凸輪軸偏心的測量與修正方法研究

孔 明 丁力華， 趙 軍 周廣才

1.中國計量學(xué)院，杭州，310018 2.哈爾濱精達(dá)測量儀器有限公司，哈爾濱，150000

0 引言

在凸輪測量過程中，由于凸輪軸安裝測量的旋轉(zhuǎn)中心與凸輪實(shí)際工作時的旋轉(zhuǎn)中心不在同一軸線上，因此，測量結(jié)果包含了測量基準(zhǔn)與設(shè)計基準(zhǔn)不統(tǒng)一引起的誤差成分［1－3］。同時，加工誤差或自然因素等引起的凸輪軸自身的彎曲也會帶來偏心誤差。因此要對凸輪的偏心進(jìn)行修正，以反映凸輪本身的真實(shí)誤差情況［4－5］。

目前，主要的凸輪偏心修正算法有插值法、差分法、平均值法、曲線擬合法等［6－8］。各種算法都有缺點(diǎn)：插值法計算會引入其他誤差，削弱偏心修正的效果；平均值法和差分法不能對非對稱凸輪進(jìn)行修正；曲線擬合法精度較低，不能用于高精密凸輪軸測量。因此本文根據(jù)實(shí)際的等周期測量數(shù)據(jù)，利用實(shí)用諧波分析技術(shù)，按照諧波分解式求系數(shù)的方法求出凸輪軸兩端主軸頸的偏心量，進(jìn)而求解出任意凸輪的偏心距和偏心角，對長度和角度進(jìn)行修正，有效減小了偏心計算的求解誤差，提高了測量效率和偏心修正的精度。

1 實(shí)用諧波分析技術(shù)

實(shí)用諧波分析技術(shù)起源于諧波分析法。諧波分析法可以將任意周期性連續(xù)函數(shù)f（x）展開為傅里葉級數(shù)：

式中，a0、an、bn為展開的傅里葉級數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)。

將傅里葉級數(shù)各諧波量分解開來，求出各次諧波分量的幅值和相角［8］。

f（x）可以用有限個諧波分量近似：

當(dāng)f（x）的周期為2π時，傅里葉級數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)a0、an、bn分別為

則n次諧波的幅值cn和相角φn分別為［9-10］

一次諧波反映零件的直徑和偏心量，即一次諧波的幅值和相角分別為被測工件相對于旋轉(zhuǎn)主軸的偏心距和偏心角［11-13］。然而在實(shí)際測量中，函數(shù)f（x）的具體表達(dá)式對于凸輪這樣的高次曲線往往無法寫出。這樣，傅里葉級數(shù)展開式的系數(shù)a0、an、bn無法根據(jù)式（3）的積分式表達(dá)出來［14-15］。本文根據(jù)實(shí)用諧波分析技術(shù)原理，把凸輪軸測量的周期信號直接表示為傅里葉級數(shù)，獲得傅里葉級數(shù)展開式的系數(shù)a0、an、bn。通過實(shí)用諧波分析技術(shù)，得到傅里葉級數(shù)展開式的系數(shù)

式中，k為一個周期的等分?jǐn)?shù)（偶數(shù)），常取12、24、48等；f（xi）為第i個等分點(diǎn)上f（x）的測量值。

實(shí)用諧波分析技術(shù)得到的n次諧波的幅值和相角計算式同諧波分析法的計算式（式（4））。

2 凸輪軸兩端主軸頸的修正

凸輪軸兩端主軸頸是圓柱，因此凸輪軸頸上點(diǎn)的徑向位置為一周期函數(shù)。根據(jù)諧波分析法的原理，應(yīng)用傅里葉級數(shù)分解凸輪軸兩端主軸頸的實(shí)際徑向測量值和轉(zhuǎn)角的周期性關(guān)系的數(shù)據(jù)組，即可得到凸輪軸兩端主軸頸的偏心距和偏心角。

為了便于計算，將每周期的軸頸測量數(shù)據(jù)等分為偶數(shù)段，在這些等分點(diǎn)上測得的凸輪徑向值分別為y0＝f（x0），y1＝f（x1），…，yi＝f（xi），由式（5）可得一次諧波的正弦分量和余弦分量的表達(dá)式：

按照式（4）和式（6）計算出一次諧波的幅值c1和初相角φ1，即凸輪軸兩端主軸頸安裝偏心的偏心距和偏心角。

3 任意凸輪的偏心修正

凸輪升程的設(shè)計基準(zhǔn)不同，其偏心值修正的方法也各不相同。當(dāng)凸輪升程的設(shè)計基準(zhǔn)為凸輪基圓時，可以利用凸輪軸兩端主軸頸的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行偏心修正。當(dāng)凸輪升程的設(shè)計基準(zhǔn)為凸輪相鄰軸頸或兩端主軸頸時，可以利用實(shí)用諧波分析技術(shù)，分別計算出作為基準(zhǔn)的2個軸頸的圓心坐標(biāo)，再計算出兩軸頸圓心的連線與第m個凸輪中心截面的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將其作為修正數(shù)據(jù)對凸輪偏心進(jìn)行修正，如圖1所示。

圖1 凸輪偏心的修正模型

圖1中，e0、e1分別為凸輪軸兩端主軸頸的偏心距，φ′0、φ′1分別為凸輪軸兩端主軸頸的偏心角，偏心距和偏心角所在的兩端主軸頸截面是平行的。將e0投影到e1所在的截面上，由三角形的余弦定理可知：

設(shè)e1對應(yīng)的夾角為α1，由三角形正弦定理可知：

在凸輪測量儀的基準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)中，凸輪軸兩端的主軸徑和任意凸輪相對于測量基準(zhǔn)的高度已知，Hm為兩基準(zhǔn)圓的距離，hm為需要修正的凸輪面到底端基準(zhǔn)圓的距離，則根據(jù)三角形相似可知：

則由三角形余弦定理可求得凸輪的偏心距：

由三角形的正弦定理可知，lm對應(yīng)的角度φ′m＝arcsin（lmsinα0/em）。因此，在第一象限，凸輪軸的偏心角為

對凸輪進(jìn)行測量，利用式（7）、式（8），計算出凸輪偏心距和偏心角，則第m個凸輪的各測量點(diǎn)補(bǔ)償后的長度值為

其中，θi為測量點(diǎn)Yi對應(yīng)的角度。對各測量點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行長度和角度修正后，就實(shí)現(xiàn)了凸輪軸的測量基準(zhǔn)與凸輪的設(shè)計基準(zhǔn)的統(tǒng)一［15］，從而減小因凸輪基準(zhǔn)不統(tǒng)一和凸輪軸自身彎曲帶來的系統(tǒng)誤差。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 主軸頸的偏心修正結(jié)果

利用設(shè)備對凸輪軸的主軸頸進(jìn)行測量，并利用偏心修正的理論進(jìn)行修正，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。由表1中的測量結(jié)果可知，實(shí)測圓與偏心圓之間的最大誤差以及理論圓與修正圓之間的最大誤差不大于2.6892μm，符合實(shí)測圓與偏心圓重合、理論圓與修正圓重合的理論，表明了實(shí)用諧波分析技術(shù)在修正凸輪軸兩端主軸頸偏心中的應(yīng)用是合理的。

表1 主軸頸偏心的測量與補(bǔ)償結(jié)果 μm

4.2 凸輪偏心的修正結(jié)果

利用凸輪偏心的修正理論，在主軸頸修正的偏心量的基礎(chǔ)上，取得各凸輪的偏心量。對凸輪軸的4個凸輪進(jìn)行測量，測量偏差與補(bǔ)償后的偏差如表2所示，未修正的升程誤差為實(shí)測圓與理論圓之間的誤差，修正后的升程誤差為修正圓與理論圓之間的誤差。由表2可知，修正前后的最大升程誤差均值的差值為15.47μm，說明該方法對凸輪的偏心量修正效果明顯，可以有效減小凸輪軸的安裝偏心和自身彎曲帶來的系統(tǒng)誤差。

表2 凸輪偏心的測量與補(bǔ)償結(jié)果 μm

4.3 整機(jī)測量結(jié)果

凸輪軸上各凸輪的升程和相位角是評價凸輪軸質(zhì)量和性能的關(guān)鍵參數(shù)，因此在凸輪軸的主要檢測項(xiàng)目中，最關(guān)鍵的是檢測各凸輪的升程誤差和相位角誤差。因凸輪升程的真值無法得到，因此常用儀器的重復(fù)測量精度代替儀器的測量精度，本實(shí)驗(yàn)中用偏擺儀選擇一彎曲度較大的凸輪軸，在同一截面上重復(fù)測量同一凸輪5次，偏心修正前后的凸輪升程誤差曲線如圖2所示。由圖2可知，偏心修正有效減小了儀器的測量誤差。

偏心修正后，5次測量的升程誤差值與5次測量的升程誤差均值的最大正誤差為3.0μm，最大負(fù)差值為－2.8μm；5次測量的相位角誤差與5次測量的相位角誤差均值的最大正誤差為0.0194′，最大負(fù)差值為－0.0256′。由此確定，偏心修正有效減小了凸輪的測量誤差，儀器的重復(fù)測量精度為2.8μm。因凸輪升程的真值無法得到，因此常用重復(fù)測量精度代替儀器的測量精度，測量結(jié)果表明，偏心修正提高了儀器的測量精度。

5 結(jié)語

將實(shí)用諧波分析技術(shù)應(yīng)用于凸輪軸兩端主軸頸偏心修正，利用諧波分析法實(shí)現(xiàn)周期函數(shù)誤差各諧波量的分解，并求出各次諧波分量的幅值和相位角，通過一次諧波的幅值和相位角分別求出被測工件相對于旋轉(zhuǎn)主軸的偏心距和偏心角，獲得凸輪軸兩端主軸頸的偏心值，從而建立基于凸輪軸兩端主軸頸偏心值的各凸輪偏心值的模型和算法。實(shí)驗(yàn)證明，實(shí)用諧波分析技術(shù)能很好地解決凸輪軸偏心量修正問題，有效減小了測量基準(zhǔn)和設(shè)計基準(zhǔn)不統(tǒng)一以及凸輪自身彎曲帶來的系統(tǒng)誤差對凸輪升程誤差的影響，該算法在偏心軸修正中有一定的應(yīng)用價值。

圖2 偏心修正的測量誤差驗(yàn)證

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