的廣義位姿速度可表示為

動平臺角速度為

上平臺各鉸點在Oxyz坐標系下的速度為

由式（3）可得輸入速度：

式中，eni為第i條驅動桿伸縮的單位方向向量。

驅動桿伸縮速率為

支鏈由缸筒和活塞桿組成，各構件運動包括空間轉動和移動，活塞桿質心速度為

式中，rg為活塞桿質心與上鉸點之間的距離；ωli為驅動支鏈角速度。

缸筒的質心速度為

式中，rt為缸筒質心與下鉸點之間的距離。

假設缸筒和活塞桿質量分布均勻，質心位于其幾何中心。

2.3 加速度分析

運動平臺的廣義位姿加速度為

支鏈的角加速度

活塞桿質心的加速度

缸筒質心的加速度

3 動力學分析

3.1 支鏈受力分析

機構的驅動支鏈由1個S副、1個U副和1個P副組成，以鉸點Bi建立支鏈坐標系Bixiyizi，各坐標軸平行于慣性坐標系且方向相同。將支鏈的活塞桿與缸筒分解，進行受力分析。以缸筒為研究對象，固定平臺與缸筒之間為U副連接，固定平臺對缸筒的約束力、約束力偶分別為BFBi和BMBi，BFBi、BMBi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FBix，FBiy，FBiz）T和（0，0，MBiz）T；缸筒與活塞桿之間通過P副連接，在P副處，活塞桿對缸筒的約束力和約束力偶分別為BFPi、BMPi，BFPi、BMPi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FPix，FPiy，FPiz）T和（MPix，MPiy，MPiz）T；同時，缸筒還受到驅動力Fi、活塞桿對缸筒的摩擦力fi和重力Gt的作用。取活塞桿為研究對象，由于運動平臺與活塞桿之間采用S副連接，因此運動平臺對活塞桿的作用力為BFAi，BFAi在坐標系Bixiyizi下的表示為（FAix，FAiy，FAiz）T；缸筒對活塞桿亦存在約束力（力偶），與活塞桿對缸筒的約束力（力偶）是作用力與反作用力關系。另外，活塞桿受驅動力Fi、摩擦力fi和重力Gg的作用，活塞桿上的驅動力和摩擦力與缸筒上的驅動力和摩擦力亦為作用力與反作用力關系，缸筒和活塞桿受力如圖2所示。

圖2 驅動支鏈缸筒和活塞桿受力圖

約束從動支鏈的缸筒和活塞桿受力如圖3所示。以慣性坐標系為支鏈坐標系，將支鏈的活塞桿與缸筒分解，進行受力分析。以缸筒為研究對象，固定平臺與缸筒之間是P副連接，固定平臺對缸筒的 約 束 力、 約 束 力 偶 可 表 示 為OFP′5和OMP′5，OFP′5、OMP′5在 慣 性 坐 標 系 下 的 表 示 為（0，FP′5y，FP′5z）T和（MP′5x，MP′5y，MP′5z）T；活塞桿和缸筒之間為P副連接，在P副處活塞桿對缸筒的約束力、約束力偶分別為OFP5和OMP5，OFP5＝（FP5x，FP5y，0）T，OMP5＝ （MP5x，MP5y，MP5z）T；支鏈為從動支鏈，同時不考慮摩擦，缸筒還存在重力Gt的作用。以活塞桿為研究對象，運動平臺與該支鏈活塞桿采用U副連接，運動平臺對活塞桿的約束力、約束力偶分別為OFU5和OMU5，OFU5＝ （FUx，FUy，FUz）T，OMU5＝ （0，0，MUz）T；缸筒對活塞桿亦存在約束力（力偶），其與活塞桿對缸筒的約束力（力偶）是作用力與反作用力關系；活塞桿還受重力Gg的作用。

動平臺受力如圖4所示，約束力均來源于驅動支鏈和從動支鏈活塞桿，彼此之間是作用力與反作用力（力偶）關系，Gd為動平臺自身的重力。

圖3 從動支鏈缸筒和活塞桿受力圖

圖4 動平臺受力圖

根據上述分析可知，機構存在4個驅動力和66（13×4＋14）個未知力（力偶），共70個未知量。每個構件有6個平衡方程，方程數為66（構件數11×平衡方程數目6），而BFPi垂直于支鏈，可建立補充方程（共4個方程），因此機構線性無關的平衡方程數為70。缸筒與活塞桿之間的摩擦力與FPi有關，不是獨立變量。綜上所述，機構動力學方程為靜定方程。

3.2 建立系統動力學方程

機構的動力學建模方法主要有Lagrange法、Kane方法、虛功原理、旋量法和N－E法等。這些建模方法中，一類不含運動副約束反力，其維數等于機構廣義坐標數；另一類含運動副約束反力，維數遠大于機構的廣義坐標數。Lagrange法建立的方程具有系統性強、表達緊湊、物理意義明確等優點，是目前使用較多的方法之一，但單純使用該方法無法獲得各運動副的約束反力。N－E法是將各構件分離，其動力學方程基于達朗貝爾原理，是力和力矩平衡方程的組合，模型包含構件的約束反力，盡管方程維數較大，但可以得到機構的全部受力信息。由于摩擦力與正壓力有關，即與P副約束反力有關，因此采用N－E法建立含摩擦的機構動力學方程。在圖2的坐標系Bixiyizi下，建立驅動支鏈缸筒的平衡方程

式中，BFi為支鏈的驅動力，即圖2中的Fi；Bfi為摩擦力，即圖2中的fi，由BFPi決定；BFti為缸筒的慣性力，BFti＝－mtati；mt為缸筒質量；BGt為缸筒的重力，即圖2中的Gt，Gt＝ （0，0，mtg）T；g為重力加速度，取9.8m/s2；BMti

坐標系Bixiyizi相對于支鏈坐標系變換過程為坐標系Bixiyizi先繞zi軸旋轉φi角，然后再繞新的yi軸即yli旋轉θi角，如圖5所示。故

圖5 支鏈的歐拉角

驅動支鏈活塞桿在坐標系Bixiyizi下的平衡方程為

每條驅動支鏈還存在補充方程（共4個方程），即

從動支鏈缸筒在坐標系Oxyz下的平衡方程為

從動支鏈活塞桿在坐標系Oxyz下的平衡方程為

動平臺在坐標系Oxyz下的平衡方程為

4 摩擦模型選取

文獻［5］對目前已有的十幾種摩擦模型進行了介紹。庫侖摩擦模型和指數摩擦模型［6］等屬于靜態摩擦模型；Dahl［7－8］和 LuGre［9］摩擦模型等屬于動態摩擦模型。前者包含的參數相對較少，后者包含的參數相對較多且參數難以辨識。雖然后者可以更好地描述摩擦的動態非線性特性，前者則略顯不足，但前者在一定程度上仍滿足實際使用要求，依然有很多學者使用。本文選取庫侖摩擦模型和指數摩擦模型進行計算。

庫侖摩擦模型為

式中，μc為動摩擦因數；Ni為正壓力，Ni＝｜FPi｜。

指數摩擦模型為

式中，μs為靜摩擦因數；v為運動速度；vs為Stribeck速度；δ為經驗常數。

5 數值計算與結果分析

5.1 計算參數選取

機構結構參數為：運動平臺邊長a＝0.4m；固定平臺長邊長b＝1m，短邊長c＝0.6m；動平臺、缸筒、活塞桿質量分別為24.96kg、4.008kg和18.526kg；支鏈伸縮范圍為1～1.5m；rg和rt均為0.375m。缸筒的慣性張量（單位kg·m2）為

活塞桿的慣性張量（單位kg·m2）為

動平臺的慣性張量（單位kg·m2）為

動平臺幾何中心的軌跡采用3次多項式規劃。考慮動平臺在初始時刻t0＝0和終點時刻tf＝10s時，平臺運動速度均為0。運動方程可記為

動平臺初始位置為：xp＝－0.005m，zp＝1.3m，β＝γ＝ （π/18）rad；終 止 位 置 為xp＝0.005m，zp＝1.25m，β＝γ＝（π/6）rad。根據上述邊界條件，方程滿足

由已知條件可得動平臺運動軌跡：

根據動平臺的位置參數，機構各構件的運動學參數（位置、速度和加速度）即可確定。根據文獻 ［10］可 確 定μc＝ 0.05，μs＝0.1；vs＝0.2mm/s［11］。當δ＝1時，模型為 Tustin模型；當δ＝2時，模型為Gauss模型。本文分別選取庫侖模型、Tustin和Gauss模型進行計算。

5.2 計算方法描述

聯立式（19）～ 式（24），可得

式中，x為約束反力/力偶和驅動力矩陣；A為系數矩陣；BI為慣性矩陣；BG為重力矩陣；Bf為摩擦力矩陣。

A、BI和BG為已知矩陣，Bf與x有關。不含摩擦時，Bf等于0，則x＝－A－1（BI＋BG）。

考慮摩擦時，求解過程如下：

（1）將不含摩擦時求得的x記為x0，把x0代入摩擦模型計算Bf，得到的Bf記為Bf0。

（2）將Bf0代入式（28），求解x，記為x1，并再次按步驟1求解Bf，記為Bf1，以此類推，可求得xi和Bfi。

（3）向量范數norm（xi－xi－1，2）＜ζ時，計算結束，xi即為全部未知量的解。此次計算ζ取0.1。

5.3 計算結果及分析

經計算得到各驅動支鏈的驅動力（不含摩擦、含庫侖摩擦和含Gauss摩擦時驅動力計算結果），如圖6所示。Tustin摩擦模型和Gauss摩擦模型計算結果相差很小，曲線幾乎重合，圖6中未描述。支鏈A1B1和A3B3需要的驅動力較大，支鏈A2B2和A4B4需要的驅動力較小。含庫侖摩擦與含Gauss摩擦的計算結果相比，在起始階段和運動終止階段驅動力存在差異，平穩運動時驅動力幾乎無差異。同時，在起始和終止階段，摩擦對驅動力的影響明顯。根據計算結果還發現，支鏈A1B1和A3B3的U副和S副的約束反力較大，而約束力偶較小。

圖6 支鏈驅動力計算結果

6 結語

建立了一種四自由度并聯機構的運動學方程；根據N－E法建立了含摩擦的機構動力學方程，在給定運動規律的條件下，得到了考慮摩擦的機構各支鏈驅動力和各運動副的約束反力和約束力偶。

計算結果表明，驅動支鏈的U副和S副在機構運動過程中存在較大的載荷。在起始和終止兩個階段，摩擦對驅動力的影響顯著，需充分考慮驅動力的補償。

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