SSDI體系非線性耦合阻尼比研究

夏棟舟，何益斌

(1. 長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙，410114；2. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410082)

土-結構動力相互作用(Soil-structure dynamic interaction，縮寫為 SSDI)[1]是指由震源引起的地震波通過場地土的傳播輸入到結構體系使結構發生振動，同時，振動的結構產生慣性力如同新的震源又反過來作用于場地，引起新的場地振動再作用于結構體系。我國現行《建筑抗震設計規范》(GB 50011—2001)[2]仍然基于常阻尼比來研究建筑物的地震作用，沒有考慮地基土、基礎與上部結構動力相互作用而產生的阻尼耦合效應。因此，在傳統的結構抗震設計中通常忽略由于土-結動力相互作用效應而導致地震作用減小的有利影響，這在一定程度上雖然保證了抗震設計的可靠度，但客觀上又大大增加了工程投資，浪費了建設資源，對環境保護也有重大影響。因此，在建筑抗震設計中，應該對土-結構動力相互作用效應進行進一步研究，以便更好地指導工程設計，節約建設成本，而這其中一個最重要同時也是最復雜的問題是對SSDI體系阻尼性能的研究。在此，本文作者提出一種考慮基礎質量和轉動效應的改進簡化計算模型，并通過對各個非線性參數的選取，推導出更能反映土-結構動力相互作用體系動力特性的非線性耦合阻尼比公式。通過實例與其他傳統的阻尼比簡化計算公式進行計算對比，以證明其有效性。

1 改進的SSDI體系非線性耦合阻尼比公式的提出

傳統土-結構動力相互作用的簡化計算方法具有代表性的有 Modify-Veletsos法(簡稱 MV 法)[3]、Modify-Bielak法(簡稱 MB法)[4]、ATC法[5]以及日本建筑學會地震荷載委員會推薦的 JAP法[1,6]。陳躍慶等[7]指出了這些方法的不足，并提出了改進的計算方法，但該方法仍然沒有考慮上部結構在與土體及基礎的動力相互作用時表現出的強非線性，且結構的阻尼比取為常值，未能考慮結構阻尼的非線性；同時，在地基阻抗和樁基阻抗計算中將土體假設為均勻土或土體模量隨深度線性增加，不能充分考慮土體的非線性特性以及基礎埋置深度的影響。

而在上、下部結構動力相互作用體系實際工作狀態中，地震能量的損耗往往就發生在基礎與地基土、基礎與結構之間，這是彼此間非線性接觸所致，因此，忽略基礎質量的假設是不妥的。本文考慮基礎質量為m0、基礎的等效半徑a，同時考慮柔性地基土本身的黏滯材料阻尼ξs，其簡化計算模型如圖1所示，建立體系的整體運動方程。

式中：F1為結構頂部承受的水平外力；FR與MR分別為基礎承受的對應于外力作用的總作用力與總彎矩，在這里，FR＝F1，MR＝F1h；I0為基礎與上部結構對各自通過質心的水平軸的慣性矩之和。

根據文獻[8]中的計算方法進行推導，可得到方程的近似解：

圖1 土-結構動力相互作用體系簡化計算模型Fig.1 Simplified calculation model for soil-structure-interaction system

式中：ω和ξ分別為剛性地基上結構的自振頻率與阻尼比；ωu和ωθ分別為地基基礎平動與轉動的特征頻率；ξu和ξθ分別為地基基礎平動與轉動的輻射阻尼比；ξs為柔性地基的土介質黏滯材料阻尼。由于這些參數的取值均隨不同上部結構性質、不同基礎條件以及不同地基土性質的變化而呈非線性變化，由此得到的阻尼比是非線性耦合阻尼比。可以看出：式(3)和(4)不僅考慮了上部結構的阻尼特性，還考慮了地基在基礎平動與轉動情況下的輻射阻尼，同時也考慮了地基土的黏滯材料阻尼，能更加全面把握土-結構動力相互作用體系各部分的阻尼特性對整個體系阻尼的貢獻。

2 土-結構動力相互作用體系非線性耦合阻尼比公式參數的選取與修正

本文提出的改進簡化計算方法與傳統的無質量計算模型相比有了較大改善，但由于該簡化模型中考慮的是單質點體系，未考慮結構的非線性特性、基礎形式、基礎埋置深度、地基非均勻土層以及地基基礎平動與轉動耦合等因素的影響，因此，需要對公式中各項參數包括上部結構阻尼比ξ、自振頻率ω、地基土材料阻尼ξs、基礎平動和轉動頻率(ωu和ωθ)、基礎平動和轉動頻率(ωu和ωθ)、基礎平動和轉動阻尼比(ξu和ξθ)等進行修正。

2.1 上部結構阻尼比ξ的修正

傳統的幾種簡化計算方法對于上部結構阻尼比均基于常阻尼比為條件進行計算，上部結構的阻尼比通常選取常阻尼比ξ=0.05或ξ=0.02。但是，影響上部結構阻尼特性的因素非常多，不僅有結構外部的阻尼，而且包括結構內部的阻尼；同時，建筑材料、結構形式、結構變形等因素都對結構阻尼特性有重要影響，上部結構在考慮地基基礎相互作用后，其阻尼特性表現出強烈的非線性，不能再以常阻尼比來進行動力計算，本文采用文獻[9]中提出的基于結構層間廣義相對剪切變形，針對不同結構形式的非線性阻尼比作為SSDI體系中上部結構阻尼比ξ，其具體計算公式如下。

對于框架填充墻結構：

對于鋼筋混凝土抗震墻結構：

對于預制裝配式結構：

對于空曠的框架-填充墻結構：

式中：γ為層間廣義相對剪切變形，γ=xi/hi。層間廣義相對剪切變形γ的取值也可根據規范[2]進行估算。

2.2 上部結構自振頻率ω的計算

結構的自振頻率是根據剛性地基假設條件進行計算的，ω可以根據通用計算公式得到：

剛性地基條件下上部結構的剛度k按照美國規范[5]中提供的公式進行計算：

式中：M為建筑物總質量；T為剛性地基時上部結構的周期。

2.3 地基土材料阻尼ξs的計算

目前國內外對土的研究非常廣泛，但得到國際認可的是Hardin[10]對土的動剪切模量比與動剪應變幅值計算公式：

因此，阻尼比與動剪切模量比的關系式為：

式中：G和Gmax分別為土的動剪切模量與最大動剪切模量；γr為參考剪應變幅值；ξmax為最大阻尼比。

通常，土體材料阻尼的取值均是通過試驗得到的。但在理論研究和應用中，如果沒有試驗資料作為地基土材料阻尼的取值依據，同時也沒有詳細的地勘資料來進行考證，那么，在實際計算中可以根據袁曉銘等[11]針對國內 10余個不同地區土樣的試驗結果推薦值進行取值，其不同土性的推薦阻尼比曲線如圖2所示。在進行計算時，土體材料阻尼比的取值可以根據剪應變的不同在圖中進行線性插值。

2.4 基礎平動和轉動頻率ωu和ωθ的計算

根據文獻[8]中式(4)～(7)可以得到ωu與ωθ的基本計算方法，其計算公式為：

根據式(13)，基礎平動和轉動頻率ωu與ωθ的確定除了與基礎有效半徑r、土體剪切波速vs、無量綱頻率比a0=ωr/vs、結構高度與基礎半徑的高徑比h/r等因素有關外，需要重點關注基礎平動、轉動剛度ku與kθ的確定。

2.4.1ku與kθ基本確定方法

在已有的阻抗函數計算方法中，最廣泛應用的是置于黏彈性半空間表面的圓形剛性基礎的解,其中平動和轉動彈簧阻尼器的實剛度為：

其中：αu和αθ為與頻率相關的無量綱參數；Ku和K為半空間上基礎的靜剛度，其計算公式為：

圖2 常規土類材料阻尼比ξs推薦值示意圖Fig.2 Recommended values for material damping ratio ξs of regular soil

式中：G為土的動剪切模量；ν為土的泊松比。

對于黏彈性土，引入土體的黏滯材料阻尼，αu和αθ的近似計算公式如下：

2.4.2ku與kθ在非均勻土層時的確定方法

地基土在實際地質條件下，其分布并不是單一的，也不是均勻的各向同性介質，通常其特征為：剛度隨深度梯度增加或在相對較軟的土層下有一層剛性很大的下臥層，這種非均勻土層情況下基礎的靜剛度可按下式進行近似計算：

表1 系數 α1，β1，β2及 β3的取值Table 1 Values of α1, β1, β2 and β3

式中：(Ku)FL和(Kθ)分別為非均勻有限土層上基礎的平動與轉動靜剛度；ds為土層厚度；r1和r2分別為按照面積(Af)和慣性矩(If)等效計算的基礎半徑。

2.4.3ku與kθ在考慮基礎埋深時的確定方法

Apsel等[12]經研究發現：基礎的埋置情況對阻抗有很重要的影響。基于黏彈性半空間土介質為研究對象，考慮土體材料阻尼與輻射阻尼、基礎質量、基礎埋置深度等對土-基礎體系阻抗的影響，同時還考慮基礎平動與擺動的耦合作用，得到基礎的靜剛度計算公式為：

式中：G為地基土的動剪切模量；e/r為基礎高度與基礎有效半徑的基礎埋深比。

2.5 基礎平動和轉動阻尼比ξu和ξθ的計算

根據式(2)可以得到ξu與ξθ的基本計算方法，其計算公式為：

其中：ku與kθ的計算方法按照式(19)確定，這里關鍵是對cu與cθ進行確定。通過對阻抗的研究，平動和轉動彈簧阻尼器的阻尼可以通過以下公式進行計算：

式中，vs為土的剪切波速；r為基礎的有效半徑；βu和βθ的近似計算公式為：

式中各參數取值同樣根據表1進行選取，因此，cu與cθ的取值與基礎的靜剛度Ku和Kθ相關。

為了研究基礎平動和轉動阻尼比ξu和ξθ在不同地基條件下的取值，需要對基礎平動和轉動剛度ku與kθ、基礎的平動和轉動彈簧阻尼器的阻尼cu與cθ進行分析。在非均勻土層和不同基礎埋深條件下，可以通過對基礎靜剛度Ku和Kθ的計算調整來考察不同地基條件下ξu與ξθ的取值。

3 非線性耦合阻尼比公式實例計算對比

為了驗證論文提出的計算模型和非線性耦合阻尼比公式的合理性與可靠性，下面對同濟大學的結構與地基相互作用振動臺進行試驗，對不同工況條件下體系的動力特性指標進行計算，同時與MV法、MB法、ATC法、日本建筑學會的JAP法以及文獻[7]提出的簡化計算法在同等試驗條件下的計算結果進行對比。

試驗條件如下：非均勻分層地基土條件，上部結構為12的層框架結構，輸入白噪聲和El-Centro地震波。其土-結構動力相互作用試驗內容及模型比如表2所示，模型示意圖及概況如圖3和表3所示，模型各部分計算參數以及頻率和阻尼比計算結果對比如表4～6所示。

通過表5和表6中各種簡化計算方法的計算結果與試驗實測結構進行對比分析得知：MV法、MB法、ATC法以及JAP法對土-結構動力相互作用體系頻率和阻尼比的計算結果與實測值相比均有較大誤差。總的來說，JAP法對阻尼的計算偏小而對頻率的估算則相應偏大，另外3種方法其計算值與實測值相比并無規律。與這4種簡化計算方法相比，文獻[7]提出的簡化計算法對實例的計算結果則表現出較高的精度，其基本誤差控制在20%～50%，出現此種誤差可能是沒有考慮基礎質量以及各部分阻尼性能耦合。經過對比分析，本文計算方法通過對已有簡化方法的改進，對實例的計算結果與其他簡化計算法的計算結果相比更接近于實測結果，相對誤差控制在10%～20%。該誤差的產生與結構及土體材料阻尼比的計算有關，同時也與試驗實測數據本身的誤差有一定關系。總之，采用本文方法對土-結構動力相互作用體系動力特性參數進行計算所得結果更接近實測值。

圖3 框架結構SSDI體系示意圖Fig.3 Diagram of SSDI system for frame construction

表2 非均勻分層中土-結構動力相互作用試驗條件Table 2 Test conditions of SSDI system in nonuniform layers

表3 土-結構動力相互作用體系模型概況Table 3 Model conditions of SSDI system

表4 非均勻分層土地基條件下土-結構動力相互作用體系各計算參數Table 4 Parameter of SSDI system on basement with heteropic and layered soil

表5 MV法和MB法對非均勻分層土地基條件下土-結構動力相互作用體系頻率及阻尼比計算結果對比Table 5 Contrast of frequency and damping ratio for SSDI system on basement with heteropic and layered soil using MV and MB methods

表6 ATC法和JAP法對非均勻分層土地基條件下土-結構動力相互作用體系頻率及阻尼比計算結果對比Table 6 Contrast of frequency and damping ratio for SSDI system on basement with heteropic and layered soil using ATC and JAP methods

4 結論

(1) 提出的 SSDI體系非線性耦合阻尼比公式考慮上部結構的阻尼特性、地基土在基礎平動與轉動時輻射阻尼以及地基土的黏滯材料阻尼，據此可考量土-結構動力相互作用體系各部分的阻尼特性對整個體系阻尼的貢獻程度。

(2) 使用所提出的非線性耦合阻尼比計算公式對算例進行計算，其計算結果與其他簡化計算法所得結果相比相比更接近于實測結果，且誤差控制在10%～20%，大幅度提高了計算精度。其誤差的產生與結構及土體材料阻尼比的計算有關，同時也與試驗實測數據本身的誤差有關。

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