并聯(lián)機構驅動奇異的分層遞階滑模控制方法

劉延斌 郭志佳 韓建海

河南科技大學，洛陽，471003

0 引言

并聯(lián)機構具有剛度大、承載能力強、誤差小、精度高、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等一系列優(yōu)點，在性能和應用上彌補了串聯(lián)機構的不足，因此在復雜曲面的焊接、噴涂、加工、測量等領域有廣闊的應用前景。但目前真正應用到這些領域的并聯(lián)機構并不多，其原因之一就是絕大多數(shù)并聯(lián)機構（除少數(shù)無奇異并聯(lián)機構外）都存在驅動奇異問題。驅動奇異發(fā)生在工作空間內部，位形復雜，當并聯(lián)機構執(zhí)行復雜曲面的焊接、噴涂、加工、測量等任務時，勢必要進行大范圍的連續(xù)工作空間軌跡運動，因此不可避免地會以任意狀態(tài)自由地穿越工作空間內部的驅動奇異位置（奇異點），然而并聯(lián)機構處于驅動奇異位置時，動平臺某些方向上的運動將失去約束而失控，導致任務空間的運動控制精度難以保證，驅動輸入（驅動力/力矩）也迅速無限增大，直接影響工作質量。

目前關于并聯(lián)機構驅動奇異的運動控制研究可歸結為低速情況下的運動學控制和高速情況下的動力學控制兩個層面。在運動學控制研究層面：Nenchev等［1］提出了一種基于軌跡參數(shù)化的運動學控制方法，首先假定機構運動軌跡可參數(shù)化，然后在Lyapunov穩(wěn)定設計理論的框架下運用偽逆方法獲得軌跡參數(shù)和驅動速度控制律，但該方法的前提是軌跡可參數(shù)化；王玉新等［2］提出了一種擾動函數(shù)法，通過對機構輸入?yún)?shù)施加擾動量使機構保持構型通過奇異位置。在動力學控制研究層面：Ider［3］提出了一種與動力學方程相容的路徑規(guī)劃方法，使機構沿此路徑穩(wěn)定地穿越奇異位置，但其缺點是限制了穿越奇異位置的任意性，而且控制力矩需要由動力學方程的高階導數(shù)信息獲得，計算稍顯復雜；Jui等［4］提出了一種基于軌跡參數(shù)化的動力學控制方法，首先假定機構運動軌跡可參數(shù)化，然后根據(jù)奇異區(qū)內的某些穩(wěn)定條件對軌跡參數(shù)進行規(guī)劃，再結合偽逆方法獲得驅動力控制律，其缺點同樣是限制了穿越奇異位置的任意性；Briot等［5］提出了一種基于最優(yōu)動力學條件的路徑規(guī)劃方法，可使機構沿此路徑穩(wěn)定地通過奇異位置，其缺點仍然是限制了穿越奇異位置的任意性；Kao等［6］提出了一種阻尼最小二乘法，其思想是當機構通過奇異位置時，對失秩的雅可比矩陣通過運用偽逆方法和引入阻尼項進行數(shù)學處理，以獲得奇異魯棒性和控制精確性折衷的近似解。

本文引入滑模控制理論，分別基于分層遞階結構的滑模控制方法［7－9］和基于偽逆的滑模控制方法設計了運動控制器，并通過仿真進行了分析和驗證。

1 自由度分析

圖1所示的3－RPR型平面并聯(lián)機構含3個分支，每個分支由2個轉動副（R副）和1個移動副（P副）組成，DFE為動平臺，ACB為基平臺，三個P副為驅動副，a為DF的長度，b為FE的長度，c為AC的長度。

圖1 3－RPR型平面并聯(lián)機構及其結構參數(shù)示意圖

設定一個動平臺坐標系O′UVW，原點與DE的中點重合，U軸與直線DE重合，V軸與直線DE垂直，W軸與6個R副軸線平行。再設定一個參考坐標系OXYZ，當機構處于中位時，原點與坐標系O′UVW的原點重合，軸X、Y、Z分別平行于軸U、V、W。

可見，3－RPR型平面并聯(lián)機構的動平臺相對基平臺有3個自由度：繞Z軸的旋轉和沿X軸、Y軸的平移。

2 奇異分析

2.1 約束奇異分析

2.2 支鏈奇異分析

2.3 驅動奇異分析

圖2 3－RPR平面并聯(lián)機構的七種可能驅動奇異位形

3 動力學建模

首先確定系統(tǒng)的位形坐標：

式中，δ1、δ2、δ3為3個驅動副的伸縮量；θ1、θ2、θ3為3條支鏈相對于基平臺的轉角；（x，y，γ）為動平臺在參考系中的位姿坐標。

則可建立如下的6個運動學方程：

將x、y、γ視為獨立變量，則根據(jù)上面的運動學方程可得到非獨立變量δ1、δ2、δ3、θ1、θ2、θ3關于獨立變量的表達式：

系統(tǒng)的總動能為

系統(tǒng)的總勢能為

式中，mm、Jm分別為動平臺的質量和相對質心的轉動慣量；mi1、Ji1分別為第i條支鏈的下伸縮桿的質量和相對于基平臺連接的鉸點的轉動慣量；mi2、Ji2分別為第i條支鏈的上伸縮桿的質量和相對質心的轉動慣量；li為第i條支鏈的中位長度，l0＝l1＝l3；hi1為第i條支鏈的下伸縮桿的質心到與基平臺連接的鉸點的距離；hi2為第i條支鏈的上伸縮桿的質心到與動平臺連接的鉸點的距離。

將非獨立變量δ1、δ2、δ3、θ1、θ2、θ3的代數(shù)表達式及其1階微分代入式（1）、式（2）中，則根據(jù)拉格朗日方程可得如下形式的動力學模型：

式中，u為驅動輸入。

4 驅動奇異運動控制

4.1 基于分層遞階結構的滑模控制

通過奇異分析可知，并聯(lián)機構處于圖2a～圖2f所示的奇異位形時，均僅有一個運動失去約束，此時的雅可比矩陣的秩應為2，因此在奇異位置X0，JT（X0）可通過奇異值分解表達成如下形式：

式中，P、Q均為正交變換矩陣；σ為對角陣，σ＝diag（σ1，σ2）；σ1、σ2為奇異值。

在奇異位置X0的鄰域Ω內，有

式中，E為小參數(shù)對角陣，E＝diag（ε1，ε2，ε3）。

對于式（3）的右端則有

令τ＝QTu，并將式（4）代入式（5）得

由于E為小參數(shù)矩陣，因此可將Δ視為建模誤差，并將式（6）代入式（3）得

然后將上式寫成如下形式：

進一步寫成

可見該系統(tǒng)是典型的欠驅動系統(tǒng)。

4.1.1 具有轉動奇異特性的奇異位置的控制器設計

圖2a～圖2d所示的4種奇異位形，其驅動螺旋皆相交于一點的情形，動平臺此時的轉動自由度失去約束，因此式（8）中的第3個子系統(tǒng)是欠驅動子系統(tǒng)。

首先設計底層滑模函數(shù)：

式中，（xd，yd，γd）為給定的動平臺參考位姿；c1、c2、c3為正常數(shù)。

然后設計2個上層滑模函數(shù)：

式中，μ1、μ2、λ1、λ2為正常數(shù)；a1、a2為常數(shù)。

式（10）和式（11）是為了保證s1與λ1s2＋s3同號，以及s2與λ2s1＋s3同號，因此，當S1，S2→0時，就能夠保證s1→0與λ1s2＋s3→0，以及s2→0與λ2s1＋s3→0，從而保證s3→0，最終實現(xiàn)ex，ey，ez→0。

對式（8）求導得

采用指數(shù)趨近律

式中，k1、k2為正常數(shù)。

因此可得虛擬控制律：

由于τ＝QTu，因此有

式中，O1、O2分別為矩陣QT的第一行和第二行。

這樣可根據(jù)廣義逆方法設計實際控制器：

4.1.2 具有平動奇異特性的奇異位置的控制器設計

圖2e、圖2f所示的2種奇異位形，驅動螺旋皆平行，表明動平臺此時沿垂直于驅動螺旋方向的平動自由度失去約束，為此引入如下的線性變換：

式中，γ0為在該奇異位形下驅動螺旋相對參考系X軸的轉角。

將式（14）取2階微分，并將式（7）代入得

將上式進一步寫成

此時，式（15）中的第一個子系統(tǒng)為欠驅動子系統(tǒng)。

設計如下的底層滑模函數(shù)：

式中，d1、d2、d3為正常數(shù)。

而兩個上層滑模函數(shù)則設計為

式中，ν1、ν2、κ1、κ2、b1、b2為正常數(shù)。

因此最終可保證ex，ey，ez→0。

對式（17）求導得

采用指數(shù)趨近律

式中，ζ1、ζ2為正常數(shù)。

因此可得虛擬控制律：

同樣，由式τ＝QTu根據(jù)廣義逆方法設計實際控制器：

4.2 基于偽逆的滑模控制

式（3）可寫成

設計滑模函數(shù)

式中，C1、C2、C3為正常數(shù)。

對式（23）求導，并由式（22）得

采用指數(shù)趨近律

其中，Ki、Σi（i＝1，2，3）為正常數(shù)，即可得如下控制器：

式中，（JT）＋為JT的偽逆。

5 仿真分析

并聯(lián)機構的物理參數(shù)如下：mm＝5kg，Jm＝0.83kg·m2，m11＝m21＝m31＝m12＝m22＝m32＝1kg，J11＝J21＝J31＝0.3kg·m2，J12＝J22＝J32＝0.15kg·m2。 并聯(lián)機構的結構參數(shù)如下：a＝0.6m，b＝0.4m，c＝1.08m，l0＝0.8m，θ0＝60°，h11＝h21＝h31＝h12＝h22＝h32＝0.3m。

首 先 給 定 初 始 位 置 （x（0），y（0），γ（0））＝（5mm，5mm，－0.1rad），目標點為如圖2a所示的奇異位置（0，0，0），圖3所示為利用基于分層遞階結構的滑模控制器（式（12）、式（13））得到的控制仿真結果；圖4所示為利用基于偽逆的滑模控制器（式（24））得到的仿真結果。

然后再給定初始位置（x（0），y（0），γ（0））＝（－715.8mm，－232.5mm，0.96rad），目標點為圖 2c 所 示 的 奇 異 位 置（－712.8mm，－216.5mm，0.98rad），圖5所示為利用基于分層遞階結構的滑模控制器得到的控制仿真結果；圖6所示為利用基于偽逆的滑模控制器得到的仿真結果。

圖3 基于分層遞階結構的滑模控制仿真

圖4 基于偽逆的滑模控制仿真

圖5 基于分層遞階結構的滑模控制仿真

圖6 基于偽逆的滑模控制仿真

6 結語

由圖3a、圖4a、圖5a、圖6a可見，兩種控制方法都具有較快的響應速度，且能夠達到較高的鎮(zhèn)定精度；由圖3b、圖4b、圖5b、圖6b可見，基于偽逆的滑模控制方法的驅動力輸入量比基于分層遞階結構的滑模控制方法的驅動力輸入量要大很多，其大小實際上很難實現(xiàn)，因此基于分層遞階結構的滑模控制方法更有實際應用價值。

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