一種模態弱響應且模態密集的參數識別方法

賈天嬌 岳 林

南京航空航天大學，南京，210016

0 引言

傳統的實驗模態分析方法已經在航空航天、建筑、運輸、機械、能源等幾乎所有與結構動態分析有關的領域中得到了廣泛而成功的應用［1］，該類方法要求同時測得結構上的激勵和響應信號。而運行模態分析僅根據系統的響應進行結構的模態參數辨識，不需施加人工激勵，試驗簡便且不受結構形狀和大小的限制，不影響結構的正常工作，同時也避免了對結構產生損傷，安全性好。因此，運行模態分析比傳統的實驗模態分析方法更具有優越性，更適合工程實際應用中一些大型結構（如橋梁、高層建筑以及海洋平臺等）或特殊系統（如運轉的轉子系統、運行中的飛行器等）的測試和分析。

運行模態系統參數識別的數據非平穩，含有大噪聲，為寬帶隨機激勵且輸出信號較弱，對于高柔度的飛機或橋梁以及輸油管線結構，一般還存有密集模態。目前，在假設結構為線性系統的基礎上，運行模態辨識的方法很多，但對弱響應輸出且固有頻率非常密集的結構的識別效果往往不盡人意。2004年，LMS公司推出PolyMax法［2］，即多參 考 最 小 二 乘 復 頻 域 （least squares complex frequency，LSCF）法，該方法對小阻尼密集模態系統的參數采用穩定圖法進行多次識別，有較好的精度。此外，小波分析方法在非平穩響應參數識別方面，有很好的去除噪聲、獲取系統主要模態頻率的效果，對短樣本、大噪聲和密頻數據的模態識別效果良好［3－6］。實際測量過程中獲得的響應信號的各階特征能量往往相差懸殊，在利用響應信號的相關函數［7－8］進行振動結構模態參數識別時，由于相關函數使大能量信號增強，小能量信號減弱［9］，已有的PolyMax法和小波模態辨識法，無法有效地對能量極小的弱響應模態特征進行辨識。為了解決此問題，本文先通過傳遞率的計算來突出弱響應信號的頻率特征，然后針對大噪聲、密頻的特點再采用小波模態辨識法識別模態頻率和阻尼比。

1 聯合方法的理論

1.1 傳遞率的概念

當激勵力為近似平穩白噪聲時，系統的激勵力為f（t），設每個測點i輸出的響應信號為xi（t），i＝1，2，…，n。對一個測點j，系統頻響函數的H1估計為

式中，F（ω）、Xj（ω）分別為激勵力f（t）和輸出xi（t）的傅里葉變換；GFF（ω）為激勵力f（t）的自功率譜密度；GXF（ω）為輸出xi（t）和激勵力f（t）的互功率譜密度。

對兩個測點j和p（j≠p），系統的傳遞率定義為

式中，Gpp（ω）為測點p響應的自功率譜密度；Gpj（ω）為測點p和測點j響應的互功率譜密度。

比較式（1）與式（2），可知傳遞率與頻響函數的H1估計非常相似［10］，對傳遞率作傅里葉逆變換后，就可進行模態參數識別。一般情況下，應選取響應較大的測點為參考點，計算其他測點與該參考測點的傳遞率。

式（2）中，傳遞率以參考點p的自功率譜密度Gpp（ω）作為分母，當參考點p的特征頻率ωr（r＝1，2，…，N，系統共有N階固有頻率）的能量越大時，自譜Gpp（ωr）的值也越大，而1/Gpp（ωr）的值越小，相對應的aj（ωr）減小，即此處的大能量信號削弱。同理，特征頻率ωr的能量越小，aj（ωr）越大，即小能量信號更加突出。例如，兩正弦信號x1和x2，取 采 樣 點 數 4096，采 樣 率 160Hz，x1＝100sin（40πt）＋0.1sin（60πt），x2＝ 80sin（40πt）＋sin（60πt），顯然，信號x1和x2各自的2階特征能量均相差懸殊，選信號x1作為參考，計算得到的信號x1和x2的互譜密度如圖1所示。信號x1和x2的傳遞率的幅頻特性如圖2所示。

圖1 信號x1和x2的互譜密度

圖2 信號x1和x2的傳遞率幅頻特性

由圖1、圖2可知，信號間的相關函數導致30Hz的小能量特征被削弱，難以辨識；而信號間的傳遞率計算導致的20Hz的大能量特征相互抵消，同時使得30Hz的弱小特征更加突出。因而，傳遞率法對弱小模態特征的辨識具有很大的優勢。

1.2 聯合方法模態辨識原理

本文提出的聯合相關函數和傳遞率的小波模態辨識方法（簡稱聯合方法）的實現步驟如下：

（1）選擇參考點。每次分析，選擇一個輸出作為參考后，再取一個輸出，如（2）～（4）采用選定的兩組輸出信號進行系統模態辨識。

（2）計算相關函數和傳遞率。對大能量響應模態的辨識先計算相關函數，對弱響應模態的辨識則先計算傳遞率，使其更加突出后再用傅里葉逆變換求出傳遞率對應的時域信號。

（3）連續小波變換。針對數據短樣本、大噪聲、密頻的特點，對相關函數和傳遞率對應的時域信號分別進行連續小波變換。

（4）模態參數辨識。根據小波系數與模態參數的關系［11］，對用小波系數脊提取法分離出的單一頻率信號，通過小波骨架包絡線的自然對數的斜率和小波骨架相位的斜率，識別出結構的模態參數。

（5）統計結果。重復（1）～（4），對所得模態辨識結果進行統計，得到完整的系統參數辨識結果。

聯合方法模態辨識思路如圖3所示。

圖3 聯合方法模態辨識流程圖

2 仿真實驗

為了驗證聯合方法的有效性，采用GARTEUR飛機模型數據建立隨機激勵的數值仿真模型。GARTEUR飛機模型是歐洲航空科技研究集團于20世紀90年代設計的具有真實飛機高柔度密集模態的飛機模型，該模型真實地模擬了實際飛機的動態特性［12］，第3～5階為密集模態，頻率依次為33.01Hz、33.66Hz和35.14Hz，阻尼比均為1%。

GARTEUR模型在運行狀態下，信號采樣率為256Hz，采樣點數為15360，共7個通道，其中通道2～7為不同測點的輸出。各輸出通道響應信號0～40Hz的傅里葉譜如圖4所示。由圖4可知，系統的第1階特征的能量極大。圖5所示為輸出通道6的15～40Hz的響應信號傅里葉譜。由圖5可知，第2階及30～40Hz的3階密集特征的能量極小、淹沒在噪聲中。因此，系統各階特征的能量相差懸殊，要得到完整而精確的辨識結果有較大的難度。

圖4 各輸出通道響應信號的傅里葉譜（0～40Hz）

圖5 通道6響應信號的傅里葉譜（15～40Hz）

下面將通道2作為參考，以通道6為例，具體說明本文提出的聯合方法的模態辨識過程。首先，分別計算通道2和通道6間的互相關和傳遞率。互相關的傅里葉譜即互譜如圖6所示，從其上僅能觀察到能量極大的第1階特征。而在圖7所示的傳遞率幅頻特性中，第1階的大能量特征相互抵消，同時，第2階及第3～5階弱小特征都得到清晰地展現，使得此4階模態易于辨識。顯然，對于具有弱小特征的系統響應，使用響應信號的傳遞率，可增強信號，保證其可辨識性。

圖6 通道2和通道6間的互譜

圖7 通道2和通道6間傳遞率的幅頻特性

其次，對互相關和傳遞率傅里葉逆變換信號分別進行連續小波變換，連續小波變換后的小波時頻圖及小波骨架如圖8、圖9所示。

圖8 互相關的時頻圖及小波骨架

圖9 傳遞率傅里葉逆變換信號的時頻圖及小波骨架

然后，由小波系數與模態參數的關系識別出結構的模態參數。圖10所示為第1階特征至第4階弱小特征的小波模態識別的小波系數幅值擬合圖和相位擬合圖。

圖10 GARTEUR模型的5階模態識別的小波系數幅值擬合圖和相位擬合圖

為了對本文方法的仿真結果進行驗證，采用LMS國際公司推出的 MACEC（modal analysis on civil engineering construction）系統識別商業軟件［13］（3.1版本）進行識別，選擇多參考最小二乘復頻域法（pLSCF）的運行模態分析結果作為參考。pLSCF算法理論的總體思路與時域的最小二乘復指數法（LSCE）很相似，用于運行模態分析時，是以自譜、互譜矩陣為基礎的。分析過程中，pLSCF法的自譜、互譜采用相關圖法計算，即由相關函數間接求得，圖11a所示為以通道2為參考，與通道6間的互譜，第1階特征明顯且其余4階弱小特征無法觀察到，同本文計算的互譜圖6辨識效果一致；選擇GARTEUR數據的6個輸出通道為參考通道，相關函數計算時延為1024，最后計算的穩態結果如圖11b所示，圖11c所示為穩態圖的局部效果圖，從圖中可以更清楚地觀察30～40Hz間的3階密集模態識別結果，其中⊕表示頻率、阻尼和模態3種參數全部穩定，辨識結果可靠。

圖11 基于最小二乘復頻域法（pLSCF）計算的互譜和穩態圖

表1所示為聯合方法模態辨識統計結果與pLSCF法辨識結果對比。

由表1可知，PolyMax法在一般情況下的效果良好，但針對本文“響應信號數據樣本較短、模態密集以及弱響應信號淹沒在大噪聲中”的情況，此方法的識別效果并不令人滿意，因盡管其模態頻率辨識精度較高，但其阻尼比的辨識結果卻非常不理想。相比而言，本文提出的聯合方法盡管模態頻率辨識相對誤差要比PolyMax法稍大，但總體來說其模態頻率辨識精度還是較好的；另外，聯合方法不僅極大地提高了阻尼比的辨識精度，而且還明顯地改善了30～40Hz間的3階模態密集的弱響應的模態識別效果。

表1 GARTEUR模型在兩種不同方法下的模態參數識別結果

3 結論

（1）響應信號間的相關函數會導致大能量信號的增強，但與此同時會導致小能量信號的削弱。因而，相關函數法模態參數識別適合于大能量信號的模態特征辨識，對弱響應模態的辨識難以奏效。

（2）響應信號間的傳遞率計算導致大能量信號相互抵消，同時使小能量信號更加突出。因而，傳遞率法模態參數識別無法辨識大能量信號的模態特征，但對密頻、噪聲淹沒情況下的弱響應模態的辨識具有很大的優勢。

（3）小波模態參數識別方法對短樣本、大噪聲、密頻數據的模態識別效果良好。

（4）基于傳遞率和相關函數的小波模態參數識別方法即聯合方法，僅通過輸出的響應信號就可完整準確地辨識出大噪聲下具有弱響應、密集模態特征系統的模態參數。

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