LMD時頻分析方法的端點效應在旋轉機械故障診斷中的影響

任達千 楊世錫 吳昭同 嚴拱標

1.浙江大學，杭州，310027 2.浙江機電職業技術學院，杭州，310053

0 引言

旋轉機械故障診斷的目的是在早期發現潛在的故障。旋轉機械在工作時會發生振動，通過對振動信號的檢測和處理可以提取故障特征，并進一步確定故障類別。旋轉機械故障診斷常用的信號處理方法有FFT、小波變換、Hilbert－Huang變換等［1］。

2005 年，Smith［2］提出了局域均值分解（local mean decomposition，LMD）算法，并首先將其應用于腦電圖（EEG）信號的時頻分析。與經驗模態分解（empirical mode decomposition，EMD）類似，LMD也是以極值點定義包絡線，但用滑動平均代替EMD方法中的3次樣條插值。LMD的最終結果是一系列調頻調幅信號，可以進一步用反余弦函數直接求得瞬時頻率。由于端點附近的包絡線無法正確獲得，LMD算法同樣存在端點效應。

為了解決LMD中出現的端點效應，本文提出了一種基于能量的端點效應評估方法，比較了LMD和EMD的端點效應。端點效應的嚴重程度與包絡線的定義方法有關，由此提出一種鏡像延拓極值點的端點效應抑制方法。將修正后的LMD方法應用于轉子裂紋故障的診斷中，獲得了較好的實驗結果。為進一步抑制LMD的端點效應，可以考慮改進包絡線的生成方法。

1 LMD基本算法

對信號的局域均值分解，首先需要確定原始信號x（t）所有的極值點，從左到右分別標記為n1，n2，…，其中，第i段的局域均值函數mi和局域包絡函數ai分別為

再對局域均值函數和局域包絡函數進行滑動平均，若相鄰點的值相等，則再次滑動平均直到任何相鄰點不再相等，即得到局部均值函數m11（t）和局域包絡函數a11（t）。然后，將局部均值函數m11（t）從原始信號x（t）中分離出來，得到

再將h11（t）除以局域包絡函數a11（t），以對h11（t）進行解調，得到

如果s11（t）相對應的局域包絡函數不滿足a12（t）＝1，則將s11（t）作為原始數據重復以上迭代過程，直到s1n（t）為一個純調頻信號，即－1≤s1n（t）≤1，它的局域包絡函數滿足a1（n＋1）（t）≈1。

最后把迭代過程中產生的所有局域包絡線函數相乘便可以得到包絡信號：

該包絡信號即為乘積函數（production function，PF）的瞬時幅值。將包絡信號a1（t）和純調頻信號s1n（t）相乘便可得到原始信號的第一個PF分量：

將PF1（t）從原始信號x（t）中分離出來，得到一個新的信號u1（t），將u1（t）作為原始數據重復以上步驟，循環k次，直到uk（t）的極值點少于等于1為止，x（t）分解為k個PF分量和uk（t）之和，即

式中，uk（t）為殘余項；PFp（t）為包絡信號ap（t）和純調頻信號sp（t）的乘積。

從上述計算方法可以看到，LMD分解是一個逐漸去除信號高頻成分的過程。

2 端點效應的評價指標

實際存在的信號序列的長度總是有限的，在無法知道端點以外的信號的情況下，端點附近的局域均值函數和局域估計函數只能根據已知信號推測，不可避免地造成算法的誤差。因此，LMD也受到端點效應的影響。文獻［3］對EMD的端點效應做了定性描述，但沒有給出端點效應的定量指標。

筆者認為，LMD的端點效應給分解結果添加了虛假成分，各PF的能量也會改變，因此可以通過比較LMD分解前后的信號能量，來評估端點效應的影響程度。

LMD分解的結果如下：

殘余項uk（t）在這里也和PF一樣參與計算。在實際計算中，為了便于比較，可以先計算原信號x（t）和LMD得到的各PF的均方根值（有效值）：式中，s（i）為需要計算有效值 的信號；n為信號的 采樣點數。

按式（10）比較各PF有效值的總和與原信號有效值，得到一個評價指標：

式中，R0為原信號有效值；Rp為第p個PF的有效值；Ru為殘余項的有效值。

根據定義可知θ≥0，如果端點效應對LMD沒有影響，則θ＝0。θ的值越大，說明端點效應的影響越嚴重。

3 LMD和EMD端點效應的比較

LMD和EMD的原理類似，兩種分析方法均受到端點效應的影響。EMD分解受端點效應的影響很嚴重，如果沒有適當的方法抑制端點效應，則虛假成分將從端點附近開始，逐漸“污染”整個信號序列。有時候，端點效應將導致EMD的結果完全不好用［3］。與EMD相比較，LMD的端點效應輕得多，處理起來也相對容易。LMD和EMD的端點效應對比如下：

（1）LMD信號端點附近未知包絡線的長度比EMD的信號端點附近未知包絡線的長度短。LMD和EMD的共同之處在于找出信號的極大值和極小值，然后由這些極值點來生成信號的包絡線。端點以外的信號極值點是未知的，因此端點附近的包絡線總是有一段是未知的，但是極值點生成包絡線的方法有所不同，LMD未知的包絡線長度比EMD的短。上述定義的局域均值函數和局域包絡函數經簡單的計算即可得信號的包絡線，這里以局域均值函數為例說明。如圖1所示，信號左端點的右邊至第1個極值點（箭頭所指）左邊的局域均值函數是未知的。EMD的上包絡線是對極大值點作3次樣條插值，從第1個極大值點開始有定義；下包絡線是對極小值點作3次樣條插值，從第1個極小值點開始有定義；包絡平均為上下包絡之差，從第2個極值點開始有定義。因此，EMD的包絡平均在第2個極值點（箭頭所指）的左邊是未知的。

圖1 LMD和EMD端點附近包絡線未知長度比較

（2）存在特殊的信號，LMD的分解結果幾乎不受端點效應影響。在LMD分解過程中，如果端點同時也是極值點，那么端點作為一個極值點即可求出完整的局域均值函數和局域包絡函數，端點效應可以基本得到消除。圖2中余弦函數的表達式為

圖2 余弦信號

圖3所示為余弦信號的LMD分解結果（分解為乘積函數PF1和殘余項R），殘余項的幅值僅為原信號幅值的5.0×10－4左右，完全可以忽略。余弦信號的端點本身就是極值點，在LMD分解過程中，計算局域均值函數和局域包絡函數將信號端點作為極值點，因此并不會帶來誤差，端點效應基本消除。

圖3 余弦函數LMD分解結果

對于EMD，即使端點是極大值點或極小值點，信號的EMD分解結果依然受端點效應影響。余弦函數符合本征模函數（intrinsic mode function，IMF）的定義，EMD的分解結果應該就是原信號。實際分解結果如圖4所示，IMF1最接近原信號，但是在端點附近發生了明顯的變形，IMF2、IMF3、IMF4均是虛假的成分。

（3）LMD端點效應的擴散速度比EMD慢。LMD和EMD端點效應首先發生在端點附近，然后不斷向內擴散，但是擴散的速度不一樣。圖5中，實線所示為正弦曲線，包絡線應該為一直線，但由于端點效應，端點附近的包絡線發生了變形。圖5a中的虛線表示LMD算法的局域包絡函數，端點效應的影響范圍在箭頭左側，即端點以內的3個極值點。圖5b中的虛線為EMD算法的上包絡線（由3次樣條函數插值得到），端點效應的影響范圍在箭頭左側，即端點以內的5個極值點。

圖4 余弦函數EMD分解結果

圖5 LMD和EMD端點效應擴散速度比較

3 一種抑制LMD端點效應的延拓方法

本文提出的延拓方法，從本質上講是一種鏡像延拓，但只延拓一個極值點，而不是延拓一段信號。在每一次求局域均值函數和局域包絡函數之前都重新延拓。這樣延拓極值點之后，端點效應即可得到有效的抑制。

如圖6所示，仿真信號是調幅信號和正弦信號之和，表達式如下：

如圖7所示，小圓圈表示信號的極值點，以離端點最近的一個極值點為對稱軸（點劃線），將離端點次近的一個極值點向外延拓。在按式（1）、式（2）求局域均值函數和局域包絡函數的時候，將這個延拓的極值點代入，即可求出信號完整的局域均值函數和局域包絡函數。

圖6 仿真信號

圖7 極值點延拓方法

沒有應用端點效應抑制方法時，LMD分解結果如圖8所示，分解結果共有7個乘積函數，可看到PF1為調幅信號，但是在端點附近有明顯變形。PF2與正弦信號很相似。PF3～PF7和殘余項的幅值較小，即可看做是LMD分解的誤差成分。按式（11）計算可得評價指標θ＝0.029。

圖8 未應用極值點延拓方法的LMD結果

對圖6所示的仿真信號，應用延拓方法后再一次作LMD分解，結果如圖9所示。僅有2個乘積函數和1個殘余項，PF1和PF2僅在端點附近有非常輕微的變形，殘余項的幅值很小，可以忽略。端點效應評價指標θ＝0.013。和圖8所示的LMD分解結果相比，端點效應得到很好抑制。

圖9 應用極值點延拓方法的LMD結果

4 裂紋轉子故障診斷

Wang等［4］將LMD應用于轉子碰摩和氣流激振故障的特征提取，并認為LMD比EMD能更好地預測早期故障。

在轉子系統中，裂紋故障具有突發、診斷困難、后果嚴重等特點。裂紋轉子的振動機理尚不十分明確，而且小裂紋轉子往往不發生劇烈的振動，因此裂紋故障十分隱蔽，難以識別。文獻［5］指出，裂紋轉子將引發彎扭耦合振動，扭轉與彎曲振動的耦合是通過不平衡量來實現的，在裂紋較深和偏心較大時，扭轉振動對彎曲振動的影響是比較大的。當轉子系統產生扭振時，扭振信息以相位調制的形式存在于轉子的振動信號中，形成調相信號，相位調制將改變振動信號的瞬時頻率。因此，振動信號的瞬時頻率可以作為裂紋轉子的一種特征。

實驗之前定制深裂紋轉軸，首先利用線切割機在軸上指定位置切割出深度為直徑50%的切槽，切槽寬度約為0.12mm，然后在切槽中嵌入厚度為0.10mm的薄金屬片，使之形成近似的開閉裂紋，為防止薄金屬片脫落，在薄金屬片的其中一面涂上502膠水，使金屬片與切槽單面粘合。如圖10所示，裂紋與右端面的距離L＝100mm。振動信號波形和頻譜如圖11所示，采用定時采樣方式，采樣頻率為3000Hz，軸頻f0＝68.5Hz。

對轉子裂紋故障信號做LMD分解，未處理端點效應和對極值點延拓的結果分別如圖12所示。從圖12可以看到，兩者均分解為PF1～PF4，PF1的幅值最大，但是對極值點延拓之后，PF2～PF4的幅值下降。端點效應的評價指標θ從1.3×10－3下降到8.3×10－6。

圖10 轉子裂紋加工示意圖

圖11 裂紋轉子振動信號和幅值譜

基于LMD的時頻譜如圖13所示。邊緣譜如圖14所示，邊緣譜的能量集中在軸頻附近，沒有明顯的二倍頻和高倍頻，也可看到頻率調制現象在頻譜圖和時頻分析中的不同表現。信號經LMD分解以后，能量主要集中在PF1，應用“直接法”［6］對PF1求取瞬時頻率，頻率調制現象清晰可見，如圖15所示。

由上述研究可知，裂紋轉子的振動信號有明顯的波內頻率調制現象，邊緣譜中二倍頻則不明顯。

5 結語

本文提出了一種基于能量的端點效應評價指標，對LMD的端點效應產生原因做了分析，并將其與EMD的端點效應進行了比較。因為包絡線的定義方法不同，端點附近未知的包絡線長度較短，存在特殊信號，LMD分解結果幾乎不受端點效應影響，且LMD端點效應的擴散速度比EMD慢，因此LMD的端點效應相對較輕。提出的一種端點鏡像延拓的端點效應抑制方法經仿真驗證，能很好地抑制LMD的端點效應。應用LMD對轉子裂紋故障做了實驗研究，發現LMD方法能提取出轉子裂紋故障的特征，取得較滿意結果。

圖12 裂紋轉子振動信號LMD分解結果

圖13 裂紋轉子振動信號基于LMD的時頻譜

圖14 裂紋轉子振動信號邊緣譜

圖15 對裂紋轉子振動信號PF1求得的瞬時頻率

［1］褚福磊，彭志科，馮志鵬，等.機械故障診斷中的現代信號處理方法［M］.北京：科學出版社，2009.

［2］Smith J S.The Local Mean Decomposition and Its Application to EEG Perception Data［J］.J.R.Soc.Interface，2005，2（5）：443－454.

［3］Huang N E，Shen Zheng，Long S R，et al.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non－stationary Time Series Analysis［J］.Proceedings of Royal Society A，1998，454（1701）：903－995.

［4］Wang Yanxue，He Zhengjia，Zi Yanyang.A Comparative Study on the Local Mean Decomposition and Empirical Mode Decomposition and Their Applications to Rotating Machinery Health Diagnosis［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2010，132（2）：10.1115/1.4000770.

［5］楊正茂，肖錫武.裂紋轉子彎扭耦合振動的理論研究［J］.華中科技大學學報（自然科學版），2002，30（6）：1－3.

［6］任達千，楊世錫，吳昭同，等.基于LMD的信號瞬時頻率求取方法及實驗［J］.浙江大學學報（工學版），2009，43（3）：523－528.