考慮齒向修形與安裝誤差的圓柱齒輪接觸分析

唐進元，陳興明，羅才旺

(中南大學 機電工程學院，高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

漸開線圓柱齒輪傳動因其結構緊湊、便于制造和維護以及傳動平穩等特點而被廣泛應用，在齒輪傳動中，由于安裝誤差和彈性變形的影響，使齒面發生邊緣接觸和應力集中，易造成齒面失效[1]。齒向修形能降低對安裝誤差的敏感度，減少齒頂嚙合沖擊及噪聲，改善齒輪軸向彎曲和扭轉變形而造成的載荷集中，使載荷沿齒向分布均勻，提高齒輪嚙合性能[2-6]。Alfonso等[7-8]研究了用齒條加工齒向修形斜齒輪的 TCA分析；Litvin等[9-12]研究了用砂輪加工齒向修形斜齒輪的TCA分析和接觸應力分析。國內相關研究主要集中在齒向修形量的確定及其實驗結果分析[1,13]，針對齒向修形齒輪接觸特性的TCA分析文獻還極為少見。本文作者從齒面接觸分析(TCA)的角度研究齒向修形，為節約制造成本，研究主動輪小輪齒向修形，從動輪大輪不修形的傳動形式。首先根據齒輪鼓形修形原理，結合漸開線方程推導了鼓形齒輪的齒面方程；然后構建存在安裝誤差的齒面接觸分析模型，對接觸點進行數值仿真分析，實現了鼓形修形齒輪的接觸軌跡的可視化，研究了鼓形修形參數及不同安裝誤差項對接觸軌跡的影響規律。

1 齒面方程推導

1.1 齒向鼓形修形小輪齒面方程

本文提出一種等半徑圓弧鼓形齒新齒面結構，如圖1所示，圖1中虛線表示修形后的齒廓、實線表示修形前的齒廓，修形齒面由原來的漸開線上的任意點p沿著漸開線的法線方向齒面內部偏移lp。圖2所示為修形小輪齒頂面投影圖。坐標系統S1(x1, y1, z1)固定在小輪上，y1與相鄰兩齒槽的對稱線重合，z1與齒輪軸線重合，原點 O1取在齒寬的中點位置，Δl為最大鼓形量，Rg為鼓形半徑，b為齒寬，Δw為鼓形中點與齒寬中間位置的偏差，當Δw不為零時，齒面將是非對稱的鼓形，對于齒廓上的一點 p，設其鼓形量為lz沿齒向的坐標值zp，從圖2所示關系可以得到：

圖1 小輪鼓形修形Fig.1 Drum modification of pinion

圖2 修形小輪齒頂投影Fig.2 Tip projection of modified pinion

聯立式(1)和(2)得到齒廓上點p的鼓形量lp的表達式，當齒寬b，最大鼓形量Δl和偏差Δw給定后，lp只是軸向參數u1的函數。

圖3所示為修形齒輪的齒向投影。圖中，η_η為修形前的漸開線齒廓；α_α 為修形后齒廓。η_η在S1中可以表示為：

圖3 小輪齒向投影Fig.3 Tooth projection of modified pinion

當 η_η 上任意點 p沿著 n1負方向往 α_α 偏移 lp時，偏移量在x1和y1方向上滿足下列關系：

由于是齒向修形，所以齒寬方向的坐標值z1與u1是一致，聯立式(3)和(4)得到修形后的齒面方程為：

小輪齒面單位法矢為：

其中：rb1為基圓半徑；rb1為分度圓半徑；u1為沿小輪齒向方向的齒面參數；θ1為漸開線參數；為齒槽參數； in vα= tanα- α 為漸開線函數；α為壓力角。

1.2 大輪齒面方程

如圖4所示，坐標系S2(x2, y2, z2)固定在大輪上，y2與相鄰兩齒槽的對稱線重合，z2軸與大輪軸線重合且垂直齒面向外，由于大輪齒面是不修形的漸開線，容易得到其齒面方程：

圖4 大輪齒向投影Fig.4 Tooth projection of modified gear

單位法矢為：

2 含安裝誤差的輪齒接觸分析(TCA)模型與方法

2.1 輪齒接觸分析坐標系的確定

經過如下步驟建立鼓形小輪與標準大輪存在安裝誤差情況下的接觸坐標系：

(1) 使用鼓形齒輪軸線與標準直齒輪軸線建立軸線平面；垂直平面為過鼓形齒輪軸線并垂直于軸線平面的平面。

(2) 以鼓形齒輪軸線中點為原點，鼓形齒輪軸線為z軸，軸線平面為坐標系xz平面，建立絕對坐標系σf(Of, xf, yf, zf)。

(3) 平移絕對坐標系σf的原點Of到標準直齒輪軸線中點得到只有中心距偏差而無平行度偏差的標準直齒輪位置參考坐標系再將坐標系進行偏轉(偏轉角度為軸平面內垂直平面內得到含有中心距與平行度偏差的標準直齒輪轉動參考坐標系

由上述建立齒輪接觸坐標系的過程可知接觸分析時鼓形齒輪固聯坐標系S1的z軸與絕對坐標系σf的z軸重合，標準直齒輪固聯坐標系S2的z軸與坐標系的z軸重合，如圖5所示。

結合前文的齒面方程與確立的接觸坐標系系統，可以寫出在絕對坐標系σf下，參與嚙合兩齒輪的齒面方程：鼓形小輪齒面方程和標準大輪輪齒面方程=C·(B ·r2)。r1和 r2分別為小輪和大輪在各自固聯坐標系中的齒面方程；A和B分別為鼓形齒輪、標準直齒輪固聯坐標系 S1和 S2到坐標系σf和的坐標轉換矩陣；C為標準直齒輪的轉動參考坐標系到絕對坐標系σf的轉換矩陣。

圖5 含安裝誤差的接觸分析坐標系Fig.5 Contact analysis coordinates with alignment errors

其中：γ1和γ2分別為小輪和大輪的轉角；η和μ分別為軸平面內及垂直平面內兩齒輪軸線的平行度誤差；Δa 為中心距安裝誤差。

2.2 接觸軌跡求解

根據齒輪嚙合原理[14]，2個齒面和要能夠保持連續的切觸一定要滿足它們的位置矢量和單位法矢時刻相等：

3 算例及分析

根據上述分析，采用一對實際齒輪來研究安裝誤差及鼓形參數對鼓形修形齒輪接觸軌跡的影響規律。實例計算中使用的齒輪模數 m=4，小輪齒數 z1=17，齒寬b1=42 mm，大輪齒數z2=33，齒寬b2=42 mm，壓力角α=25°。

3.1 安裝誤差對鼓形齒輪接觸軌跡的影響

取Δl=0.05 mm、Δw=0 mm，考慮到在工程實際中每種安裝誤差都可能存在，因此在研究不同安裝誤差項對鼓形齒接觸軌跡的影響時只變動所要研究的安裝誤差，另外兩項安裝誤差為固定的非零值。具體的各項安裝誤差取值如表1所示。工況A為沒有安裝誤差的理想安裝，作為其他工況的參照；B，C和D 3種工況用來研究軸平面內軸線平行度誤差對鼓形齒接觸軌跡的影響；E，F和G 3種工況用來研究垂直平面內軸線平行度誤差對鼓形齒接觸軌跡的影響；H，I和J 3種工況用來研究中心距誤差對鼓形齒接觸軌跡的影響，求得的接觸軌跡如圖6～8所示。

表1 安裝誤差取值表Table 1 Table of alignment errors values

圖7 垂直平面內平行度對接觸軌跡的影響Fig.7 Effect of vertical plane parallel to contact path

圖8 中心距偏差對鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.8 Effect of center distance deviation to contact path of drum gear

由圖6可見：無安裝誤差時齒輪的接觸軌跡位于輪齒齒寬中間位置，隨著軸平面平行度誤差的增大接觸軌跡逐漸偏離了齒寬中間位置。可見軸平面內軸線平行度偏差的增加會使齒輪的接觸軌跡偏離齒寬中間位置的距離增大；但是接觸軌跡偏離增加的幅度有減少的趨勢；說明隨著軸平面內軸線平行度偏差的增大，接觸軌跡對其敏感度在降低。

由圖7可知：隨著垂直平面內軸線平行度偏差的增大，接觸軌跡偏離齒寬中點距離也相應增大，并且發現各個接觸軌跡的間距基本不變，可見接觸軌跡對垂直平面內軸線平行度偏差的敏感度基本上沒有變化。

由圖8可見：含安裝的誤差的鼓形修形齒輪接觸軌跡基本重合在一起，說明中心距誤差的變化對接觸軌跡位置基本沒有影響，這一點與未修形的標準圓柱齒輪是一致的。

圖9 軸平面內軸線平行度偏差與垂直平面內軸線平行度偏差對鼓形齒輪接觸軌跡影響的對比Fig.9 Contrast of effects of axial plane parallel and vertical plane parallel to contact path

采用無安裝誤差、軸平面內平行度誤0.02 mm和垂直平面內軸線平行度偏差0.01 mm 3種工況進行對比，如圖9所示。由圖9觀察發現：垂直平面內平行度軸線偏差0.01 mm工況使接觸軌跡偏離齒寬中心稍遠。說明垂直平面內平行度偏差對接觸軌跡的影響比軸平面內軸線平行度偏差對接觸軌跡的影響要大得多，就計算的結果來看應該在兩倍以上。

3.2 鼓形參數對鼓形齒接觸軌跡的影響

取安裝誤差Δa=0.02 mm，Δb=0.02 mm，Δc=0.01 mm，最大鼓形量Δl及Δw的取值如表2所示。工況K，L和M研究最大鼓形量對鼓形齒接觸軌跡的影響，工況N，P和Q研究鼓形中心與輪齒中心偏差Δw對鼓形齒接觸軌跡的影響。

表2 鼓形參數取值表Table 2 Table of drum parameters values

圖10所示為鼓形量對鼓形齒輪接觸軌跡的影響。由圖10可見：隨著鼓形量的增大接觸軌跡逐步向輪齒中間位置靠近。但是鼓形量取0 mm與取0.04 mm時兩接觸軌跡之間間距要大于取0.04 mm與取0.08 mm時兩接觸軌跡之間間距，說明隨著最大鼓形量的增大鼓形齒接觸軌跡對其的敏感度在降低，所以只調節鼓形量的大小對控制鼓形齒接觸軌跡的作用是有限的。

圖10 鼓形量對鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.10 Effect of drum amount to drum gear contact path

圖 11所示為鼓形中點位置對鼓形齒輪接觸軌跡的影響。由圖11可見：鼓形齒輪的接觸軌跡位置隨著Δw的變化在齒寬方向上移動非常明顯。并且通過調整Δw的取值，可以使存在安裝誤差情況下的接觸軌跡與無安裝誤差時鼓形齒的接觸軌跡重合，說明可以通過調整鼓形中點的位置來控制接觸軌跡位置，這對于齒輪的高精度安裝和調整有著重要意義。

圖11鼓形中點位置對鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.11 Effect of drum midpoint to contact path

3.3 實驗分析

應用商用有限元軟件 CATIA仿真分析結果與實驗進行對比，驗證本文提出的修形方法的可行性。為方便進行實驗，采用實驗室已有的齒輪箱的一對齒輪，對主動輪進行鼓形修形，從動輪不修形，各項修形參數和安裝誤差如表3所示。

表3 鼓形參數與安裝誤差取值表Table 3 Table of drum parameter and alignment errors values

將主動輪修形的齒輪對安裝到中心距可調的齒輪箱中，如圖12所示。調節齒輪安裝誤差為軸平面(由兩相嚙合齒輪軸所決定的平面)內的平行度誤差，在相嚙合齒輪齒面涂上紅丹粉，讓齒輪對在輕載條件下(負載為磁粉制動器)進行嚙合傳動，一段時間后得到齒面接觸印痕如圖13所示。

圖12 加載接觸分析實驗裝置Fig.12 Loaded contact analysis experiment device

圖13 接觸印痕Fig.13 Contact prints

按前面所述的方法，建立有安裝誤差、含齒向修形的齒面方程，進行嚙合接觸分析，把得到的離散點導入到 CATIA中建立齒輪接觸可視化模型如圖 14所示。

圖14 加載接觸分析接觸軌跡Fig.14 Contact path of loaded contact analysis

將圖13與圖14進行對比發現：齒輪對滾的接觸印痕與加載接觸分析的接觸印痕在位置上基本相符的，說明本文給出的理論方法是正確的。

4 結論

(1) 齒輪中心距誤差對鼓形齒接觸軌跡的偏移基本上沒有影響；軸平面內及垂直平面內平行度誤差都會使鼓形齒的接觸軌跡產生偏移。

(2) 垂直平面軸線的平行度誤差對接觸軌跡的影響較軸平面內平行度誤差要大得多。

(3) 在相同的安裝誤差下，隨著鼓形量增大，接觸軌跡逐漸向齒輪齒寬中間位置靠近，但是它對鼓形量的敏感度逐步降低，說明只利用鼓形量對鼓形齒接觸軌跡的控制作用是有限的。

(4) 鼓形中點的位置將直接影響鼓形齒的接觸軌跡的位置。故在生產實踐中可以通過調整鼓形中點的位置來精確控制接觸軌跡的位置，使接觸軌跡處于最佳位置，這是本文提出的等半徑圓弧鼓形修形齒面的優點之一。

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