樁承式路堤土拱效應三維分析

費 康，王軍軍，陳 毅

（1.揚州大學 巖土工程研究所，江蘇 揚州225127；2.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，南京210098）

樁承式路堤是指在地基中設置剛性樁或半剛性樁來支承路堤填土荷載，其具有施工速度快、沉降小、穩定性高等特點，近年來在工程中得到了廣泛應用［1－2］。

在路堤荷載作用下，地基土的沉降大于樁的沉降，使得路堤填土中出現剪應力，荷載向樁頂轉移，從而減小了作用在地基土表面的壓力，這種現象稱為“土拱效應”。樁承式路堤的設計思路在于經濟合理的布置樁體，盡可能發揮路堤填土中的土拱效應，減少地基土承擔的荷載。另一方面，如果在樁頂布置土工格柵等加筋材料，加筋材料的選擇取決于其所承擔的荷載。因而合理評價土拱效應對樁承式路堤的設計至關重要［3］。

Terzaghi［4］根據活板門試驗研究了平面土拱效應，其假設填土中的破壞面為通過活動門邊緣的豎直面，作用在地基土表面的荷載等于滑動體的重力減去邊界上的摩阻力。Russell等［5］、Sloan等［6］將Terzaghi平面土拱效應理論推廣到三維情況。Naughton［7］認為填土中的破壞面為通過樁邊緣的對數螺旋曲線，該對數螺旋曲線的中心點為樁間土體的形心，作用在地基表面上的荷載為破壞面下方土體的重力，結果只適用于二維。Hewlett等［8］（以下簡稱H－R方法）根據二維和三維的室內模型試驗，假設填土中存在支撐于樁頂的圓形土拱，以拱頂或拱腳土體單元的極限平衡條件為設計控制狀態。Zeaske等［9］根據模型槽試驗和數值分析，假設三維土拱為多個殼單元組成的系統，即所謂的“多拱模型”。

由于采用了不同的路堤填土破壞模式，各方法之間的計算結果差異較大，與實測數據也有所區別［10－11］。筆者首先根據模型槽試驗和有限元數值分析對樁承式路堤填土中的三維破壞模式進行分析，確定破壞面形狀；然后進行理論推導，得到三維土拱效應的簡化計算方法；最后與有限元計算結果和實測數據進行對比。

1 破壞模式的模型槽試驗研究

1.1 試驗概況

1.1.1 試驗材料 試驗在一長100cm、寬100cm、高150cm的鋼制模型槽中進行。為方便觀測，模型槽一側為鋼化玻璃。試驗用樁采用C20混凝土，截面為正方形，邊長a＝10cm，樁長L＝40cm，樁中心間距s＝50cm，為方便觀察樁頂土體變形，試驗為“半模試驗”，共使用了2根整樁和4根半樁，并將半樁與玻璃緊密貼合，具體布置方式見圖1。

為了使得樁和地基土之間產生足夠大的差異變形，充分發揮土拱效應，試驗中地基土采用泡沫模擬，厚度t＝40cm。根據室內側限壓縮試驗結果，在15%的應變范圍內，泡沫應力 應變近似為線性關系，壓縮模量為28.2kPa。

路堤填土采用標準石英砂模擬，砂土的比重ds為2.65，不均勻系數Cu為3.22，曲率系數Cc為1.17。填筑時的控制干密度ρd＝1.5g／cm3，相應密實度下由直剪試驗確定的摩擦角為27.3°。為減少模型槽側壁摩擦的影響，在砂土與玻璃壁之間涂抹凡士林，另外3邊鋪設塑料薄膜。由于樁的模量遠大于地基土，樁的變形很小，模型槽側壁摩擦對樁的性狀影響較小，因此試驗中未做額外的處理。

1.1.2 試驗方法及儀器布置 試驗中先將模擬軟土地基的泡沫就位，再將樁插入到預留的樁孔中，隨后進行砂土的填筑。填筑過程中以5cm為1層，分層填筑。每層填土之間鋪設薄層彩砂，并在玻璃外側繪制直線，通過比較變形前后的照片，可以直觀的觀察路段填土在不同填土高度下的變形模式。

為了評價填土中的土拱效應，試驗中在2根樁的樁頂各布置了一個土壓力盒（T1和T2），從樁間土的中心點往上以100mm為間距共布置了10個土壓力盒（T3到T12），儀器具體布置見圖1。

圖1 試驗模型的平面及立面圖

1.2 試驗結果分析

圖2 觀察到的破壞面

1.2.2 填土中的豎向應力分布 圖3給出了實測的豎向應力分布。圖中的深度是由填土表面向下起算的距離。結果表明，當填土高度較低時，豎向應力沿深度單一增加。當填土高度較高時，豎向應力分布曲線從上到下大致可以分為沿深度增加、減小、再增加3個階段。

豎向應力沿深度的分布實質上是破壞模式的體現，圖4將填土高度1.0m時的豎向應力分布理論值與實測值進行了比較。若認為破壞模式符合Terzaghi方法，在不考慮等沉面的情況下，計算得到的豎向應力應沿深度逐漸減小，且減小的速率越來越小，這與填土高度較小時的豎向應力分布特點相近。當填土高度較高時，考慮到樁頂某一高度以上的填土中沉降基本相等，該高度以上的填土中沒有剪應力，Terzaghi方法中將其作為超載考慮。這種情況下計算得到的豎向應力分布曲線大致可分為2段，在等沉面高度以上為自重應力分布，以下則隨深度逐漸減小。由此可見，無論是否考慮等沉面，Terzaghi方法的計算結果與試驗實測曲線的分布形態都有所區別。

圖3 不同填土高度時的豎向應力分布

圖4 豎向應力分布的理論計算值與實測值比較（H＝1.0m）

根據H－R方法，填土中應存在球形土穹，對正方形布置的方樁土穹的內半徑為外半徑為在土穹頂部外側以上的填土中豎向應力為自重應力線性分布；在土穹中，豎向應力減小；在土穹以下，豎向應力又開始增加。按照H－R的土拱效應理論，出現第2段曲線中的豎向應力的減小是因為填土中出現了土穹，豎向應力減小段的始點對應于土穹的外頂點，終點對應于土穹的內頂點。從試驗結果來看，反算的土穹內頂點的位置比H－R方法明顯的要低，H－R方法也存在一定的誤差。

值得注意的是，如果在Terzaghi方法中考慮圖2（b）所示的曲線滑動面，即考慮滑動體的寬度隨高程變化，得到的豎向應力分布形態能較好的模擬實測規律（圖5），這表明將破壞面看做局限在樁頂的泡狀曲面是合理的。

另外注意到，填土高度1.0m時實測地基頂面豎向應力為7.4kPa，約為填土自重應力的0.49。此時樁頂應力實測值為178.8kPa（T1）和145.9kPa（T2），若將樁頂應力取為T1和T2的平均值162.3 kPa，則樁和土共同承擔的荷載為13.6kN，與填土總荷載理論值15.0kN相差約9%，驗證了實測數據的可靠性。

圖5 Terzaghi折線滑動面法模擬的豎向應力分布

2 破壞模式的數值研究

2.1 有限元分析模型

2.1.1 幾何模型及邊界條件 計算中取一根樁及其控制范圍進行分析。考慮到對稱性，所采用分析模型的平面示意圖如圖6所示，圖中的OAB為1／4樁，ACDEB為樁間地基土的表面。

圖6 有限元分析模型示意圖

由于計算的重點是分析極限情況下的土拱效應，模型中可不包含樁體和地基土，差異沉降通過設置特定的邊界條件來實現。具體做法為：約束樁頂和樁間填土頂面3個方向的位移，約束分析模型四周的水平位移，對填土按自重應力分布設置初始應力狀態，即

式中：σz是豎向應力；σx和σy是2個水平的應力；γ是填土的重度；K0＝1－sinφ′是靜止土壓力系數；φ′是土體的有效摩擦角；z是從填土頂面起算的深度。

設置初始應力狀態之后，在后續分析步中放松面ACDEB的位移約束條件，直至破壞。這種做法相當于在不排水條件下進行路堤填筑，隨后地基土固結沉降，填土中出現了足夠大的差異變形，直至土拱效應完全發揮，模擬的是極限情況。

2.1.2 材料模型及計算方案 路堤填土采用莫爾庫侖理想彈塑性模型模擬，重度γ＝20kN／m3，彈性模量E＝20MPa，泊松比v＝0.3。為便于與簡化分析方法比較，取粘聚力c′＝0kPa，摩擦角φ′分別取20°、25°、30°、35°和40°，不考慮材料的剪脹角。計算中樁徑d＝0.5m，樁間距s分別取1.0、1.5、2.0和2.5m，對每一個樁間距，填土高度H分別取1.0、2.0、3.0、4.0、5.0和6.0m。

2.2 填土中的破壞面分析

填土中的破壞面通過等效塑性應變增量的分布來反映，等效塑性應變εeq定義為：

式中εp是塑性應變張量。

圖7給出了φ′＝30°、s＝2.5m時不同填土高度下的破壞面位置。清晰起見，圖中只給出對角線剖面（圖6中的OD）樁頂以上一倍樁凈間距內的結果。結果表明，填土高度與樁間距之比時，破壞面與Terzaghi方法中假設的豎直面基本相似，其破壞面近似沿著樁邊緣豎直面分布。而在的情況下，破壞面為樁頂的泡狀曲面。

從破壞面形態來看，填土高度越大，泡狀破壞面越扁，水平范圍也越大。其它樁間距的計算結果也表現出相似的特性時為過渡狀態。

圖7 破壞面的位置（φ′＝30°）

不同摩擦角下的計算結果也表現出相同的規律，以s＝2.5m，H＝6.0m為例（圖8），不同摩擦角下的破壞面都顯示出相同的特性，即破壞面局限在樁頂上部填土內，且可近似看成對數螺旋面；摩擦角越大，破壞面范圍也越大。

3 三維土拱效應簡化分析方法

圖8 不同摩擦角時破壞面的位置（s＝2.5m，H ＝6.0m）

根據模型試驗及有限元分析結果，樁承式路堤中填土的破壞模式可分為低路堤和高路堤破壞模式2種，當路堤填土較小時（），填土中的破壞面為通過樁邊緣的豎直面，可仍采用Terzaghi土拱效應理論分析分析。當路堤填土較高時≥1.5），填土中的破壞面局限在樁頂局部范圍內，可近似看成對數螺旋曲面，本章對高路堤破壞模式進行推導，進而得到相應的土拱效應分析方法。

3.1 破壞面形狀

建立如圖9所示的軸對稱坐標系，原點O為樁中心點，r軸水平向右，z軸豎直向上。OA為樁的半徑。假設破壞面ABCD是以O′為中心的對數螺

旋曲面，BE為通過O′點的豎直線，對數螺旋曲線上任一點D的切線方向與水平方向的夾角為δ，D點距O′點的距離R為R1exp［（ω－α1）tanφ］，R1是O′C的長度，α1、α2、α3和ω意義如圖所示。O′C的長度為R2＝R1exp［（α2＋α3）tanφ］。

圖9 破壞面形狀

3.2 方程推導

當O′點確定之后，D點的水平坐標為

α3由下式確定：

注意到R2與α3有關，α3可正可負。上式需迭代求解。進而可求得破壞區域的高度Hf。

極限情況下，樁頂承受的荷載Pp包括2部分，即破壞面包含的土體自重W、破壞面邊界上正應力σ和剪應力τ的合力在豎直方向的分量F。對于自重W有：

因而有

將式（4）和（8）代入式（7），考慮到

則有

式中：α4＝α1＋α2＋α3；α＝R1／eα1tanφ；β＝R2sinα3。

該積分可通過數值方法求得。

對于F，在活動面上取微分面積Rsecφdω·rdθ，θ是繞z軸旋轉的角度，則該微分面積上應力沿豎向的分量為

考慮到破壞面上達到極限應力狀態，即τ＝σtanφ代入上式有

根據Kotter’s方程，破壞面上有

式中?S是微分弧長。

其解答為

設在樁邊緣處土體的豎向應力為σs，土拱效應完全發揮時其為小主應力，豎向應力為Kpσs，Kp是土的被動土壓力系數，因而可得到破壞面上的剪應力τ＊＝（1 ＋Kp）σs×sinφ×cosφ，將其代入式（13）可 得C2＝e2α1tanφ［τ＊－C1eα1tanφ（3tanφsinα1－3cosα1）］，因而可根據下式求得合力F，

因而樁頂極限情況下承受的荷載為

3.3 求解方法

注意到在求解F時用到了樁間土表面的豎向荷載σs，其暫時未知，但與Pp應滿足平衡關系，需迭代求解。具體求解步驟如下：

1）假設破壞面中心點位置，即R1和α1。

2）假設未發生土拱效應，即樁間土承受的荷載為σs填土荷載γH。

3）根據式（15）求解樁頂荷載Pp。

4）驗算平衡條件是否滿足，即σs×As＋Pp＝γHS2，式中As是樁間土的表面面積。如果平衡條件不滿足，由計算σs后跳轉到第3步。

5）平衡條件滿足后計算應力折減系數

應力折減系數Sr在0～1之間，若Sr＝1，意味著作用在樁間土表面的荷載就等于填土荷載，沒有出現土拱效應。反之，若Sr＝0，所有的荷載都轉移到樁頂。

6）重復以上步驟，搜索確定最危險情況及最大的應力折減系數Sr。

4 簡化分析方法的驗證

4.1 與有限元計算結果的比較

圖10（a）給出了應力折減系數Sr與填土高度和樁凈間距之比的變化關系，圖中的反映了不同樁間距的影響。由圖可見，雖然簡化分析方法計算得到的應力折減系數略高于有限元計算結果，但整體變化規律是一致的。隨著增加Sr減小，但降低的速率逐漸放緩，填土高度較高后基本保持不變。而對不同m值，m值越小，Sr越大，地基土需要承擔更多的荷載，因而需要合理的設置樁間距及樁帽尺寸。同時也注意到，當時，m對S的影響不明r顯，這是因為此時路堤填土中的破壞模式主要是低填土路堤模式，土拱效應的程度只取決于破壞面上發揮的摩擦力，S主要與有關。

圖10（b）給出了s＝2.5m，H＝6m時應力折減系數Sr與摩擦角φ之間的關系。結果表明，有限元方法和該簡化方法得到的規律是一致的。隨著摩擦角的增加，Sr減小的很明顯，當φ＝20°時，簡化分析方法計算得到Sr＝0.84；當φ＝40°，Sr快速降低為0.25，更多的荷載通過土拱效應傳遞給樁。

圖10 應力折減系數的有限元和簡化方法計算結果的比較

4.2 與試驗結果的比較

將該方法計算得到的應力折減系數Sr與文獻中收集的試驗結果進行了比較。對比起見，表1中同時給出了該方法、H－R方法和Terzaghi方法的計算結果。需要指出，在應用Terzaghi方法進行計算時，存在2個不確定的因素，即豎直滑動面上的土壓力系數K及等沉面高度Hc的確定。計算中，按Russell和Pierpoint［5］的建議將K取為1.0，Hc取為1.4（s－d）。在應用該方法時，需將方樁按照面積相等的原則轉換為圓樁，即d＝1.13a。

計算結果表明，H－R方法低估了土拱效應的程度，計算得到的應力折減系數偏大，樁凈間距較大時偏差更為明顯。對于Terzaghi方法，計算結果的精確度取決于等沉面高度和破壞面上的土壓力系數的取值，這2點仍然存在不確定因素。整體上來看，對的路堤，由于采用了更合適的破壞模式，筆者提出的簡化分析方法計算結果最好。如對試驗1，實測的應力折減系數為0.49，該方法計算值為0.55，在所有方法的計算結果中最為接近。若考慮樁頂荷載，試驗1中的樁頂應力實測值（T1和T2的平均值）為162.3kPa，對應的極限荷載為1.623 kN，與由該方法式（15）計算得到的1.792kN相差約9.4%，吻合度也較好。這是因為應力折減系數Sr反映的是樁間土體分擔荷載的情況，Sr相同意味著土體承擔的荷載相同，也就意味著樁承擔的荷載也相同。

表1 應力折減系數的計算值與試驗結果的對比

另外，也需要指出，該方法求解的是極限情況下的土拱效應。因而對試驗7～9，該方法的計算結果明顯偏小。這是因為試驗7～9是現場測試數據，地基土有一定的支撐作用，樁和樁間土的差異沉降未能使得土拱效應完全發生。而試驗1、試驗2～4中地基土采用泡沫模擬，試驗5～6地基土采用軟弱粘土，試驗10～11中采用了類似活動門試驗的做法，地基土表面可任意沉降。在這些試驗中樁和樁間土之間都產生了足夠的差異沉降，填土達到了極限情況。

5 結 論

1）三維試驗和有限元分析結果表明，樁承式路堤的破壞模式取決于路堤填土的高度，填土高度小于樁凈間距時，破壞面從樁邊緣向上豎直延伸至填土表面；隨著填土高度的增加，破壞面逐漸演變為局限在樁頂的泡狀曲面。

2）根據試驗和有限元分析結果所假設的高路堤破壞模式，建立了土拱效應三維分析方法，并與有限元數值分析和試驗結果進行了對比，結果吻合較好，驗證了破壞模式和分析方法的可靠性。

3）所提出的三維簡化分析方法適用于求解土拱效應完全發揮時的應力折減系數，未達到極限狀態時樁、土之間的荷載分擔需進一步研究。

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