基于嚙合特性的人字齒輪動力學建模與分析

王成，高常青，崔煥勇

(濟南大學 機械工程學院，山東 濟南，250022)

與斜齒輪相比，人字齒輪傳動具有軸承負荷小等優點[1]，被大量使用在艦船等大功率動力驅動系統中。船舶噪聲的來源之一是齒輪箱的噪聲，而齒輪箱的噪聲主要是由齒輪相互嚙合產生的。因此，人字齒輪的設計成為船舶降噪的關鍵技術之一。而建立人字齒輪動力學模型，計算激勵下的動態響應是人字齒輪動態設計的前提條件。對于齒輪系統振動特性的研究一直為國內、外學者所關注，并獲得了大量的成果[2-5]，但就人字齒輪動力學而言還缺乏深入的研究。吳新躍等[6]雖然建立了人字齒輪動力學模型，但所建模型未全面考慮左右端斜齒輪副之間的相互影響，且沒有考慮嚙合沖擊激勵。艦船傳動裝置中的人字齒輪處于高速重載的傳動狀態，其嚙合受到加工和安裝誤差的影響。借助輪齒接觸分析技術(TCA)和承載接觸分析技術(LTCA)可準確獲得人字齒輪在擬真實工況條件下的嚙合特性。而利用嚙合接觸分析的結果，可準確計算得到內部激勵。因此，本文作者利用人字齒輪嚙合特性的研究結果[7]，建立人字齒輪12自由度彎曲—扭轉—軸向變形耦合的三維空間動力學模型，并對系統的振動響應進行了求解與分析。

1 人字齒輪系統內部激勵的計算

齒輪系統的振動噪聲根源于齒輪系統的動態激勵，這里僅研究人字齒輪嚙合時的內部激勵，包括時變剛度激勵、制造安裝誤差和軸向位移引起的誤差激勵以及嚙入沖擊激勵。

利用人字齒輪副嚙合接觸分析的結果，可準確進行內部激勵的計算，其計算流程見圖 1。相關齒輪幾何接觸分析和承載接觸分析以及人字齒輪副嚙合接觸分析見文獻[7-10]。

圖1 內部激勵計算流程圖Fig.1 Flow diagram for calculation of internal excitation

1.1 人字齒輪時變剛度激勵的計算

時變剛度激勵源于齒輪嚙合過程中嚙合齒對數的變化導致輪齒嚙合綜合剛度的時變性而產生的動態激勵[11]。

利用人字齒輪副承載接觸分析得到不同嚙合位置的接觸力和接觸變形，從而得到該位置的嚙合剛度，將嚙合剛度的離散值通過多項式擬合和 Fourier級數變換展開成周期函數。圖2所示為某人字齒輪副1個嚙合周期內的嚙合綜合剛度曲線圖(i表示同時參與嚙合的齒對數；橫坐標為小輪轉角，可根據小輪實際轉速轉化為相應的嚙合時間)。在輪齒嚙合過程中，若某嚙合位置有多對齒同時嚙合，那么該嚙合位置的輪齒嚙合綜合剛度是由在該位置同時參與嚙合的單對輪齒嚙合剛度疊加而成。因此，通過反變換，求出的單對輪齒從嚙入到嚙出的剛度曲線見圖3。

圖2 人字齒輪嚙合綜合剛度曲線Fig.2 Meshing synthetic stiffness curve of double helical gears

圖3 單對輪齒嚙合剛度曲線Fig.3 Meshing stiffness curve of single-pair teeth

1.2 人字齒輪誤差激勵的計算

輪齒嚙合誤差是由輪齒制造安裝誤差引起的實際齒廓與理論齒廓的偏移，目前研究中一般僅考慮齒形誤差和基節誤差，根據齒輪加工精度等級通過查齒輪手冊然后合成系統等效誤差，最后通過簡諧函數來模擬誤差[11]。

此外，在低轉速下由于人字齒輪制造安裝誤差引起的軸向位移也是人字齒輪高速運動時振動的激勵源。因此，根據齒形誤差和基節誤差，利用人字齒輪副承載接觸分析得到低轉速下長周期內的軸向位移[7]，經Fourier級數展開后其周期函數曲線見圖4。

圖4 軸向位移曲線Fig.4 Curve of axial displacement

1.3 人字齒輪嚙合沖擊激勵的計算

嚙合沖擊主要是由嚙入、嚙出和節點沖擊組成，三者對于齒輪傳動性能的影響，節點沖擊最小，嚙出沖擊次之，嚙入沖擊最大[12]。這里僅計算嚙入沖擊激勵。

文獻[12]給出了線外嚙入點到正常嚙入點間任意位置沖擊力的計算方法。同樣，將得到的嚙合點的沖擊力通過多項式擬合以及 Fourier級數變換展開成周期函數。某轉速下一個嚙合周期內人字齒輪的嚙入沖擊力曲線見圖5。

圖5 人字齒輪副的嚙入沖擊力曲線Fig.5 Curve of corner contact impact force for double helical gears

2 人字齒輪三維空間動力學模型的建立

人字齒輪為實現均載傳動，通常小輪采用軸向浮動安裝。應用集中參數法建立人字齒輪彎-扭-軸耦合的三維空間動力學模型(如圖6所示，圖中軸的扭轉剛度、阻尼與彎曲剛度、阻尼沒有畫出)，忽略接觸齒面的摩擦，人字齒輪動力學模型是 12自由度的振動系統，這12個自由度可表示為：

式中：yq1和zq1分別為主動輪左端的兩斜齒輪中心點Oq1在y向和z向的平移振動位移；θq1為Oq1的轉角振動位移；yp1和zp1分別為從動輪左端的兩斜齒輪中心點Op1在y向和z向的平移振動位移；θp1為Op1的轉角振動位移；yq2和zq2分別為主動輪右端的兩斜齒輪中心點Oq2在y向和z向的平移振動位移；θq2為Oq2的轉角振動位移；yp2和zp2分別為從動輪右端的兩斜齒輪中心點Op2在y向和z向的平移振動位移，θp2為Op2的轉角振動位移。

圖6 人字齒輪傳動的動力學模型Fig.6 Model of dynamics analysis for double helical gears

由圖6可知：q1，p1和q2，p2點的振動位移與主、從動輪廣義位移間的關系分別為：

式中，j=1,2。

法向阻尼采用如下方法得到：

式中：m為人字齒輪副的等效質量；ζv為人字齒輪副的相對嚙合阻尼系數, 這里取ζv=0.070；K為人字齒輪副的平均嚙合剛度。

相應的切向和軸向剛度、阻尼和嚙合誤差的計算請參照文獻[13]。

考慮左右端斜齒輪副之間的相互作用，切向動態嚙合力可表示為：

軸向動態嚙合力可表示為：

式中：i=q，p；j=1，2；kyj和kzj分別為左右端斜齒輪副切向和軸向的嚙合剛度；cyj和czj分別為左右端斜齒輪副切向和軸向的阻尼；eyj和ezj分別為切向和軸向嚙合誤差；kqx和kpx分別為小齒輪軸和大齒輪軸的扭轉剛度；cqx和cpx分別為小齒輪軸和大齒輪軸的阻尼；ze為通過人字齒輪承載接觸分析得到的低轉速下的軸向位移。當i=q,j=1或i=p,j=2時，s=1,否則s=2。

利用牛頓第二定律，根據圖6中人字齒輪傳動的動力學模型，建立人字齒輪系統的振動方程，即

式中：k1和k2分別為左端和右端齒輪副的扭轉剛度；c1和c2分別為左端和右端齒輪副的阻尼；kqy和kpy分別為小輪軸和大輪軸的彎曲剛度；cqy和cpy分別為小輪軸和大輪軸的阻尼；kqz和kpz分別為小輪軸和大輪軸的拉伸(壓縮)剛度；cqz和cpz分別為小輪軸和大輪軸的阻尼。這里需要指出，嚙合沖擊激勵被放在Tij中。

在嚙合線方向上兩齒面嚙合點間的相對位移λi(i=1，2)可表示為：

左右端輪齒扭轉角相對差γj(j=q，p)可表示為：

分別將λi和γj作為新的自由度，對式中的相應方程進行合并，并將切向動態嚙合力和軸向動態嚙合力代入式(6)～(17)。同時，定義量綱一時間t=τwn，給定一個位移標稱尺度bc，將上述方程進行量綱歸一化處理[14]。

3 人字齒輪動力學模型的求解與分析

采用變步長四階 Runge-Kutta對振動方程進行求解，考慮初始值的影響，將開始數百個周期的響應略去，計算得到位移、速度和加速度的振動時域響應，通過傅里葉變換(FFT)得到相應的頻域響應。

利用上述分析方法計算 1對人字齒輪的動態特性，該對人字齒輪的參數見表1。采用表1中的參數，利用人字齒輪嚙合特性的結果得到人字齒輪輪齒嚙合綜合剛度、單對輪齒嚙合剛度和低轉速下長周期內的軸向位移，根據沖擊模型，計算得到人字齒輪嚙入沖擊激勵(分別如圖2～5所示)。

表1 人字齒輪傳動的參數Table 1 Parameters of double helical gears

以左端齒輪副為例，圖7所示為左端小齒輪副嚙合線上相對振動加速度響應、軸向振動加速度響應和橫向振動加速度響應。圖8所示為與之對應的頻域圖。從圖7和圖8可看出：在該例中，扭轉振動和軸向振動比橫向彎曲振動大的多，因此，人字齒輪的振動噪聲主要來源于前兩者。對軸向振動起作用的主要是齒頻激勵，軸頻激勵頻率過低(在2 881 r/min時約為48 Hz)，基本不影響系統的振動。

圖7 時域譜Fig.7 Time-domain spectrum

圖8 頻域譜Fig.8 Frequency spectrum

4 結論

(1)通過人字齒輪副承載接觸分析得到輪齒時變嚙合剛度以及單對輪齒嚙合剛度和軸向位移，根據嚙合沖擊計算模型，得到嚙入沖擊激勵。

(2)應用集中參數理論建立人字齒輪12自由度的三維空間動力學模型，利用牛頓力學定律，建立人字齒輪系統的振動方程，對方程進行消除剛體位移和量綱歸一化處理。

(3)采用變步長四階龍格—庫塔法進行求解，以一對人字齒輪為例，得到系統的振動加速度響應。

(4)人字齒輪動力學模型的建立、求解和分析為人字齒輪的動態設計提供了理論依據，進而為船舶降噪提供技術支持。

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