一致耦合方法的提出及其在大跨空間結構風振分析中的應用

柯世堂 ，葛耀君，趙林，張軍鋒，田村幸雄

(1.南京航空航天大學 土木工程系，江蘇 南京，210016；2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海，200092；3.東京工藝大學 風工程研究中心，神奈川 厚木，243-0297)

Davenport[1]于1967年引入隨機振動理論將結構在脈動風作用下的響應分為背景和共振2部分，并采用“陣風荷載因子”表示高層建筑的等效靜風荷載。借鑒這一思想，將等效靜風荷載(ESWLs)也相應分成平均、共振與背景3個分量來求解，是由Zhou等[2-3]最早提出并經Holmes[4-5]進一步發展形成的經典求解方法，但其最大的局限性在于：(1)沒有很好地解決共振分量求解中各模態之間的耦合項；(2)由于采用SRSS方法來組合獲得脈動風總響應，因此，其無法考慮背景與共振模態之間的交叉項；(3)沒有一個統一、完備的ESWLs計算理論來求解共振和交叉項分量。圍繞這一難題，國內外很多學者都進行了相關的研究并取得了一定的成效。周印[6]采用三分量的方法對上海金茂大廈進行了分析，并與GLF法的結果進行對比，認為三分量法的結果更精確合理；Holmes[4]提出采用LRC法和慣性風荷載(簡稱IWL)法相結合來表示大跨度屋蓋的等效靜風荷載，并給出了平均風荷載、背景風荷載以及代表多階共振分量的慣性風荷載一起組合的表達形式，但這種方法必須假定各參振模態之間能夠很好的分離。Chen等[7-9]借鑒抗震分析的方法，將模態共振響應耦合項的貢獻表示為獨立模態的貢獻和其相關系數乘積的形式，認為當相關系數比較大時，模態間的耦合性較強，需要采用CQC組合結構模態響應，反之則采用SRSS組合；陳波等[10]結合POD和Ritz疊加法對大跨屋蓋的主要共振模態的選擇進行了探討，但沒有很好地解決背景和共振模態之間的耦合效應問題；謝壯寧等[11]采用基于完全CQC組合結構的模態風振力，獲得的ESWL中包含了所有模態的背景、共振及其耦合項，從精確度上滿足要求，但由于沒有區分背景和共振分量，使得風荷載作用機理不明確。大多研究[12-17]都是針對共振模態之間的耦合項(即前面提到的第1點局限)，而忽略背景與共振之間的耦合項(第2點局限)，并且也沒有提出一個有效的計算交叉項ESWLs的方法(第3點局限)。然而，對于某些強耦合柔性結構來說，背景和共振之間的耦合項分量所占總脈動風總響應的比例甚至會達到20%，因此，這一分量不能忽略。而基于傳統的三分量方法又無法考慮這一分量，或者即使能用CQC方法引入背景和共振分量之間的相關系數來求解交叉項響應，由于沒有發展響應的交叉項等效靜風荷載計算方法，使得交叉項的等效靜風荷載計算成為難題。鑒于此，本文作者從結構動力學和隨機振動理論出發，推導出結構脈動風總響應和ESWL的真實組合公式，并基于荷載響應相關理論，提出基于背景、共振和耦合恢復力協方差矩陣的一致耦合(簡稱CCM)方法來求解結構的脈動風致響應和ESWLs，并以一懸臂結構算例驗證本文程序的正確性；最后給出某大跨度空間結構算例，采用本文提出的CCM方法以及傳統的三分量方法進行風致響應計算，通過與全模態CQC計算結果進行對比分析，深入揭示三層耦合項的參與機理，驗證本文方法的高精度和有效性，為求解此類強耦合柔性結構的風致響應和ESWLs提供一種新的思路。

1 CCM方法的提出

柔性結構在風荷載激勵下的隨機動力響應方程可表達為：

式中，{p(t)}代表外部風荷載激勵向量；M，C和K分別為結構的質量、阻尼和剛度矩陣；,和y(t)分別為節點的加速度、速度和位移向量。

使用模態疊加原理，式(1)可表達成：

式中，qi(t)表示第i階模態的廣義位移向量；fi(t)表示第i階模態的廣義力向量。

對于柔性結構的風致動力響應來說，高階模態的共振響應通常可以忽略，這樣動態位移可以表示為：

式中：Φ為振型矩陣；iφ為第i階振型向量；qi,b(t)為僅包含準靜力貢獻的第i階背景位移響應向量；qi,r(t)為僅包含共振效應貢獻的第i階共振位移響應向量；{y(t)}b,n為包含所有模態準靜力貢獻的背景響應向量；{y(t)}r,m為僅包含共振效應貢獻的前m階模態共振位移響應向量。

1.1 傳統的頻域求解方法

通常有2種頻域求解方法計算式(3)中總的脈動風響應向量的均方差。

(1)采用SRSS方法來組合背景和共振分量，可以表達為：

式中：σt, σb,n和 σr,m分別為響應向量{y(t)}，{y(t)}b,n和{y(t)}r,m的均方差。

其中背景分量可以作為準靜力響應，采用LRC方法來求解，共振分量采用慣性風荷載方法來計算。這一方法不能考慮背景和共振之間的模態耦合項，也不能很好地考慮共振模態之間的耦合項。

(2)第2種方法為：

需要注意到背景分量σb,m是前m階背景位移向量{y(t)}b,m的均方差；ρr,b為背景分量和共振分量之間的相關系數，可以用下式計算：

從式(5)可以發現：背景分量僅僅包含前m階模態準靜力貢獻；相應地，背景和共振分量之間的交叉項也是僅僅包含前m階模態的貢獻。

基于SRSS組合的三分量法不能考慮背景和共振之間的交叉項，這對于相關系數 ρr,b很小的結構是可以接受的。然而，由于式(6)計算過程復雜，并且沒有發展交叉項響應的ESWLs計算理論，因此，在大多數的柔性結構風致響應和ESWLs計算中都不考慮，這一做法對于某些強耦合結構不合理。

1.2 改進的頻域求解方法

根據式(3)可以將脈動風總響應均方差精確的表達為：

式中：σc,nm代表前n階背景分量和前m階共振分量的交叉項。

和傳統方法的最大不同在于式(7)能考慮所有模態的準靜力貢獻、前m階共振模態之間的耦合效應、n階背景模態和前m階共振模態之間的交叉項。

1.3 CCM方法提出的原理

背景分量可以基于外荷載激勵的協方差矩陣，并采用LRC原理進行精確求解。借鑒這一思路，提出廣義恢復力協方差矩陣、共振恢復力協方差矩陣和耦合恢復力協方差矩陣這一概念，統一引入LRC方法來求解共振和交叉項分量，進而使得相應的ESWLs的求解有了理論基礎。這樣，式(7)變成：

式中：[Cpp]t為廣義恢復力協方差矩陣；[Cpp]b為外荷載協方差矩陣；[Cpp]r共振恢復力協方差矩陣；[Cpp]c為耦合恢復力協方差矩陣；I為影響線矩陣。

這樣，可以進一步變化耦合恢復力協方差矩陣的表達式為：

可以分別求解背景、共振和耦合恢復力協方差矩陣，在基于LRC方法獲得各響應分量和ESWLs分量。

1.4 各分量的求解

僅包含共振分量的第i階廣義模態響應為：

則第i階與第j階廣義共振模態響應的互功率譜為：

從式(11)可以發現，廣義共振模態響應的求解關鍵是確定廣義共振頻響傳遞函數。

綜合以上各式，廣義共振模態響應協方差矩陣可表示為：

式中：SAA為經POD分解獲得的前s階時間坐標函數A(t)互功率譜矩陣，用作降階處理。

應用模態展開理論，結構僅包含共振分量的彈性恢復力可表示為：

結合式(12)和(13)，得到{Peqq}r的互協方差矩陣[Cpp]r為：

從以上的推導容易看出，{Peqq}r為僅包含共振分量的彈性恢復力向量，其精確程度取決于計算{q(t)}r時所取的模態階數和系統的動力特性；同理，把式(14)中求解[Cqq]r所需的共振頻響函數換成廣義頻響函數矩陣H即可得到總彈性恢復力協方差矩陣[Cpp]t；在通過風洞試驗獲得風荷載時程直接獲取背景恢復力協方差矩陣[Cpp]r；由式(8)可定義耦合彈性恢復力協方差矩陣[Cpp]c，其計算公式為：

至此，求解共振、背景、耦合響應及其等效靜風荷載都可以轉化為求系統在相應恢復力作用的準靜力響應，進而可以利用LRC原理來計算。以共振分量為例給出求解過程L

當I為柔度矩陣時，r(t)即為結構的共振響應，其響應的協方差矩陣為：

式中，diag(·)表示取矩陣的對角元素組成列向量。響應Ri的對應的共振等效靜風荷載為：

綜上可知，采用這一思路可以求解背景、耦合分量的風致響應和等效靜風荷載。需要注意的是：由式(17)求解的耦合響應協方差矩陣中的元素可能會出現負數的情況，元素為正時說明忽略耦合分量會低估結構的響應，為負時說明忽略耦合分量會高估結構的響應。在代入到式(18)中求解耦合響應時，一律按正值代入，但在組合時必須要考慮其正負影響。

1.5 總風致響應和ESWL的組合

最后組合脈動風總響應為：

這樣結構的總響應為：

式中：σr，σb和σc分別為共振、背景和耦合響應分量，應該注意的是對于耦合分量的組合，一定要考慮其正負影響。

采用線性組合方式組合各分量得到總的等效靜力風荷載，可以保證總的等效靜力風荷載是真實的荷載分布形式，并且在該荷載作用下，能確保控制點和非控制點的響應都與峰值響應一致。

式中：Peb和Pec為等效靜力風荷載背景和耦合分量；WB，WR和WC分別為Per，Peb和Pec的權值系數，

下面驗證由總等效靜力風荷載引起的靜力響應的有效性：

通過上式的推導結果可知：若計算的結構風振響應結果正確，則其等效靜風荷載一定準確無誤。

2 程序正確性的驗證

張相庭[18]采用模態位移法的隨機振動理論分析了一高聳鋼結構的風振響應，其中各風參數均采用我國規范的數據。為了驗證CCM方法的正確性，采用相同算例計算，并與文獻[18]中的計算結果進行對比。

算例參數：某等截面高聳鋼結構，高度為100 m，質量分布均勻，分5等分，每層質量均為10 t，迎風寬度為10 m，彈性模量E=100 GPa，I=1.0 m4，基本風壓為0.4 kPa，體形系數為1.3，B類地貌，結構阻尼比為0.01。進行風振響應分析時，采用Davenport脈動風速譜，空間相干函數采用Shiotani經驗公式，峰值因子取為2.2。

結構前5階模態圓頻率分別為3.45，20.74，3.45，20.74和20.74 rad/s。可見，模態頻率稀疏，第1階模態起決定性作用。采用CCM方法分析時僅考慮1階共振模態，所得各節點設計動響應見表1。

表1 典型節點脈動風振位移響應均方差Table1 Wind induced responses of typical nodes mm

從表1可見：2種方法所得結果比較吻合，由于節點2的響應自身數值較小，兩者誤差最大為3.08%，在頂點位移響應誤差僅為0.49%，且本文方法計算數值均略大于文獻結果。這是由于CCM法僅考慮了一階共振模態響應，但其背景響應為所有模態的貢獻，而文獻基于模態位移法，其背景響應也僅僅考慮了1階模態，故CCM方法計算結果更精確。

算例雖然驗證了CCM方法的正確性，但是沒有體現該方法的優點，因此，將其應用到結構風工程中，考慮更加復雜的結構及風荷載激勵。

3 CCM方法在大跨空間結構風振分析中的應用

某大型博物館的建筑及結構形式新穎，其狀如山巒、通透空靈的形體宛如一朵浮云，被譽為“活的博物館”。結構長228 m，寬90 m，屋頂結構采用斜放四角錐鋼網架結構，整個雙向曲面屋頂由6根“蘑菇柱”支撐，“蘑菇柱”均勻分布，很好地分散屋頂傳來的荷載。

圖1所示為該博物館結構的有限元計算模型，圖中黑點為A～F6個節點。圖2所示為前200階固有頻率的分布情況。從圖2可以看出：該結構的基本頻率很低，僅為1.57 Hz，并且固有頻率分布十分密集，在1.5～13 Hz存在300階頻率，各模態之間的耦合效應不能忽略。計算時取10 m高的基本風速為60 m/s，阻尼比為0.02，峰值因子統一采用3.5。

圖3所示為采用全模態CQC方法計算結構2個節點的位移響應自功率譜密度函數，并且根據結構的動力特性標出了各動力放大效應出現的頻率階數。

圖1 博物館計算模型及典型節點示意圖Fig.1 Model of museum for calculation

圖2 結構固有頻率分布圖Fig.2 Scattergram of natural frequence

從圖3可以看出：對于此類大跨度屋蓋結構，背景和共振分量均不能忽略，并且對于不同的節點誰占主導地位需要進一步分析；引起結構的共振效應的模態不唯一，也不僅僅是低階模態，可能出現多個高階模態產生的共振效應共同作用的情況。但對于此類柔性結構來說，一般不會出現1個很靠后的模態產生共振效應，因此，只需確定1個截止頻率就可進行共振分量的求解；從節點位移響應的功率譜變化圖中無法看出背景和共振的交叉項影響，不能人為地判斷忽略與否，需要進行相關分析才能獲取其結果。

采用本文提出的CCM方法、傳統的三分量方法以及基于不同階數的傳統CQC方法對結構進行頻域計算，提取這6個典型節點的位移響應根方差。表2所示為這3種方法計算的響應結果。從表2可以發現：(1)對于博物館這類大跨空間結構，必須考慮多階模態的貢獻，對每個結構應具體分析后確定參振模態數目，通過逐漸增加計算模態數并和全模態CQC法的計算結果對比確定該博物館結構風振分析采用100階即可；(2)采用傳統的三分量方法的計算結果對于博物館結構的脈動風致響應來說誤差較大，其中E點的誤差最大，達到了-14.61%，說明忽略背景和共振模態之間的耦合分量對于該結構來說有時偏于危險，需要引起重視；(3)本文方法計算結果和全模態CQC法的結果較吻合，最大的誤差在F點，為1.94%。為更好地顯現CCM方法的有效性，對比采用不同方法計算的6個目標響應的絕對平均誤差。絕對平均誤差的定義為：

圖3 全模態CQC計算結構節點位移響應自功率譜圖Fig.3 PSD of displacement responses for typical nodes

表2 型節點脈動風致響應根方差Table2 RMS value of fluctuating wind-induced responses of typical nodes mm

其中，為不同節點的相對誤差。計算表明采用三分量方法計算的絕對平均誤差為7.54%，而采用CCM方法的絕對平均誤差不足1%。說明本文方法具有很高的精度和穩定性。

4 結論

(1)針對三分量法在求解強耦合柔性結構的風致響應和ESWL中的不足，在結構動力學和隨機振動理論基礎上，提出了用于補償共振與背景間耦合分量的CCM法。其優點在于：采用同一理論基礎進行背景、共振和交叉項3個分量的求解，能完全考慮各共振模態之間、共振和背景模態之間的耦合效應，并賦予共振和交叉項等效靜風荷載分量以明確的物理意義。

(2)經典算例驗證結果表明本文方法正確、有效，為強耦合柔性結構的風振響應分析提供了一種新的思路。

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