基于區間有限元的吊梁非概率可靠性研究及敏感性分析

韓志杰，王璋奇

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定，071003)

目前，吊梁的設計需考慮抗彎能力及整體穩定性。而在工程設計中，為了保證吊梁的可靠性，一般給定塑性發展系數和整體穩定系數等確定性的指標來調整，而這些指標一般通過查表或者經驗來確定，雖然長期實踐證明這種方法是一種有效的工程應用方法，但由于吊梁在設計制造中，存在著大量的不可測或不可控因素，使吊梁設計參數具有不確定性或不可控性，導致設計與分析結果難以反映工程實際，從而影響產品設計質量，因此，需要在準確描述設計參數不確定性的基礎上研究吊梁可靠性。以不確定性為基礎來分析結構的方法主要有：隨機有限元法[1-2]、模糊有限元法[3]和區間有限元法[4-5]。前兩種方法是解決不確定問題常用方法，它們是通過用隨機概率理論或模糊理論結合確定性有限元來分析問題，但是它們在求解時，需要確定不確定性參數的概率密度或隸屬函數，這需要大量的樣本點，要獲取樣本點最直接的方法是試驗測定，對于吊梁這種大型機械結構很難實現，因此使不確定性參數的概率密度函數難以確定，往往通過人為方式取舍；文獻[6-7]中分別把隨機有限元和模糊有限元結合可靠性對機械結構做了分析，建立了不確定結構可靠性解決方案，由于對具有較少樣本點的結構不確定性描述不確切，致使計算結果與實際存在偏差。而區間有限元分析方法在針對統計信息不足以描述不確定參數的概率分布或隸屬函數時，僅需提供不確定參數的區間范圍即可獲得結構響應的區間范圍。因此，本文作者在對吊梁受力模型分析的基礎上，利用區間分析來描述吊梁設計參數的不確定性，結合區間有限元法建立結構有限元控制方程，并利用一階泰勒展開方法求解此方程，獲得吊梁結構響應區間，并引入非概率可靠性設計思想，分析吊梁的可靠性驗算，建立了各失效模式下的極限狀態函數，根據吊梁結構響應區間確定了其可靠性指標，來描述結構的可靠性程度，最后對區間敏感性進行定義，分析設計參數在區間內變化對結構響應的敏感程度，以便為吊梁的設計提供參考依據。

1 吊梁模型的建立與分析

吊梁的主體結構為多個等厚鋼板焊接而成，由于所用鋼板的長和寬比其厚度大很多，因此吊梁的結構分析可視為線彈性平面應力問題，可采用四節點直邊四邊形單元進行有限元分析，其力學模型如圖1所示，可以簡化為吊梁上方的吊耳孔固定，下方4個吊耳處受到集中載荷P的平面板。吊梁的幾何參數有：梁的長度L、邊緣高度b1、中心高度b2、厚度t，材料參數包括彈性模量E和泊松比λ，載荷參數為P，運用板殼單元對吊梁進行有限元參數化建模，由于吊梁的結構為左右對稱結構，因此，只需研究其一半的結構響應。

圖1 吊梁的力學模型Fig.1 Mechanical model of hanging beam

2 區間有限元

區間有限元方法的基本思想是以區間數學為基礎，將區間分析方法引入到結構分析中，當結構的不確定變量可以由區間界定時，即可建立區間有限元法。

2.1 區間有限元法的基本原理

根據有限單元位移法中，位移的控制方程可表示為Ku=F(其中：K為對稱勁度矩陣；u為位移向量；F為載荷向量)。由于結構的設計參數具有不確定性，從而導致控制方程中的K和F也成為不確定性矩陣和向量，因此具有不確定性有限單元的位移控制方程可以表示為：

當結構設計參數在一個范圍內變化，則結構不確定性可用區間來描述，即其中： αI為區間向量； αl和 αu分別為區間向量下界和上界。因此，由不確定參數向量α確定的區間有限元控制方程為

其中：KI(α)為結構整體勁度區間矩陣；FI(α)為整體載荷區間列向量；uI(α)為結構位移區間列向量。

對彈性結構，應力σI通過材料的本構關系和協調方程可由變形唯一確定，即

其中：EI為與單元材料相關的彈性區間矩陣；D為線性微分算子。

2.2 區間有限元控制方程的解法

由于區間有限元控制方程中總體剛度矩陣不再是確定的，不能用傳統位移法來獲得結構的區間響應，致使控制方程的求解較為困難，因此，其求解方法也就成為不確定問題區間分析的關鍵[8-9]。

由于區間運算的復雜性，為了能夠更準確的獲得解區間，一些學者提出了一些新的求解方法：端點組合法[10]、區間矩陣攝動法及子區間攝動法[11]、區間參數優化法[12]、區間迭代解法[13-14]等，但這些解法都有本身的局限性[15]。本文針對不確定參數之間可能存在的相關性，提出了利用一階泰勒展開的方法來求解區間有限元控制方程。

根據式(2)可知：所要求解的結構響應為由不確定參數向量α來確定的區間變量uI(α)，若不確定參數向量α各元素之間不存在相關性，則uI(α)為線性表達式，可以直接用位移法來獲得其解；若不確定參數α各元素之間存在相關性，則uI(α)為非線性表達式，可通過一階泰勒展開近似：

其中：αc為區間參數向量α的均值，即為不確定參數個數。

由式(1)可知：

由式(6)可計算得到?u(αc)/?αi。由于αi∈α ，故可對式(4)進行區間自然擴張，可得到：

根據式(5)～(7)，可確定結構響應的上界和下界為：

為了對上述方法進行驗證，下面采用常用的6桿桁架結構為例來進行分析，如圖2所示，其具體參數可參照文獻[9]。按照式(8)計算，可得到節點2和3的位移上限和下限，如表1所示。

圖2 6桿桁架結構簡圖Fig.2 6-bar truss structure

對表1計算結果分析，得出以下結論：

(1) 由 5種計算方法得出的節點位移分析可知，節點2和3在x和y方向的位移均值相差很小，說明對節點位移區間均值的求解具有一定的穩定性。

(2) 以區間參數優化法的求解結果作為準確解進行比較，可知對5種方法計算出的節點位移離差有一定的差別。以區間參數優化法作為準確解可知，端點組合法、區間矩陣攝動法、區間迭代法所得到的節點位移區間均大于區間參數優化方法的區間，不能很好地避免區間計算所產生的區間擴張，而本文方法確定的區間接近于區間參數優化法的區間。

(3) 與其他方法相比，本文方法在求解區間有限元控制方程時，僅需確定出矩陣K對α的偏導矩陣及逆矩陣即可，求解簡便，計算量小，而且易于編程實現。

表1 6桿桁架結構的不確定位移Table 1 Interval of displacements of 6-bar truss structure

3 吊梁的非概率可靠性分析

根據吊梁的區間有限元計算結果，可得到吊梁在載荷 P的作用下的靜態響應(位移、應力等)的區間范圍，由此可繼續研究吊梁結構的可靠性。

3.1 吊梁的可靠性驗算

吊梁可靠性驗算主要包括抗彎穩定性驗算和抗扭穩定性驗算。

(1) 抗彎穩定性是載荷P作用下吊梁中部不產生彎曲破壞，并且受力處的變形不能超過設計要求，防止產生強度失效和剛度失效，其數學表達式為：

式中：σs為材料極限應力；σmax為吊梁最大應力值；[δ]為材料許用變形；δmax為材料最大變形值。

(2) 側扭穩定性是作用在自由端的載荷P達到或超過一定數值時，避免吊梁的鋼板發生側向彎曲或側扭破壞，防止產生失穩，其數學表達式為：

式中：Pcr為吊梁能所承受臨界載荷。

綜上所述，當吊梁的抗力(σs，[δ]，Pcr)分別大于它的作用響應(σmax，δmax，P)時，吊梁將處于可靠狀態，由此可建立吊梁穩定性的極限狀態方程為：

根據吊梁的設計可知：影響它穩定性的因素有幾何參數(鋼板厚度、長度及截面寬度)、材料參數(彈性模量，極限應力等)、載荷等，其中幾何尺寸不確定性的來源主要是在設計參數與制造成型后的尺寸之間存在的誤差，包括材料本身的誤差(比如鋼板的厚度)以及加工誤差等；材料性能不確定性的來源主要是試驗設備的影響以及檢測手段的局限，以至于獲得的材料物理參數有波動，通常在常規設計時只給出均值，是由許多檢測值統計而得，由此可以認為材料的物理參數具有不確定性；載荷的不確定性主要是考慮到實際生產中所承受載荷的波動性。本文把這些不確定性因素描述為區間形式，從而建立吊梁的非概率可靠性分析方法。

3.2 吊梁非概率可靠性指標

確定影響吊梁可靠性的因素后，根據吊梁的失效準則來確定其功能函數為：

式中：iα的變化區間確定后，需對這些不確定因素標準化，來獲得標準化區間內的區間參數，構成新的功能函數為：

由式(14)可知：非概率可靠性指標 η的物理意義為：在標準化區間變量的擴展空間中，從坐標原點到失效面的最短距離作為非概率可靠性指標。對于任意在可行域中的不確定參數，當η＞1時，說明吊梁的安全域與失效域不相交，此時結構是安全的；當 η＜-1時，吊梁的安全域包含失效域，此時結構必然失效；當-1≤η≤-1時，吊梁是處于臨界狀態，從嚴格意義上講，此時認為結構是不可靠的。因此，η愈大，吊梁愈可靠。

根據吊梁的極限狀態方程(11)可以確定出各失效模式下非概率可靠性指標 η，包括彎曲失效的非概率可靠性指標η1、變形失效的非概率可靠性指標η2和側扭失效的非概率可靠性指標η3，對于吊梁結構來說，只要其中一個失效發生，則整個吊梁即失效，因此，吊梁的非概率可靠性指標為η1，η2和η3的最小值，即η=min(η1, η2, η3)。

4 吊梁設計參數區間敏感性分析

根據非概率可靠性方法得到吊梁的可靠性指標，了解結構的可靠性程度后，如何通過對可靠性程度的控制來指導吊梁的設計呢？就需要對吊梁的設計參數作敏感性分析，可以定量的判斷出不確定設計參數對吊梁可靠性的影響程度，從而揭示出提高可靠性應該修改哪些設計參數。

目前研究結構參數敏感性[18]的方法多為確定變量下敏感性分析方法，即采用局部梯度信息進行判斷，忽略了設計變量的區間變化范圍對其實際變化范圍和不確定程度的影響。而區間敏感性分析測度的是設計變量區間的變化程度對結構響應區間的影響程度，即結構響應區間的產生多大的變化是由設計變量的區間性來決定的，因此，可以把表征不確定性的區間敏感因子定義為

其中：Δgi表示第 i個不確定參數具有波動時所對應的狀態函數波動范圍表示第i個不確定量未波動時所對應的狀態函數波動范圍，為狀態函數的波動范圍，越大，表征結構響應對該變量的敏感性越高，反之就越弱。區間敏感因子的幾何意義如圖3所示。

圖3 區間敏感性方法Fig.3 Interval sensitivity analysis

從對吊梁可靠性驗算分析可知：影響其可靠性程度的結構響應為最大變形σmax、最大應力δmax和臨界載荷Pcr。因此，只需判斷出設計變量區間在一定區間范圍內，對結構響應的影響程度，即為設計參數相對于結構可靠度的敏感程度。

表2 吊梁的設計參數Table 2 Hanging beam design parameters

(2) 對吊梁模型進行單元劃分，根據單元的個數對單元剛度矩陣進行組集，可獲得整體剛度區間矩陣K(α)，把載荷P等效到吊梁節點上，確定載荷區間向量F。

(3) 剛度區間矩陣K(α)和載荷區間向量F對區間向量α中每個參數求偏導數，代入區間有限元控制方程(8)，獲得吊梁的結構響應。

吊梁的應力和變形能夠由上述步驟得到，產生屈曲的臨界載荷[19]可以通過下式求得：

在不同失效模式下結構響應的上限和下限如表 3所示，根據非概率可靠性方法得到不同失效模式下的非概率可靠性指標。

表3 吊梁的響應區間及可靠性指標Table 3 Interval responses and reliability indexes of hanging beam

5 實例分析

以圖1所示的吊梁為例，其設計參數如表2所示，根據設計要求，吊梁的極限應力為 σs和許用變形為[δ]，在載荷P的作用下，對其結構進行區間有限元計算，并分析其可靠性以及對設計參數的敏感性。

(1) 計算得到不確定變量向量的均值cα，對吊梁進行參數建模，根據平面板單元的有限元計算方法，確定有限元模型中的單元剛度矩陣Ke(α)。

對不同失效模式下的非概率可靠性指標進行分析可知：吊梁的整體結構可靠性指標η=min(η1, η2, η3)=η1＞1，表明吊梁的3種失效方式均不會發生，因此，吊梁的設計參數在所給定區間內波動，能夠滿足設計要求，是完全可靠的；3種失效模式的可靠性指標關系為 η2＞η3＞η1，其中吊梁的強度可靠性指標最小，表明其強度失效是整個結構最主要的失效模式，因此，在設計時需要對結構強度要求多加注意。

為了進一步探討吊梁的不確定參數向量對可靠性的影響規律，結合各失效模式下的狀態方程，在各個不確定參數在區間內波動的情況下，對吊梁的結構響應(應力、變形和臨界載荷)的影響程度，即吊梁不確定參數的敏感性分析。通過對吊梁3種失效模式下區間敏感因子計算，給出了不確定參數向量的變異量在-0.5～+0.5之間的結構響應變化曲線，如圖4～6所示。從圖4～6可以看出：當不確定參數變異范圍為0時，所有曲線都交于零點，敏感因子為0。圖4中的應力敏感因子θ隨厚度t和高度b2變異量的增加逐漸減小，表明厚度t、高度b2與結構應力成反比，同理，載荷P與應力敏感因子θ成正比，而高度b1和彈性模量E對應應力敏感因子的變化曲線趨近于 0，表明結構應力相對與高度b1和彈性模量E的變化不敏感。對于同一變異量，不確定參數對應的敏感因子，其絕對值越大，則表面響應值相對于此不確定參數的敏感程度越高。圖5和圖6所示分別為位移敏感因子和臨界載荷敏感因子隨不確定參數的變化曲線。

圖4 應力敏感因子隨不確定參數變化曲線Fig.4 Stress sensitive factor curve with uncertain parameters

圖5 位移敏感因子隨不確定參數變化曲線Fig.5 Deformation sensitive factor curve with uncertain parameters

圖6 臨界載荷敏感因子隨不確定參數變化曲線Fig.6 Critical load sensitive factor curve with uncertain parameters

從圖4～6可見：在相同的變異范圍內，應力敏感因子的值最大，說明不確定的參數的變化對吊梁結構的最大應力影響程度最高。因此，在設計參數選取時首先需保證強度要求，這與可靠性計算的結果相同。

6 結論

(1) 在對吊梁結構的受力模型進行分析的基礎上，根據吊梁設計參數具有區間性，引入區間有限元法，建立了吊梁非概率可靠性分析方法。

(2) 針對區間有限元控制方程求解困難，提出了一種利用一階泰勒展開算法來求解該方程，該方法能有效避免區間擴張，且運算簡便。

(3) 強度失效是吊梁設計時最主要的失效模式，在對設計參數選取時，需對首先滿足結構強度要求。

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