一個(gè)新的開(kāi)關(guān)超混沌及其DSP實(shí)現(xiàn)

丘 嶸，王春雷，丘水生

（①?gòu)V東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510640；②杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，廣東 杭州 310018；③華南理工大學(xué) 電信學(xué)院，廣東 廣州 510640）

0 引言

混沌具有初值敏感、類(lèi)隨機(jī)和連續(xù)寬帶功率譜特性。混沌的動(dòng)力學(xué)特性與傳統(tǒng)密碼學(xué)之間存在著一種自然的聯(lián)系，它基本對(duì)應(yīng)著密碼系統(tǒng)的某些主要安全特征，混沌可作為一種偽隨機(jī)序列信號(hào)應(yīng)用于保密通信、密碼系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域之中。

混沌具有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，超混沌具有兩個(gè)或以上的正Lyapunov指數(shù)[1]。與混沌相比，超混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和產(chǎn)生的信號(hào)更加復(fù)雜，用于保密通信和密碼系統(tǒng)時(shí)其密鑰空間更大，更能改善被加密或被傳輸信息的安全性。

目前多數(shù)通信和密碼系統(tǒng)都為數(shù)字系統(tǒng)。為適應(yīng)混沌在數(shù)字信息系統(tǒng)中的應(yīng)用，必須把連續(xù)或離散的混沌數(shù)字化。在數(shù)字系統(tǒng)中處理非周期的混沌時(shí)，由于系統(tǒng)本身的有限精度將導(dǎo)致混沌出現(xiàn)周期現(xiàn)象[2]，為擴(kuò)展數(shù)字混沌的周期可對(duì)混沌系統(tǒng)施加參數(shù)擾動(dòng)[2]。雖然目前已提出了多個(gè)超混沌系統(tǒng)[3-8]，為了進(jìn)一步提高超混沌的復(fù)雜性，本文提出了一個(gè)開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)在其自身變量控制下不斷地自動(dòng)變化。基于DSP芯片研究了該開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 開(kāi)關(guān)超混沌數(shù)學(xué)模型構(gòu)造

所謂開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)是由一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)控制的雙切換系統(tǒng)，它包括 2個(gè)不同的超混沌子系統(tǒng)，2個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)組合成一個(gè)更復(fù)雜的超混沌系統(tǒng)。在開(kāi)關(guān)函數(shù)的控制下，系統(tǒng)交替工作在2個(gè)不同的子系統(tǒng)之中。由于系統(tǒng)在演化過(guò)程中總是存在兩種不同的可能性，導(dǎo)致了系統(tǒng)超混沌信號(hào)的多樣性和隨機(jī)性，將其應(yīng)用于密碼或保密通信系統(tǒng)之中將會(huì)擴(kuò)展密鑰空間，增強(qiáng)傳輸信息的安全性。

所設(shè)計(jì)的開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)為：

其中a、b、c、d、k為待定的系統(tǒng)參數(shù)，其取值要保證系統(tǒng)工作在混沌或超混沌狀態(tài)。S(x)為一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)，定義為：

x為系統(tǒng)（1）的解且隨時(shí)間隨機(jī)地變化，它是開(kāi)關(guān)函數(shù)的開(kāi)關(guān)控制變量，亦可把系統(tǒng)的解y或z作為控制變量，即開(kāi)關(guān)函數(shù)也可表示為S(y)或S(z)。

根據(jù)式（1）和式（2）可知，當(dāng)信號(hào)x≥0時(shí)，S(x)=1，開(kāi)關(guān)系統(tǒng)（1）工作在如下子系統(tǒng)：

當(dāng)參數(shù)a、b、c、d和k處于一定空間，即它們?nèi)∫欢ǖ膮?shù)范圍時(shí)系統(tǒng)（3）是混沌或超混沌的。如當(dāng)a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5時(shí)，系統(tǒng)(3)工作在超混沌狀態(tài)。

當(dāng)信號(hào)x < 0時(shí)，S(x) = 0，開(kāi)關(guān)系統(tǒng)（1）工作在如下子系統(tǒng)：

其中a、b、c和k為可調(diào)的系統(tǒng)參數(shù)。當(dāng)參數(shù)a、b、c、d和k取一定的參數(shù)范圍時(shí)系統(tǒng)（4）也是混沌或超混沌的。如當(dāng)a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5時(shí)，系統(tǒng)(4)工作在超混沌狀態(tài)。

超混沌系統(tǒng)（3）、系統(tǒng)（4）除第2個(gè)方程不同外其余2個(gè)方程完全相同。雖然它們有相似的結(jié)構(gòu)，但其代數(shù)結(jié)構(gòu)不同，平衡點(diǎn)也不同，因而他們是非拓?fù)涞葍r(jià)的[1]，即它們?cè)诶碚撋鲜遣煌?個(gè)超混沌系統(tǒng)。

開(kāi)關(guān)函數(shù)的狀態(tài)“1”或“0”由其控制變量的變化所確定。因此，系統(tǒng)（1）在其自身變量x的控制下，自動(dòng)地且隨機(jī)地在兩個(gè)子系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)換，每個(gè)子系統(tǒng)都是超混沌的，因而形成了一個(gè)復(fù)雜的開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)。

該系統(tǒng)的信號(hào)波形和解的軌跡由兩個(gè)不同的部分構(gòu)成。當(dāng)系統(tǒng)（1）的解x ≥ 0時(shí)，S (x) = 1，超混沌信號(hào)由子系統(tǒng)（3）產(chǎn)生；當(dāng)系統(tǒng)（1）的解x < 0時(shí)，S(x) = 0，超混沌信號(hào)由子系統(tǒng)（4）產(chǎn)生。如此隨機(jī)地往復(fù)變化，兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的信號(hào)融合交織在一起。

這種由2個(gè)不同的混沌信號(hào)按時(shí)間隨機(jī)地混雜在一起而形成的一個(gè)完整的混沌信號(hào)，比之由單一混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)要復(fù)雜得多，且門(mén)限參數(shù)本身又是一種密鑰參數(shù)，它擴(kuò)展了混沌偽隨機(jī)序列的密鑰空間，使其提高了安全性。

2 開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)

基于上述的開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)和DSP芯片可把該系統(tǒng)數(shù)字化，用以產(chǎn)生混沌偽隨機(jī)序列。本文采用ICETEK-VC5502-AE評(píng)估板，評(píng)估板的主處理DSP芯片是16位定點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理器TMS320C5502。

開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)的數(shù)字化思路主要是：首先把連續(xù)開(kāi)關(guān)超混沌方程離散、量化，其次是在CCS環(huán)境下編寫(xiě)離散迭代求解和把解量化的程序，仿真后把程序下載到DSP芯片。

采用差商逼近法進(jìn)行離散處理[9-11]，用適當(dāng)差商逼近導(dǎo)數(shù)值。超混沌方程（1）的離散化模型為：

式中τ為離散時(shí)間間隔，取τ=0.008。將式(5)作為循環(huán)體進(jìn)行迭代求解得到混沌實(shí)值序列，混沌實(shí)值序列還需經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的量化處理轉(zhuǎn)換成混沌二值序列。本文采用抽取混沌方程迭代解的每個(gè)浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)后的一位或若干位構(gòu)成混沌二值序列，使其數(shù)字化。

以系統(tǒng)（1）為隨機(jī)信號(hào)源，基于以上的離散量化算法和DSP芯片可設(shè)計(jì)一種偽隨機(jī)序列發(fā)生器，用以產(chǎn)生數(shù)字偽隨機(jī)序列。其軟件部分主要在DSP開(kāi)發(fā)平臺(tái)CCS中完成。CCS IDE是TI為其DSP設(shè)計(jì)的集成開(kāi)發(fā)環(huán)境，它包含了完全集成的代碼編輯環(huán)境，用以編寫(xiě)C、C++以及DSP匯編代碼。

以離散系統(tǒng)(6)作為迭代序循環(huán)體，并在CCS中編寫(xiě)C程序文件進(jìn)行求解；完成C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)后需對(duì)程序進(jìn)行編譯和鏈接；把編譯、仿真后的程序下載到評(píng)估板ICETEK-VC5502-AE的TMS320VC 5502A DSP芯片之中，便可輸出和觀測(cè)產(chǎn)生的數(shù)字偽隨機(jī)序列。實(shí)驗(yàn)裝置和在示波器上觀測(cè)到的數(shù)字波形如圖1所示。如果利用計(jì)算機(jī)測(cè)試序列性能，可將評(píng)估板與PC機(jī)相連，利用串口采集序列并輸出至PC機(jī)中，并保存為文檔。如果需要觀察產(chǎn)生的數(shù)字混沌序列是否保持了原來(lái)模擬混沌序列的特性，可將將0、1混沌序列通過(guò)D/A轉(zhuǎn)換模擬信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)。

圖1 數(shù)字序列實(shí)現(xiàn)

3 結(jié)語(yǔ)

為了提高混沌的復(fù)雜性從而產(chǎn)生隨機(jī)性能良好的混沌序列，本文提出了一個(gè)開(kāi)關(guān)超混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)包含兩個(gè)不同的超混沌子系統(tǒng)，通過(guò)一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)在其自身變量控制下不斷地在這2個(gè)子系統(tǒng)之間轉(zhuǎn)換，其行為比傳統(tǒng)的超混沌更具復(fù)雜性。為產(chǎn)生數(shù)字超混沌信號(hào)，基于DSP芯片設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)字混沌序列發(fā)生器，在實(shí)驗(yàn)中獲得了數(shù)字化的超混沌偽隨機(jī)序列，這種數(shù)字化方法及其產(chǎn)生的序列可應(yīng)用于通信、信息加密和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域之中。

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