峰值電流模式非理想Boost 變換器建模*

李 軍，張 章，楊依忠，解光軍

(合肥工業(yè)大學電子科學與應用物理學院，合肥 230009)

隨著變換器技術的發(fā)展，以往理想化建模會產生嚴重的偏差;因此建模時，必須考慮電感電流的紋波和開關器件的寄生參數(shù)，通過開關元件平均法、時間平均等效電路法、能量守恒法的基本思想，就可以建立非理想變換器的小信號等效電路模型［1－2］。而峰值電流控制的主要優(yōu)點是良好的動態(tài)響應和線性電壓調整能力，較好的系統(tǒng)穩(wěn)定性和可靠性。

1 非理想Boost 變換器等效電路

對于基本的Boost 變換器，考慮其非理想寄生參數(shù)的等效電路如圖1所示［3］，其中功率開關MOSFET 等效為理想開關和導通電阻Ron的串聯(lián)，二極管等效為理想開關、正向壓降VF、導通電阻RF的串聯(lián)，RL、Rc分別是濾波電感、濾波電容的等效串聯(lián)電阻(ESR)。令開關S 的開關周期為Ts，導通時間為Ton，則占空比d=Ton/Ts。

圖1 考慮寄生參數(shù)的非理想Boost 變換器等效電路

考慮紋波影響，根據(jù)能量守恒原理將兩個開關的寄生參數(shù)等效到電感支路中，得到三個寄生電阻在電感支路中的總等效電阻

圖2 CCM模式下非理想Boost 變換器的交流小信號模型

對圖2所示的交流小信號等效電路，對各參數(shù)進行s 域變換，可計算出各傳遞函數(shù)為:

(1)輸出電壓^uo(s)對輸入電壓^ug(s)的傳遞函數(shù)Gug(s):

(2)輸出電壓^uo(s)對控制變量^d(s)的傳遞函數(shù)Gud(s):

(3)電感電流^iL(s)對輸入電壓^ug(s)的傳遞函數(shù)Gig(s):

(4)電感電流^iL(s)對控制變量^d(s)的傳遞函數(shù)Gid(s):

其中:Ri=RE+R(1－D)2+s［L+(R +RC)REC+RRCC·(1－D)］+s2(R+RC)LC。

2 峰值電流控制器的精確模型

本文研究考慮斜坡補償和電感電流紋波影響的峰值電流控制器的精確模型［8－9］，由于通常所建立的模型忽略電感電流紋波和斜率補償電路，只適用于電感電流和斜坡補償電流紋波較小的場合，因此本文研究的電路模型適用于電感電流紋波較大，存在斜坡補償［10］的場合，具有更高的精度。峰值電流模式Boost 變換器如圖3所示。

由圖4所示為電感電流iL(t)和電流內環(huán)控制電流iC(t)以及斜坡補償?shù)牟ㄐ巍Ｓ善湎嗷リP系可知，在整個開關周期內，電感電流的平均值為:

圖3 峰值電流模式Boost 變換器控制系統(tǒng)

圖4 電感電流平均值與控制電流波形及其相互關系

對各變量分離擾動，使各變量等于對應的直流分量與交流小信號分量之和，令:

由于mC由控制電路決定，因此其擾動量可以忽略不計，即mC=MC，將式(7)代入式(6)中，去除直流分量，并忽略高階微小量，可以得到電感電流平均值擾動量^iL(t)的表達式為:

對于Boost 變換器，有:

且穩(wěn)態(tài)時M1D=M2D′，由式(8)可得到^d(t)的表達式為:

即

式(11)中，F(xiàn)g、Fu分別表示輸入、輸出電壓擾動量對占空比的影響系數(shù)，可以看出，占空比d(t)受控制量iC(t)、電感電流iL(t)、輸入電壓ug(t)和輸入電壓uo(t)等各個變量的共同控制，因此，輸入電壓的擾動量^ug(t)的變化直接反映到占空比的擾動量^d(t)上，從而使得峰值電流模式控制Boost 變換器具有對輸入電壓的動態(tài)響應速度快、線性電壓調整率好的優(yōu)點。

由于在上述討論中，^iL(t)表示電感電流平均值的擾動量，而不是電感電流峰值的擾動量，因此在研究峰值電流模式控制Boost 變換器的動態(tài)行為時，可以在上節(jié)建立的CCM模式下非理想Boost變換器的交流小信號等效電路模型的基礎上，建立峰值電流模式控制Boost 變換器包含電流控制環(huán)的等效功率級的交流小信號等效電路模型，如圖5所示。

圖5 峰值電流模式控制Boost 變換器交流小信號等效電路模型

基于圖5所示的交流小信號等效電路，并對各參數(shù)進行s 域變換，可以寫出電感電流平均值擾動量^iL(t)和輸出電壓擾動量^uo(t)與輸入電壓擾動量^ug

(t)和占空比擾動量^d(t)及輸出電流之間的線性關系為:

又

再將式(15)代入式(13)中，可得:

其中，Guc(s)為峰值電流模式控制Boost 變換器等效功率級的傳遞函數(shù):

其中:

A(s)為峰值電流模式控制Boost 變換器等效功率級的音頻衰減率:

考慮電流環(huán)路的電流采樣行為對電路的影響，本文取電流采樣函數(shù):

其中wn=π/Ts，QZ=－2/π。則電流環(huán)路的環(huán)路增益為:Ti(s)=FmGid(s)He(s)，由于電流環(huán)路的增益非常小，故峰值電流模式控制變成了電壓模式控制。

圖3所示峰值電流模式Boost 變換器控制系統(tǒng)的電壓控制器，其峰值電流模式控制Boost 變換器的輸出電壓為:

其中Tv(s)為電壓環(huán)路的環(huán)路增益，即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)=HC(s)GC(s)GUC(s)=GU(s)GUC(s)，則得到相應的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

閉環(huán)輸入音頻衰減率為:

3 分析及仿真

本文選用的實際Boost 變換器各參數(shù)為Ug=5 V，Uo=10 V，電感電流紋波ΔiL=0.1 A，R=10Ω，L=127μH，RL=0.66Ω，C=464μF，Rc=0.009Ω，開關功率管的導通電阻Ron=0.055Ω，肖特基二極管RF=0.025Ω，VF=0.4 V，開關頻率fs=50 kHz，本文采用的電壓采樣網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)HC(s)=1。

當無補償傳遞函數(shù)時，傳遞函數(shù)GU(s)=1，則此時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)為:

由式(22)可以看出，無電壓控制器補償時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)即為等效功率級傳遞函數(shù)Guc(s)，此時穿越頻率fc=wc/2π=792 Hz，相位裕度φm=108.3°，因此存在著穿越頻率太低，系統(tǒng)響應速度很慢，相位裕度過大，影響系統(tǒng)動態(tài)性能等問題，必須要設計電壓控制器進行補償。

無電壓控制器補償時，穿越頻率過低，因此需要提高穿越頻率，設加入電壓控制器后開環(huán)傳遞函數(shù)

Tv(s)的穿越頻率fC是開關頻率fs的五分之一，即:

由于PID 補償器有提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和提高系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)點，因此本文采用的電壓控制器如圖6所示。

圖6 電壓控制器

該PID 補償網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為

此時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)即為:

令式(24)中wp3=wz1，抵消輸出電容ESR 引起的零點。設補償后相位裕度φm=45°，則補償器零、極點頻率為

本文取fz4=1.11 kHz，當頻率為穿越頻率fC時，開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)的幅頻特性為0 dB，可得Gv0=2.396×105，因此，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

由式(25)可取:R3=4 kΩ，C3=10 nF，R1=2 kΩ，C1=10 nF，R2=12 kΩ，C2=2 nF，RC=1Ω，R4=200Ω。

則實際系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

由式(26)可以求得，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率fc=wc/2π=8.06 kHz，相位裕度φm=49.6°，穿越頻率和相位裕度都得到了較理想的值，基本滿足設計要求。

通過MATLAB 編程，得出系統(tǒng)相應的仿真圖形如圖7～圖10所示，其中:圖7 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù);圖8為補償前后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù);圖9為理想和非理想情況下，等效功率級的傳遞函數(shù);圖10為補償前后，系統(tǒng)音頻衰減率傳遞函數(shù)。

圖7 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應曲線(實線為閉環(huán)傳遞函數(shù)，虛線為開環(huán)傳遞函數(shù))

圖8 補償前后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應曲線(實線為補償后，虛線為補償前)

圖9 理想和非理想情況下系統(tǒng)等效功率級傳遞函數(shù)的頻率響應曲線(實線為非理想情況，虛線為理想情況)

圖10 補償前后系統(tǒng)音頻衰減率的頻率響應曲線數(shù)(實線為補償后，虛線為補償前)

4 結論

通過MATLAB 編程進行仿真，可以看出在加入電壓控制器后，系統(tǒng)有了合理的穿越頻率，且大大減小了系統(tǒng)在低頻段的穩(wěn)態(tài)誤差;考慮了非理想因素后，通過Boost 等效功率級的傳遞函數(shù)的比較，發(fā)現(xiàn)理想模型和非理想模型稍有差別。因此，本文建立的非理想Boost 變換器在峰值電流控制下的精確模型及其電壓控制器的設計是合理的，這為以后深入研究環(huán)路的穩(wěn)定性提供了依據(jù)。

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