角振動對光學成像系統傳遞函數影響分析

李玉龍 何忠波 白鴻柏 李冬偉

軍械工程學院，石家莊，050003

0 引言

在現代戰爭中，動載體偵查系統的地位日趨重要，被廣泛應用于機載或車載成像系統中，成為各國競相研制的熱點。由于動載體成像系統工作在大頻帶、頻率密集的振動環境中，動載體的振動會通過平臺傳遞到光學系統上，造成光學系統的振動，而且成像系統各機械部件間存在的裝配誤差和傳動誤差也會引起光學系統的振動，這些振動的存在會影響成像系統的成像質量。研究不同振動形式對成像質量的影響的量化關系，確定振幅和振動頻率等振動參數對光學系統成像質量的影響，對光電平臺減振裝置的設計具有重要的指導意義。

國內外許多專家研究了振動對光學成像系統的影響。趙鵬［1］從幾何光學角度入手進行了分析，指出振動形式主要分為線振動和角振動，垂直于光軸平面的線振動大于沿光軸的線振動，繞垂直于光軸平面內坐標軸的角振動大于繞光軸的角振動，角振動的影響遠遠大于線振動的影響，并通過幾何分析給出了相應的關系式；耿文豹等［2］從光學調制傳遞函數的角度對振動對光學系統成像質量的影響進行了研究，將各振動形式對系統成像質量的影響量化，得到了振動對光學傳遞函數影響的具體表達式；Hadar等［3－6］也作了大量的研究和試驗。但以上的專家都只限于線振動對成像質量影響的分析，而沒有對影響最大的角振動進行系統的理論分析。本文通過幾何分析發現，角振動引起的物像與焦平面傳感器之間發生的振動可分為橫向振動（橫向偏移）與縱向振動（縱向離焦），結合線振動對光學系統傳遞函數的影響，分析了角振動的振動參數對調制傳遞函數的影響，并提出了相應的減小角振動的措施。

1 振動形式及角振動分解表達式分析

光學系統振動的具體表現形式是物像與焦平面傳感器之間的相對運動，可分解為沿X、Y、Z三軸的線振動和繞三軸的角振動。常見的六自由度振動如圖1所示，Z方向為光軸方向，X、Y方向為垂直于光軸方向。

圖1 坐標系的建立和振動的分解

取出像面上任一區域（如CCD的任一像元），曝光時間內的振動位移可以視為沿各個坐標軸的振動位移分量的合成，如圖2所示，物像相對于焦平面傳感器的任一振動在宏觀上都可視為沿Z軸的縱向振動和沿X、Y軸的橫向振動的合成［2］。

圖2 振動形式分析

1.1 繞X軸（或Y軸）的角振動分析

繞X軸（或Y軸）的角振動可分解為圖3所示形式，物像相對于焦平面傳感器的位移可視為縱向偏移位移Δd和橫向偏移位移Δr的合成，兩方向的偏移共同引起成像質量的下降。圖3中，r為像點的起始位置；Δψ為角振動產生的鏡頭偏移量；β為物點主光線與初始位置光軸的夾角；f為鏡頭焦距；H為拍攝距離。

圖3 繞X（或Y）軸角振動分解

設角振動為正弦振動，其振動方程為

式中，ω為角振動頻率；α0為角振動的振幅。

假設3個軸的回轉中心都過相機的鏡頭，即相機的轉動沒有引起光學系統的主光軸平移［2］，則物像和焦平面傳感器之間的空間坐標隨時間發生改變，如圖3所示，有

對式（2）取微分有

產生dβ、dr的原因是由于相機的轉動即角振動而引起的物像與焦平面之間的相對位置變化。

dβ、dr的計算式為

經歷時間t′內像點的像移為

式中，t0為角振動的起始時間。

由于轉動的角度Δψ比較小，縱向分量（離焦量）可等效為

式（6）和式（7）中，t0是一固定的數值，若β一定，則r固定，所以Δr和Δd是僅關于經歷時間t′的正弦函數（與角正弦振動的頻率相同，振幅不同）。所以，角振動引起的物像在橫軸面上的運動方程為（t′為自變量）引起的縱軸離焦量為

1.2 繞Z軸的角振動分析

繞Z軸的角振動只引起像點橫向振動，而無縱向的振動，如圖4所示。

圖4 物像繞Z軸相對轉動

同理可得像點的像移函數：

可見D（t′）Δz是關于t′的正弦函數。總結以上分析可知，D（t′）Δr與D（t′）Δz是 橫 向 振 動，D（t′）Δd是縱向振動。

2 角振動對光學系統傳遞函數的影響

由于光學系統的各個環節可以看作是空間物體的線性低通濾波器，因此它們的調制傳遞函數為

式中，Ms為系統總的調制傳遞函數；Mo、Ma、Mv、… 分別為影響光學系統成像質量的各個因素的調制傳遞函數［7］。所以，可通過縱軸和橫軸的傳遞函數之積來表示繞X軸、Y軸的角振動對成像系統傳遞函數MTF的影響：

式中，MTFΔr為橫軸線偏移調制傳遞函數；MTFΔd為縱軸線偏移調制傳遞函數。

MTF與MTFΔr及MTFΔd成正比。因此，可對各部分線偏移振動對傳遞函數的影響進行單獨分析，最后綜合考慮角振動參數對MTF的影響。

2.1 縱向、橫向偏移振動的影響

2.1.1 縱向偏移振動

縱向偏移振動造成的成像系統離焦如圖5所示。圖5中，L為入瞳直徑，D為縱向振動所帶來的離焦量。系統成像時，平行光經物鏡后匯聚于焦點上。發生縱向振動時，像點在像平面上擴散為一圓盤狀，b為擴散斑半徑［2］。

圖5 離焦位移示意圖

式（8）和式（9）中，t0是一固定的數值，若β一定，則r值固定，所以D（t′）Δr和D（t′）Δd是僅關于經歷時間t′的正弦函數（與角正弦振動的頻率相同，振幅不同）。

令t0＝0，D1＝α0（f2＋r2）sinβ/f，設高頻角振動引起的縱向正弦偏移振動方程為（只有相位發生變化）

則調制傳遞函數［2］為

3.1.2 橫向偏移振動

與縱向振動函數相同，若令D2＝α0（f2＋r2）/f，可設正弦角振動引起的橫向偏移振動方程為

根據光學傳遞函數的刀口法理論，像點沿一維直線方向分布的概率密度函數是光學系統的線擴展函數LSF，而調制傳遞函數MTF可以用線擴展函數LSF來計算［7］。所以，在橫向振動過程中，LSF為振動方程x（t）的概率密度函數［3，8-10］，因此，線擴展函數LSF［11］的表達式為

由于光學傳遞函數是表征光能量傳遞的函數［7］，物像與焦平面傳感器之間的相對振動導致光學調制傳遞函數隨振動時間而變化。所以，這種由振動引起的光學傳遞函數只能表征某時刻、針對某一空間頻率的物像能量傳遞關系。由于曝光時間是一個時間段，可以視曝光過程為光電能量在光電傳感器上的積累過程。所以可以用曝光時間te內的平均調制傳遞函數來表征振動對光學成像設備傳遞函數的影響［2］，由此指導不同頻率下的調制傳遞函數計算。

2.2 高頻、低頻角振動對各方向MTF的影響

由于光電平臺振動頻帶較寬，角振動周期T0變化較大，故相機曝光時間te與角振動周期T0大小關系不確定，前文已將曝光時間內的角振動位移轉化為橫軸平面的橫向偏移和縱向離焦，按照振動頻率與曝光時間的關系可將振動分為高頻（te≥T0）、低頻（T0＞te）兩種方式分析考慮。

3.2.1 高頻角振動引起的MTF的計算

（1）縱向偏移振動的MTF的計算。正弦角振動引起的物像與像平面的相對于運動也是正弦振動，當曝光時間te≥T0（振動周期小于曝光時間）時，稱之為高頻振動，其調制傳遞函數為［2］

將式（18）離散化得

不同空間頻率和振幅D1的高頻縱向線偏移振動的光學調制傳遞函數（式（19））的數值模擬如圖6所示［2］。由于D1＝α0（f2＋r2）sinβ/f，由圖6可知，角振動的頻率對縱向調制傳遞函數的影響較小。而角振動振幅α0（與D1成正比）對縱向離焦位移的影響較大，從而對調制傳遞函數的影響較大，離焦位移的幅值越大，調制傳遞函數減小越快，將造成更大的圖像退化。

圖6 像點縱向線振動和MTF

（2）橫向偏移振動的MTF的計算。高頻正弦橫向振動如圖7所示。圖7中，ts為暴光開始時間。由于調制傳遞函數MTF為線擴展函數LSF傅里葉變換的模，所以高頻角振動引起的像點高頻正弦振動的橫向線振動對成像系統MTF的影響可以表示為

圖7 高頻正弦振動橫向振動示意圖

式中，D2為角振動導致像的橫向線偏移振動的幅值。

圖8所示為不同頻率下，不同的振幅D對MTF的影響。結合圖8和D2表達式可以看出，振幅α0（對應D2）越大，圖像退化將越明顯。

圖8 高頻橫向線振動振幅和MTF

2.1.2 低頻角振動引起的MTF的計算

低頻正弦振動的振動方程同樣可表示為式（14），但其振動周期T0＞te，所以稱為低頻振動。低頻振動位移與曝光時間的關系如圖9所示。由圖9可見，低頻振動對光學系統的調制特性較為復雜，其調制傳遞函數會隨著曝光開始時間ts和曝光時間te的不同而不同，導致了時間積分效應的隨機變化。

圖9 低頻正弦振動示意圖

對于低頻縱向振動，在工程上，為了在任何起始時刻曝光都獲得理想的圖像，一般保證其角振動的振幅α0在允許范圍內［2］。

Hadar等［3-6，11］對低頻橫向振動做了大量的研究和試驗，并對其作了數值模擬，但是，從光學機械實際工程應用出發，為在任何時刻開始曝光都能獲得清晰的圖像，需要保證在低頻正弦振動導致像模糊程度最大（曝光時間導致的偏移位移為dmax）時的成像質量即可。從圖9可以看出，當曝光時間te均勻分布于x（t）＝0的兩側時，偏移位移最大，造成的圖像模糊最嚴重。此時，曝光起始時刻ts＝nT0＋T0/2－te/2，（n＝1，2，3），可利用式（17）計算低頻振動時的LSF［11］。其中，x（t）在T0/4－te/2＜t＜T0/4＋te/2時間范圍內偏移位移取最大值dmax。對式（17）進行傅里葉變換，并利用三角公式進行變換，得

不同的振幅D2和曝光時間te下的低頻正弦振動的調制傳遞函數數值模擬結果如圖10所示，從圖中曲線可以看出，減小振幅D2（對應α0）可以有效減小低頻振動對光學MTF的影響；減小曝光時間te也可以提高圖像質量，但在低頻段，曝光時間不足，MTF減小明顯，會造成圖象模糊。

圖10 低頻正弦橫向振動振幅和MTF

4 結語

分析角振動對光學成像系統調制傳遞函數MTF的影響時，可以將在垂直于光軸平面（X軸、Y軸）的角振動轉化為橫向偏移振動和縱向離焦振動來分析，且可以將總的MTF用橫向MTF和縱向MTF的乘積表示；繞光軸（Z軸）的轉動可以轉化為橫向偏移振動來分析其對MTF的影響。仿真實驗表明：高頻角振動時，振動頻率對調制傳遞函數的影響較小，振幅影響較大，振動幅值越大，調制傳遞函數減小越快，圖像質量下降也越快。低頻振動時，角振動幅值對圖像質量影響較大，要保證角振動的幅值在允許的范圍內，可通過縮短曝光時間來增加有效的分辨率。

由于通常情況下，動載體的振動是高頻振動的主要來源；機械傳動的不同軸誤差及成像設備重心變化等是造成低頻振動的主要原因。所以，必須采取隔振和消振設計，以減小高頻振動對成像設備的影響，并盡量提高加工精度、減小裝配誤差以減小低頻振動的振幅。在設計光學平臺時，應設置相應的減振裝置來采用減小振源高頻振動對成像設備的影響，保證成像質量，并通過限制角轉動自由度的方法盡量減小角振動的幅值，以減小光電系統成像質量的劣化問題。

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