土水特征曲線參數的概率統計及敏感性分析

譚曉慧，李 丹，沈夢芬，侯曉亮，胡 娜

（合肥工業大學 資源與環境工程學院，合肥230009）

土水特征曲線（Soil－water characteristic curve，簡稱SWCC）表征非飽和土的基質吸力與含水率（如重力含水率、體積含水率）或飽和度之間關系，它包含了土體在任一吸力時孔隙中含有的水量及孔徑分布信息，由土水特征曲線可以得到非飽和土的抗剪強度、滲透系數、體積變化等性質［1－5］。由于土水特征曲線的重要性，很多學者對之進行了研究，并提出了大量有關土水特征曲線的數學模型［6－7］。文［1，6－7］通過研究，指出 Frenlund－Xing模型（簡稱 FX模型）［10］及van Genutchen模型（簡稱 VG 模型）［11］效果較好，它們適用的吸力范圍廣，擬合參數的物理意義明確。采用數學模型來表示SWCC的優點在于：模型的參數可以量化描述曲線的形狀，可用于土體的分類，可方便地用于估計其它土性參數。在涉及到非飽和土的巖土工程數值分析中，非飽和土的性質非常重要，數值分析的結果是否正確在很大程度上依賴于SWCC參數等輸入數據的可靠性。在進行可靠度分析時，還需要提供參數的均值、均方差、分布類型等信息。因此，對SWCC模型參數進行概率統計分析是十分重要的。

Sillers等［7］通過對二百多組數據的數理統計，對8種土的多種SWCC模型及其修正型式求得了模型參數的均值、均方差及中值，并指出在大多數情況下，這些擬合參數的變異性都較大。Puppala等［8］采用FX模型研究了2種膨脹土的SWCC特征，并采用線性回歸分析的方法求解了模型參數與基本土性參數間的關系。Phoon等［9］以VG模型為基礎，指出可采用對數正態隨機矢量來表示SWCC的2個擬合參數a及n。

由于FX模型及VG模型的擬合效果較好［1，6－7］，筆者以這2類模型及其修正型式為基礎，研究SWCC參數的擬合方法，分析不同土類的SWCC參數的概率分布特征，并進行參數的敏感性分析。

1 土水特征曲線模型及擬合方法

1.1 SWCC模型

SWCC可以通過某種數學模型來表示，即：采用某種特定型式的函數來表示試驗所得的基質吸力與含水率的關系。筆者以FX模型和VG模型為基礎進行研究。根據具體表達式的不同，這2類模型又分別分為3種型式，具體如下。

1.1.1 FX模型 文［10］通過對土體孔徑分布曲線的研究，用統計分析理論推導出非飽和土體積含水率與基質吸力之間的對數函數型式的土水特征曲線，其歸一化表達式如下（FX1模型）：

式中：ψ為基質吸力；θ為與基質吸力ψ相對應的體積含水率，其取值范圍為［θr，θs］，θr和θs分別為殘余含水率和飽和含水率；θn為歸一化的體積含水率（有效飽和度）；a、n、m為擬合參數（a是與進氣值有關的吸力值，對應于曲線的拐點；n是與孔徑分布有關的參數，對應于曲線的斜率；m是與曲線拐點處的不對稱性有關的參數）；e為自然對數的底。

若在曲線擬合時視殘余含水率為零，則上式變為（FX2模型）：

當土體的體積含水率小于殘余含水率時，上述模型常高估了含水率的數值。此時，可采用下述方法進行修正（FX3模型）：

式中：C（ψ）為修正函數，ψr為與殘余含水率θr對應的基質吸力，一般取ψr＝3 000kPa［7］。

1.1.2 VG模型 文［11］通過對土水特征曲線的研究，得出非飽和土體積含水率與基質吸力之間的冪函數形式的土水特征曲線，其歸一化表達式如下（VG1模型）：

與Fredlund－Xing模型類似，van Genutchen模型亦可寫成如下2種型式［7］：

1.2 SWCC擬合方法

對于任一組基質吸力－體積含水率試驗數據，為獲得上述各種SWCC模型的擬合參數，筆者分別采用科學編程語言MATLAB中的非線性回歸擬合函數Nlinfit、最小二乘法擬合函數Lsqcurvefit及最優化求最小值函數Fminsearch來進行SWCC參數的求解。

方法1：Nlinfit是Matlab統計工具箱中的非線性回歸函數，它采用Levenberg－Marquardt算法來進行非線性回歸。它需要的輸入值是：待擬合的數據、非線性曲線函數及擬合參數的初值。

方法2：Lsqcurvefit是Matlab優化工具箱中的函數，它采用最小二乘法來求解非線性函數的參數。它需要的輸入值除了待擬合的數據、非線性曲線函數及擬合參數的初值以外，還可以限定所需求解參數的范圍。

方法3：Fminsearch屬于 Matlab的基本函數，它采用不需求導數的優化方法來求解無約束多變量函數的最小值。它需要的輸入變量是目標函數及參數的初值。筆者定義目標函數值為體積含水率的擬合值與實測值之差的平方和。因此，用這種方法求解參數的實質也是最小二乘法。

2 土水特征曲線的擬合

為了研究各種不同土的SWCC形狀及特性，分析SWCC模型、擬合方法等因素對參數擬合結果的影響，對大量的基質吸力－體積含水率數據進行了參數擬合及統計分析。

2.1 數據來源

2.1.1 UNSODA數據庫中的黏土和砂土

UNSODA是由美國農業部鹽度實驗室開發的有關非飽和土性質的數據庫，全稱為非飽和土水力數據庫（UNsaturated SOil hydraulic DAtabase）［9］。該數據庫包含世界各地約790個土樣的試驗數據，并含有土的分類、試驗方法、粒徑分布、密度、飽和體積含水率、土樣所處環境的溫度及降雨量等內容。由于篇幅所限，分別選取該數據庫中實驗室試驗條件下的黏土（clay）與砂土（sand）為研究對象進行曲線擬合。其中，黏土與砂土所包含的基質吸力－體積含水率的數據分別為23組及117組。

2.1.2 廣西膨脹土及合肥膨脹土

UNSODA數據庫中的數據主要是國外土樣的試驗結果。為了研究中國土體的SWCC曲線特征，經過查閱文獻，得到了廣西膨脹土的9組基質吸力－體積含水率數據［12－13］。

上述UNSODA中的數據及廣西膨脹土的數據都是由文獻中的資料收集而得的，其各組土樣的具體取樣地點、試驗方法及試驗條件都不相同。為了研究同一種土、同一種試驗方法下SWCC的統計規律，以合肥市某工地的膨脹土為例，采用滲析法試驗進行了6組重復試驗，得到了6組相同試驗條件下的基質吸力－體積含水率數據。

2.2 SWCC參數擬合結果

2.2.1 影響因素分析

1）擬合方法對SWCC參數的影響

分別采用3種擬合方法及FX1、FX2、FX3、VG1、VG2、VG3這6種模型對 UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土、合肥膨脹土進行SWCC參數擬合。大量數據的擬合結果表明：對于同一種SWCC模型，采用不同的擬合方法均能得到很好的擬合效果，但它們所得到的擬合參數不完全相同，某些參數值甚至相差較大。例如，表1是對UNSODA中第2361＃黏土采用FX2模型進行擬合的結果，各種擬合方法的擬合參數初值相同。表1中R2是決定系數，其表達式為：

式中：θi及分別為第i個數據的實測值及預測值，為n個數據的平均值。

表1 UNSODA中2361＃黏土的SWCC擬合參數值（FX2）

由表1可見，3種擬合方法所得的擬合參數有一定差別，尤其是a值相差較大。但是，各種擬合方法的決定系數都大于0.99，這表明這3種擬合方法的效果都很好。圖1為各種擬合方法所得的SWCC擬合曲線，可見，這3種擬合方法所得的SWCC擬合曲線幾乎相同。因此，對于同一組吸力－體積含水率數據及同一種曲線擬合模型，采用不同的擬合方法可以得到不同的擬合參數值，但是它們都能較好地擬合原有數據。

圖1 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（FX2）

2）擬合模型對SWCC參數的影響

大量數據的擬合結果表明：擬合方法一定時，各種擬合模型所得的SWCC曲線參數亦有一定差異。圖2是對UNSODA中第2361＃黏土采用Nlinfit進行擬合的結果。由圖2（a）可知：FX1、FX2與FX3的差別主要在于高吸力部分。對于低吸力部分，它們的SWCC擬合曲線十分接近。由圖2（b）可知，對于VG系列模型亦有此規律。

圖2 UNSODA中第2361＃黏土的SWCC（Nlinfit）

圖2（c）將FX2、FX3、VG2及 VG3的擬合曲線置于同一圖形。盡管這4種模型的擬合參數有所不同，但由圖2（c）可見，在低吸力部分，這4種模型的SWCC卻十分接近；在高吸力部分，FX2與VG2的SWCC接近，FX3與VG3的SWCC幾乎相同。

由于FX1及VG1都是4參數模型（參數：a、n、m、θr），而其它4個模型都是3參數模型（參數：a、n、m），因此，對于相同數目的試驗數據點，FX1及VG1對應的擬合效果相對較差，有時會出現殘余含水率為負的不合理現象。后續分析只對FX2、FX3、VG2及VG3模型進行研究。

2.2.2 SWCC參數的統計分析 為了研究SWCC曲線擬合參數的概率分布特征，基于上述研究，分別對采用FX2、FX3、VG2、VG3模型及3種擬合方法得到的參數a、n、m進行統計分析，求解UNSODA黏土、UNSODA砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC擬合參數的均值、均方差、變異系數、分布類型及參數間的相關系數。在進行參數的統計分析時，根據3倍均方差的原則進行異常數據的剔除。統計結果表明：UNSODA黏土及砂土的SWCC擬合參數滿足對數正態分布；廣西膨脹土及合肥膨脹土由于參與統計的數據組數偏少，未對其統計參數的概率分布類型。4種土的SWCC擬合參數均值統計結果見圖3。

圖3 SWCC擬合參數的均值

圖3中，左、中、右圖形分別代表參數a、n、m的統計結果；橫坐標的數字1～4分別代表FX2、FX3、VG2及VG3模型；縱坐標代表參數a、n、m的均值，a的單位是kPa。

由圖3可知：對于同一種土，SWCC擬合方法及擬合模型不同時，擬合參數值不同。但是，從統計意義上看，參數a、n、m的均值受擬合方法的影響不大，而受擬合模型的影響較大，即：擬合模型相同但擬合方法不同時，參數a、n、m的均值有一定變化，但相對變化量較小；擬合方法相同但擬合模型不同時，參數a、n、m的均值有較大變化。

對參數a、n、m的均方差及變異系數進行數理統計，亦可得出上述規律。為簡化起見，文中只列出擬合方法2及模型FX2、VG2對應的擬合參數均值及變異系數，見表2～5。

表2 UNSODA黏土的擬合參數（Lsqcurvefit）

表3 UNSODA砂土的擬合參數（Lsqcurvefit）

表4 廣西膨脹土的擬合參數（Lsqcurvefit）

表5 合肥膨脹土的擬合參數（Lsqcurvefit）

以上述4種土的SWCC擬合均值為參數，可以繪制各種土的SWCC擬合曲線。例如，FX2模型的SWCC曲線如圖4所示。由該圖知：UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的SWCC曲線形狀較為一致，因為它們同屬于黏土；相對于UNSODA砂土而言，它們的曲線相對平緩，曲線拐點不明顯；而UNSODA砂土的SWCC曲線之斜率相對較大，曲線拐點相對較為明顯。這種現象可結合表6進行解釋。表6是對表2～5中FX2模型進行匯總得到的，它將UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土匯總為黏土，并統計了其擬合參數均值及變異系數的變化范圍。由表6可見，對于均值而言，黏土的a值遠大于砂土的a值，但黏土的n及m值卻分別小于砂土的相應值；但對于變異系數而言，黏土與砂土的變異系數大小無明顯區別。對表2～5中VG2模型進行統計，亦可同到類似的結論。

圖4 SWCC擬合曲線（FX2模型，Lsqcurvefit）

表6 黏土及砂土擬合參數對比分析（Lsqcurvefit）

2.2.3 SWCC參數的敏感性分析

為研究SWCC參數a、n、m對體積含水率θ的影響程度，判斷各參數的相對影響，需要進行參數的敏感性分析。

參數的敏感性可以用因變量對自變量的導數來表示。在進行敏感性分析時，SWCC擬合參數為基本變量，飽和體積含水率為定值。為消除飽和體積含水率的影響，此處以歸一化的體積含水率θn為研究對象進行參數的敏感性分析。

對于FX2模型，由式（1）可以推導出θn對3個擬合參數的導數公式如下：

對于VG2模型，由式（5）可求得θn對3個擬合參數的導數公式為：

對于FX3及VG3模型，只需將式（9）～（14）分別乘以修正函數C（ψ），即可得到其對應的導數求解公式。

為了消除變量單位的影響，文［14］定義了無量綱化的敏感因子。對于系統特性P（X），X＝（X1，X2，…，Xn），敏感性因子的計算公式為：

式中：x＊＝ （x1，x2，…，xn）＊為變量X的基準值。

當變量間具有相關性時，文［15］定義了可靠指標對參數均值的相對敏感性計算公式。借鑒這種方法，定義體積含水率對各參數的相對敏感性為：

以FX2模型及UNSODA黏土為例，歸一化體積含水率θn對3個變量的相對敏感性見圖5。其中，圖5（a）是假設變量間不相關時的敏感性曲線，圖5（b）是根據參數a、n、m的統計結果（參數a與n、a與m、n與m間的相關系數分別為（0.36、0.48、0.33）計算而得的敏感性曲線，它考慮了參數間的相關性。由圖5可見，對于UNSODA黏土，在工程常見的吸力范圍內，θn對參數a的敏感性很小，對參數n、m的變化較為敏感；隨著吸力的增加，θn對參數n的敏感性逐漸減小，敏感性數值由正轉負；θn對參數m的敏感性數值為負值，其絕對值在60kPa左右達到最大值；參數間的相關性對參數a的敏感性有較大影響，但對參數n及m的敏感性影響不大。

圖5 歸一化體積含水率對SWCC參數的敏感性（UNSODA黏土）

3 結 論

以Fredlund－Xing模型的3種型式（FX1、FX2、FX3）及van Genuchten模型的3種型式（VG1、VG2、VG3）為SWCC曲線的擬合模型，以科學計算語言 Matlab中的3種函數（Nlinfit、Lsqcurvefit、Fminsearch）為擬合方法，對UNSODA數據庫中的黏土與砂土、廣西膨脹土及合肥膨脹土的大量基質吸力－體積含水率數據進行了曲線擬合，得到了這4類土的擬合參數均值、均方差、變異系數、分布類型及參數間的相關系數；求得了這4種土的典型SWCC曲線；提出了歸一化體積含水率對SWCC曲線參數的相對敏感性計算公式，進行了參數的敏感性分析。這些研究成果為非飽和土工程的可靠度分析提供了必要的研究基礎。

計算結果表明：

1）擬合方法對SWCC擬合參數有一定影響，不同的擬合方法可以得到不同的擬合結果；但從統計意義而言，大量擬合參數的均值、均方差及變異系數受擬合方法的影響不明顯。

2）擬合模型對SWCC擬合參數影響較大，采用不同的擬合模型可以得到不同的擬合參數。對于相同數目的數據點，FX2、FX3、VG2、VG3的擬合效果優于FX1及VG1；FX2、FX3、VG2與VG3在低吸力部分的SWCC曲線一致；在高吸力部分，FX2與VG2的SWCC接近，FX3與VG3的SWCC接近。

3）UNSODA黏土、廣西膨脹土及合肥膨脹土同屬于黏土，其SWCC曲線形狀較為一致，它們的a值一般較大，n值相對較小，曲線拐點不明顯，曲線中部的斜率較小。UNSODA砂土的a值較小，n值較大，曲線拐點較為明顯，曲線的斜率相對較大。

4）敏感性分析結果表明：參數a對歸一化體積含水率θn的影響程度較小，θn對參數a的變化不敏感，而對參數n及m的變化則較為敏感。

［1］周葆春，孔令偉，陳偉，等.荊門膨脹土土－水特征曲線特征參數分析與非飽和抗剪強度預測［J］.巖石力學與工程學報，2010，29（5）：1052－1059.ZHOU Baochun，KONG Lingwei，CHEN Wei，et al.Analysis of characteristic parameters of soil－water characteristic curve（SWCC）and unsatureated shear strength prediction of Jinmen expansive soil ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010，29（5）：1052－1059.

［2］Miao L C，Houston S L，Cui Y，et al.Relationship between soil structure and mechanical behavior for an expansive unsaturated clay［J］.Canadian Geotechnical Journal，2007，44：126－137.

［3］Nuth M，Laloui L.Advances in modelling hysteretic water retention curve in deformable soils ［J］.Computers and Geotechnics，2008，35（6）：835－844.

［4］Pedroso D M，Williams D J.A novel approach for modelling soil－water characteristic curves with hysteresis［J］.Computers and Geotechnics，2010，37（3）：374－380.

［5］林鴻州，于玉貞，李廣信，等.土水特征曲線在滑坡預測中的應用性探討［J］.巖石力學與工程學報，2009，28（12）：2569－2576.LIN Hungchou，YU Yuzhen，LI Guangxin，et al.On application of soil－water characteristic curves to landslide forecast ［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2009，28（12）：2569－2576.

［6］Nam S，Gutierrez M，Diplas P，et al.Comparison of testing techniques and models for establishing the SWCC of riverbank soils ［J］.Engineering Geology，2009，110（1／2）：1－10.

［7］Sillers W S，Fredlund D G，Zakerzadeh N.Mathematical attributes of some soil－water characteristic curve models［J］.Geotechnical and Geological Engineering，2001，19：243－283.

［8］Puppala A J，Punthutaecha K，Vanapalli S K.Soilwater characteristic curves of stabilized expansive soils［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2006，132（6）：736－751.

［9］Phoon K K.Santoso A，Quek S T.Probabilistic analysis of soil－water characteristic curves［J］.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2010，136（3）：445－455.

［10］Fredlund D G，Xing A.Equations for the soil－water characteristic curve ［J］.Canadian Geotechnical Journal，1994，31：521－532.

［11］van Genuchten M T.A closed form equation predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils［J］.Soil Science Society of America Journal，1980，44：892－898.

［12］孔令偉，李雄威，郭愛國，等.脫濕速率影響下的膨脹土工程性狀與持水特征初探 ［J］.巖土工程學報，2009，31（3）：335－340.KONG Lingwei，LI Xiongwei，GUO Aiguo，et al.Preliminary study on engineering behaviors and water retention characteristics of expansive soil under influence of drying rate ［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2009，31（3）：335－340.

［13］譚波，鄭健龍，余文成.降雨條件下膨脹土路塹邊坡滲流分析［J］.中外公路，2009，29（2）：28－32.TAN Bo，ZHENG Jianlong，YU Wencheng.Seepage analysis of expansive soil cutting slope subjected to rainfall infiltration［J］.Journal of China and Foreign Highway，2009，29（2）：28－32.

［14］朱維申，何滿潮.復雜條件下圍巖穩定性與巖體動態施工力學［M］.北京：科學出版社，1995，128－144.

［15］譚曉慧，王建國，劉新榮，等.邊坡穩定的有限元可靠度計算及敏感性分析［J］.巖石力學與工程學報，2007，26（1）：115－122.TAN Xiaohui，WANG Jianguo，LIU Xinrong，et al.Finite element reliability computation and sensitivity analysis of slope stability［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007，26（1）：115－122.