靜力非線性方法用于橋梁高墩抗震性能分析

李正英，黨朋朋，李竟濤

（重慶大學a.土木工程學院；b.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶400030）

非線性靜力分析（Pushover）法是一種簡化的非線性地震反應評估方法，其基本原理是：在結構分析模型上施加按某種方式分布的側向荷載模擬地震作用下的側向分布力，并逐級按比例增大，直到結構達到預定的狀態（位移超限或位移達到目標位移），然后評估結構的性能。它提供了一種評估結構地震反應尤其是非線性地震反應的簡單而有效的方法，因此Pushover分析法為各國規范所接受，中國建筑結構抗震設計規范也引入了Pushover分析方法［1］。

Pushover分析方法中，側向荷載的分布模式直接影響分析結果，目前規范常用的側向荷載分布模式有均勻分布荷載、倒三角荷載、一階振型荷載等，已有研究結果表明采用上述水平側向力分布模式難以反映高階振型對結構地震反應的影 響［2－4］。Chopra等基于結構動力學多自由度體系解耦的思想提出了模態Pushover分析法（MPA）［5］。MPA 法采用基于振型的側向加載模式，將多自由度體系的反應等效為多個單自由度體系反應結果的組合，考慮了高階振型的影響，與傳統的Pushover方法相比精度有所提高。以上Pushover分析方法大多是針對建筑結構提出的，應用于橋梁結構的研究相對較少。由于橋梁結構的非規則性及其自身特殊性而與一般建筑結構有較大區別，因此有必要對Pushover方法在橋梁結構上的應用加以細致研究。而且對于橋梁中的高墩橋梁，由于墩高而使得高階振型的影響更明顯，因此MPA方法在高墩及高墩橋梁抗震性能評估中應用的有效性有待研究［6］。

筆者基于MPA法的基本思路，并引入振型有效高度［7］的概念，提出了改進的 MPA法（MMPA），通過計算各階振型的有效高度作為Pushover分析中的加載控制點，而傳統Pushover法是以結構頂點作為加載控制點。選取30、90m單墩作為研究對象，采用MMPA法、MPA法和FEMA建議的2種Pushover法進行非線性靜力分析，并將分析結果與非線性時程分析結果相比較，以對非線性靜力分析法用于橋梁高墩抗震性能評估的有效性進行研究。

1 MPA法及改進的MPA法

MPA采用基于振型的側向加載模式，考慮了高階振型的影響，與傳統的Pushover方法相比精度有所提高，其基本實施步驟如下：

1）計算結構彈性狀態下各振型的頻率ωn和振型向量φn；

2）對第n階模態，施加側向荷載s＊n＝mφn，（其中m為結構的質量矩陣）得到Pushover能力曲線（底部剪力頂部位移曲線Vbnurn）；

3）對第n階模態，將能力曲線簡化為雙折線，如圖1（a）所示；

4）對第n階模態，用公式（其中，M＊n為等效振型質量，φrn第n振型頂部振型值，為第n振型的振型參與系數）將簡化的能力曲線轉化為等效單自由度體系的Fsn／Ln－Dn關系曲線，如圖1（b）所示；

5）求解4）中等效單自由度體系的峰值位移響應Dn（可采用非彈性反應譜法或時程分析法）；

6）利用公式Urn＝ΓnφrnDn得到第n振型結構頂部峰值位移響應；

7）由Pushover分析結果得到第n振型的其它峰值反應量rn；

8）對前N階振型（一般考慮振型質量參與系數達到95%即可）重復步驟3）～7）得到相應振型的各反應量；

9）利用SRSS規則將各振型的相應反應量組合得到結構的總反應量。

圖1 第n振型等效單自由度體系能力曲線

在上述MPA方法計算步驟中，以結構頂點作為控制點，通過逐步增大側向荷載使結構的頂部位移達到預定的目標位移。由于高柔的橋墩在水平荷載作用下以彎曲型破壞為主，高階振型的影響較大，各振型均以結構頂點作為加載控制點，往往不能取得較好的分析效果。考慮到振型高度本質上反映的是各振型對結構總底部彎矩的貢獻，是以控制結構底部總彎矩為依據［7］，因此以各振型的等效振型高度作為加載控制點，可以更為精確的模擬地震反應的結果。

為此，在MPA法的基礎上進行改進，引入有效振型高度的概念：

其中HEi為有效振型高度，是具有長度的量綱；｛h｝＝｛h1，h2，…，hn｝為各節點高度向量。在改進 MPA 法中，以各振型有效振型高度處的節點作為控制點，逐步增大側向荷載使控制點的位移達到預定的目標位移。

為便于對比分析，另選取了FEMA－356建議2種類型的側向加載模式［8］，即基于基本振型的側向加載模式（1st）和均布側向加載模式（Uniform），與前述2種靜力非線性分析方法對比研究。

2 目標位移的確定

Pushover方法是通過對結構施加沿高度呈一定分布的水平單調遞增荷載來將結構推至某一預定的目標位移，來分析結構的薄弱部位及其它非線性狀態的反應，以判斷在未來可能地震作用下結構及構件的變形能力是否滿足設計及使用功能的要求。因此確定目標位移是基于性能的抗震設計的關鍵之一。目前，計算結構目標位移的方法主要有能力譜方法和對多自由度體系或等效單自由度體系的彈塑性時程分析方法。而對于模態Pushover分析方法，需要確定結構在各振型等效側向力作用下的目標位移，筆者基于彈塑性時程分析，采用文獻［9］中的方法求解目標位移。首先選取合適的地震波，計算結構的彈塑性位移反應，得到結構控制點的水平位移向量時程。然后根據式（2）～（3）求得結構第n階振型的目標位移：

其中，ujn為第n振型j節點（改進MPA方法中為有效振型高度處的控制節點）的目標位移，ujn（t）為結構j節點t時刻水平位移在第n振型上的分量，uj（t）為結構j節點在t時刻的水平位移向量。

為了排除目標位移不同帶來的計算誤差，FEMA－356建議的2種加載模式分析中，目標位移取上述方法求得的結構頂點處各階振型目標位移的SRSS組合。

3 計算模型

采用的計算模型為30m和90m2個單墩，分別作為中低墩和高墩的代表。墩底固結，墩身質量集中在相應節點上，與墩柱相鄰跨的上部結構質量M集中在墩頂處，其截面形式和基本參數見圖2。墩身采用彈塑性纖維梁柱單元模擬，其中混凝土纖維本構模型采用Kent－Park模型［10］，其應力 應變關系如圖3所示。鋼筋纖維采用雙直線模型。單元沿墩高的劃分情況為：30m墩單元長度為1m，90m墩單元長度為2m。由彈性分析求得的單墩基本動力參數及按等效振型高度確定的加載控制點位置見表1。

圖2 單墩模型及基本參數

表1 墩柱基本動力參數

表2 地震波記錄

續表2

圖3 Kent－Park混凝土應力 應變關系曲線

非線性動力時程分析共選用8條地震波，數據來源于美國太平洋地震工程研究中心（PEER）。為了保證結構進入屈服狀態，在進行彈塑性分析時30m墩地震動峰值加速度調整為0.5g，90m墩地震動峰值加速度調整為1.0g。圖4為將地震波峰值加速度（PGA）統一調整至0.5g時的加速度譜。

圖4 地震波反應譜及平均反應譜

Pushover分析及非線性時程分析過程基于OpenSees（Open System for Earthquake Engineering Simulation）［11］軟件平臺，并采用 Tcl／Tk腳本語言編程后處理。

4 結果分析

由于地震動的隨機性，單條波的對比分析并不能準確說明計算結果的優劣性，因此計算結果取為8條地震動作用下的平均值。考察結構的峰值位移響應、峰值節點間位移角響應及單元桿端峰值曲率響應。其中節點間位移角為相鄰兩節點的水平位移差與節點高度差的比值：

式中，uj、ui分別為節點j、i在地震作用下的水平位移，Hj、Hi是節點j，i的高度。

4.1 峰值位移響應評價

圖5為30m墩在0.1g、0.5g地震動作用下，90m墩在0.1g、1.0g地震動作用下時程分析和不同側向力加載模式Pushover分析所得節點峰值位移反應及誤差對比。其中30m墩在0.1g地震動作用下墩頂最大平均位移為3.7cm，結構處于彈性階段；0.5g時墩頂最大平均位移為15.8cm，處于彈塑性階段。90m墩在0.1g地震動作用下墩頂最大平均位移為3.7cm，結構處于彈性階段；1.0g時墩頂最大平均位移為44.1cm，處于彈塑性階段。圖中，DHA、1st、Uniform、MPA、MMPA分別代表動力時程推覆分析和基于基本振型的側向加載模式、均布側向加載模式的Pushover分析以及模態Pushover、改進的模態Pushover分析方法得到的結構反應。

由圖5可知，對30m墩而言，當地震動強度較小時，4種Pushover分析法的計算結果與時程分析法的誤差在3%以內，精度較高；相對地，在結構底部各節點處均布側向加載模式的計算誤差較大。MMPA法求得的30m墩頂部目標峰值位移誤差略大于其它3種Pushover法的計算結果，其原因在于30m墩墩身質量相比于墩頂質量較小，地震反應以一階振型為主，因而以頂點位移作為控制點的MPA方法或基于基本振型的側向加載模式已可得到較好的分析結果。而MMPA法第一振型的控制點位于28m高度處而非墩頂，由此會帶來一定的計算誤差，

此外，SRSS組合方式也可能是導致誤差過大的原因。可見，對于30m墩為代表的低墩，高階振型的影響并不明顯，因此在進行非線性靜力分析時可采用基于基本振型的側向加載模式的Pushover的分析方法即可。

對于90m墩，由于MPA法和MMPA法考慮了高階振型的影響，其計算結果明顯優于只考慮第一振型的1st加載模式和Uniform加載模式；當地震動強度較大時，由于高階振型作用下形成的塑性鉸位于結構的中上部［12］，分析過程中當加載控制點位于結構頂部時可能會因為結構的屈服而低估高階振型對結構反應的貢獻，此時MPA法的改善效果已不明顯（圖5（h）），而 MMPA法按照等效振型高度確定加載控制點，控制點的高度隨振型而改變，避免了因為結構屈服造成的低估高階振型貢獻的影響，因此MMPA法的計算結果較MPA法有較好的改進。

圖5 單墩節點位移分布

4.2 峰值節點間位移角響應評價

圖6為30m墩在0.1g、0.5g地震動作用下，90m墩在0.1g、1.0g地震動作用下時程分析和不同側向力加載模式下Pushover分析所得節點間位移角及誤差對比。

圖6 單墩節點間位移角分布

由圖6可知，節點間位移角誤差規律與位移反應的誤差規律基本一致。即，對于低墩，地震反應以一階振型為主，各種Pushover法的計算結果與時程分析較為接近；隨著墩高的增加，高階振型的貢獻的影響不能忽略，MPA法和MMPA法的計算結果明顯優于其它Pushover分析法，而當地震動強度較大時，MPA法低估了高階振型的影響，誤差較大。

4.3 單元桿端曲率響應評價

圖7（a）～（f）為3 0、9 0m 墩在不同地震動強度下截面曲率及誤差對比。對比圖5墩身節點位移和

圖7 單墩截面曲率分布

圖7的截面曲率分布，可發現對30m的低墩，截面曲率最大值一般位于墩低截面，而且墩頂最大位移與墩底最大曲率同步出現，二者之間一一對應，因此將考察的重點放在靠近底部的各截面處。而高墩由于高階振型的貢獻增加及墩身質量效應的影響，墩身曲率分布呈較為復雜的高次曲線，在墩身中部也可能出現曲率較大的情況（圖7（e）、（f）說明了這一點）。已有研究也表明［13］，高墩的墩頂最大位移與墩底最大曲率常常會不同步出現，位移大時損傷不一定嚴重，對于高墩而言截面曲率比位移有更能體現結構的性能。

由圖7（a）～（d）可知，除均布側向加載模式外，其它3種加載模式都能較為準確的模擬墩低截面處的曲率，其誤差在5%以內，這進一步證明了前述結論。圖7（e）～（h）為90m墩pushover分析和時程分析墩身截面曲率及其誤差對比，由圖可知，MPA法和MMPA法的計算結果明顯優于只考慮第一振型的一階加載模式和均布側向加載模式；當地震動強度較大時，MMPA法能較好地改善底部截面的曲率誤差。

5 結 論

基于MPA法的基本思路并引入振型有效高度的概念提出了改進的 MPA法（MMPA），以30、90 m單墩作為研究對象，采用MMPA法、MPA法和FEMA建議的2種Pushover法進行非線性靜力分析，以節點位移、節點間位移角、截面曲率作為分析指標，將分析結果與非線性時程推覆分析結果相比較。對4種Pushover分析法應用于橋梁高墩性能評估有效性做了對比分析，得出以下結論：

1）以30m墩為代表的低墩，其地震反應以一階振型為主，高階振型的影響不大，進行非線性靜力分析時，采用基于基本振型的側向加載模式的Pushover分析法和MPA法均可得到較好的計算結果。

2）以90m墩為代表的高墩，其地震反應受高階振型影響較大，只考慮第一振型的側向加載模式和均勻加載模式計算精度較差。而對于MPA法及MMPA法，當地震動強度較小時，MPA法和MMPA法可以較好的改善計算結果。隨著地震動強度的增大，結構非線性程度增加，MPA法的改進效果已不明顯，而MMPA法按照等效振型高度確定加載控制點，控制點的高度隨振型而改變，避免了因為結構屈服造成的低估高階振型貢獻的影響，因此MMPA法的計算精度稍好于MPA法。

3）對于高墩而言，由于高階振型的貢獻增加及墩身質量效應的影響，分析的3個指標中，截面曲率比位移更能體現結構的性能。

在強震作用下，盡管MMPA法相對于MPA法有較好的改進，但計算精度在降低，因此對于強震下的橋梁高墩抗震性能研究，宜采用動力非線性分析法。筆者反對單墩進行了研究，靜力非線性分析方法用于整橋模型的分析將是后續的研究重點。

［1］GB50011－2010建筑抗震設計規范［S］.北京：中國建筑工業出版社，2010.

［2］胡家志.淺談靜力彈塑性分析方法［J］.山西建筑，2010，36（20）：49－51.HU Jiazhi.Discussion on static elastic plastic analysis method［J］.Shanxi Architecture，2010，36（20）：49－51.

［3］高德志，徐曉龍，崔原豪.對靜力彈塑性分析的抗震性能評價方法的改善［J］.建筑結構，2009，39（s）：622－625.GAO Dezhi，XU Xiaolong，CHOI Wonho.Modified method for seismic performance evaluation to pushover analysis［J］.Building Structure，2009，39（S1）：622－625.

［4］宋懷金.考慮高階振型影響的改進的多模態推覆分析方法［J］.工程抗震與加固改造，2010，32（2）：25－30.SONG Huaijin.An improved multi－mode pushover analysis method considering the effects of high modes［J］.Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting，2010，32（2）：25－30.

［5］Chopra A K，Goel R K.A modal pushover analysis procedure to estimate seismic demands for buildings：theory and preliminary evaluation，CMS－9812531［R］.Berkeley：Pacific Earthquake Engineering Research Center，2001.

［6］魏標，李建中.非規則橋梁的模態推倒分析［J］.振動與沖擊，2011，30（2）：110－114.WEI Biao，LI Jianzhong.Modal pushover analysis of an irregular continuous bridge［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（2）：110－114.

［7］孫廣俊，李愛群.關于結構振型參與系數和振型貢獻的分析［J］.防災減災工程學報，2009，29（5）：485－490.SUN Guangjun，LI Aiqun.Analysis of mode participation factor and modal contribution of structures［J］.Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering，2009，29（5）：485－490.

［8］Building Seismic Safety Council（BSSC）.Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings，FEMA－356［R］.Washington D.C.：Federal Emergency Management Agency，2000.

［9］聞奇光.模態pushover的影響因素評估及改進方法研究［D］.重慶：重慶大學，2007.

［10］Kent D C，Park R.Flexural members with confined concrete［J］.Journal of the Structural Division，ASCE，1971，97（7）：1969－1990.

［11］Mazzoni S，McKenna F，Scott M H，et al.OpenSees command language manual［M］.Berkeley：University of California，2007.

［12］Goel R K，Chopra A K.Role of higher－“mode”pushover analyses in seismic analysis of buildings［J］.Earthquake spectra，2005.21（1）：1027－1041.

［13］梁智垚.非規則高墩橋梁抗震設計理論研究［D］.上海：同濟大學，2007.