基于擬歐拉角描述的上面級姿態控制律設計

夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統工程研究所,上海 201108

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基于擬歐拉角描述的上面級姿態控制律設計

夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統工程研究所,上海 201108

上面級在多星部署過程中將涉及大角度姿態機動問題，衛星釋放所引起的質心橫移將給上面級姿態控制帶來困難。根據系統質心的橫移情況，在上面級體坐標系中確定矢量噴管的平衡位置，進而確定出矢量噴管指向指令方向時的上面級姿態。調制姿態四元數可以得到描述上面級姿態偏差的擬歐拉角及相應的擬歐拉角速度，在擬歐拉角描述的上面級姿態運動模型的基礎上，選擇合適的滑模面，構造變結構控制律。仿真結果表明，該控制律可對上面級姿態進行控制，進而實現對矢量噴管指向的間接控制，噴管擺角的限幅不會影響姿態控制的過程。

姿態控制; 擬歐拉角; 推力矢量控制; 變結構控制

運載火箭上面級負責將所攜帶的載荷送入預定軌道。在執行多星部署任務過程中，上面級需在軌運行相當長的時間，其姿態將在大范圍內變動。三元姿態參數(如歐拉角，Rodrigures參數，修正的Rodrigures參數等)所描述的姿態運動方程存在奇異性，因此基于三元姿態描述參數的姿態運動模型不適于描述上面級的姿態運動。另外，上面級并排布局的載荷的釋放將引起系統質心的橫移，此時軸向變軌推力必將嚴重影響上面級姿態。

基于姿態四元數的姿態運動方程可以避免歐拉角姿態運動學方程中的奇異現象，且四元數姿態描述具有計算量小、速度快、運動模型簡單的優點，因而在處理大角度姿態機動的場景中得到了廣泛應用。但姿態四元數的物理意義不明確，且因計算機字長所限，四元數的模在長時間計算之后將不再為1，相應的坐標變換矩陣也將失去正交性，而這將引起姿態偏差。Sheppherd[2]、Markley[3]等人研究了從失去正交性的坐標變換矩陣中提取單位四元數并重構正交矩陣的方法。另外，在反饋控制過程中，姿態四元數的符號二義性還將引起反饋控制過程中不必要的unwinding現象[1]。將姿態四元數進行調制可以獲得描述飛行器姿態偏差的姿態擬歐拉角參數[4-8]，基于擬歐拉角的姿態運動模型繼承了四元數姿態運動模型的非奇異性；由于控制力矩為目標姿態四元數與擬歐拉角參數的函數，因此可以回避四元數的符號二義性，即可避免unwinding現象。在姿態控制過程中，擬歐拉角參數的3個分量分別描述3個控制通道的狀態，并由控制力矩的3個分量分別控制。三通道間的耦合項隨著上面級姿態向目標姿態的趨近而逐漸減小；在到達目標姿態時，擬歐拉角及擬歐拉角速度都將為0。

推力矢量控制(TVC, Thrust Vector Control)能迅速響應姿態控制指令。但若系統質心因載荷釋放而發生了較明顯的橫移，位于平衡位置時的矢量噴管指向與上面級體軸間存在預置偏角[9]并指向系統質心。據矢量噴管平衡位置相對于上面級的位置可確定出上面級需求姿態，采用TVC技術將上面級姿態控制到該需求姿態即可保證推力沿指令方向。在設計矢量噴管擺角時需要對其變化規律進行預測，故可采用變結構控制律或PD控制律來設計矢量噴管擺角的變化率。本文即是以TVC加滾控發動機作為姿控執行機構，基于擬歐拉角參數來設計上面級變結構姿態控制律的。

1 四元數及姿態運動的四元數描述

假設坐標系繞空間矢量E旋轉了α角，則定義旋轉過程所對應的四元數[10]為:

q0+q1i+q2j+q3k=q0+q

(1)

這里，Ex，Ey和Ez為矢量E的分量，q0，q1，q2和q3為任意實數，q0和q=q1i+q2j+q3k分別為四元數的標部和矢部。q的共軛四元數q*為:

(2)

將四元數p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k寫成向量形式，即為：p=[p0p1p2p3]T，q=[q0q1q2q3]T，此時有:

(3)

這里，“·”表示四元數乘法。

由于3個獨立參數即可描述上面級姿態，因此四元數的4個分量并不完全獨立，通常會將姿態四元數選為單位四元數。

設θ，ψ和γ為3-2-1旋轉下的姿態描述，3次旋轉軸E分別為Z，Y和X3個坐標軸，應用式即可得到3次旋轉所對應的旋轉四元數

(4)

運用式(3)并化簡，則可得彈體姿態所對應的姿態四元數q，即：

(5)

姿態四元數描述的上面級姿態運動學方程[10～11]為：

(6)

其中，q=[q0,q1,q2,q3]T，ω=[ωx,ωy,ωz]T，并有：

(7)

易有：GT(q)G(q)=I3(I3為3×3單位矩陣)。

2 期望姿態四元數的確定

設上面級因載荷釋放而發生了質心橫移，顯然，軸向變軌推力將對偏航和俯仰通道的控制帶來較大影響。設系統質心C在坐標系OXYZ(見圖1)中的坐標為[xC,yC,zC]，則C指向變軌推力作用點O的矢徑為：

(8)

這里，L為點C到點O的距離，θ20為矢徑r與平面XOZ的夾角，θ10為矢徑r在平面XOZ上的投影與OX軸的夾角。顯然有：

(9)

圖1 上面級質心橫移示意圖

θ10和θ20決定著矢徑r在坐標系OXYZ中的指向。由于上面級質心橫移主要是因載荷分離所引起的，故在變軌推進過程中可認為此二角不發生改變(事實上，若此二角因質心位置變化而發生了輕微改變，可視其所引起的附加力矩為干擾力矩，并采用具有較好魯棒性的控制律，如變結構控制律進行抑制處理)。

若θ10和θ20不全為0，即系統質心出現了橫移，則軸向變軌推力將顯著影響上面級的姿態。旋轉矢量噴管使變軌推力線通過系統質心，可以消除推力對姿態的影響，但此時上面級的姿態將無法保證推進方向即為指令制導方向。由于姿控機構的控制對象為上面級姿態而非變軌推進方向，故此時需由上面級的指令制導方向qZD、質心位置確定出其需求姿態qf。

設上面級姿態四元數為q，矢量噴管相對于彈體的2個旋轉角分別為θ10和θ20，則矢量噴管所對應的姿態四元數qG滿足：

(10)

式(10)中，QQ為合成旋轉四元數，其共軛四元數為QQ*。由式(1)可得：

(11)

根據式(10)和式(3)可知，由噴管姿態可反求得上面級姿態：

(12)

對心過程完成后，姿控系統須將矢量噴管的姿態由qG控制到qZD，此時上面級的需求姿態qf應為：

(13)

3 上面級姿態運動模型

上面級姿態動力學方程可寫為：

(14)

上式中，ω=[ωxωyωz]T為上面級相對于慣性空間的轉動角速度，MC為控制力矩，II為上面級轉動慣量。在采用歐拉角描述上面級姿態時，由于歐拉角的次遞性，三通道間存在耦合。三通道間的強烈耦合將給姿態控制律的設計帶來困難，因此在設計姿態控制律時應盡可能地去除這種耦合影響。姿態四元數對應的只是1次空間旋轉，擬歐拉角參數繼承了這個特點。由于擬歐拉角3個分量對應于3個控制通道，并分別由控制力矩的3個分量所控，因此可認為基于擬歐拉角的姿態運動模型的3個通道是解耦的。

根據當前姿態四元數q和需求姿態四元數qf，并引入式(6)，構造上面級的姿態擬歐拉角及擬歐拉角速度，即：

σ=2GT(qf)q

(15)

對擬歐拉角速度求導，有：

(16)

經過簡單的數學運算可有：

(17)

這里，ω為角速度的模。此時有：

(18)

式(18)即為上面級的姿態運動模型。

4 變結構姿態控制律設計

在擬歐拉角參數所確定的相平面上取開關面(為超平面)為s=σ+υ，對其求導，并代入式(18)，則有：

(19)

為加快相軌跡向開關面趨近的速度，這里取指數趨近律，即，

(20)

則有：

(21)

可解得：

(22)

MC為變結構控制律所確定出來的需求控制力矩。由式(15)可知，目標姿態四元數分別取為qf和-qf時，所對應的擬歐拉角參數符號相反；但又由式(22)可知，MC表達式中有關擬歐拉角參數的項前面又乘了一個GT(qf)，因此MC的取值與目標姿態四元數取qf或-qf無關。

(23)

即，所設計的變結構控制律可保證系統漸近穩定。

推力矢量方向在上面級體坐標系中可由推力偏角θ1和推力仰角θ2(如圖2所示)共同決定，寫成分量形式為：

(24)

若θ1和θ2不完全與θ10和θ20相等，則由式(8)和式(24)可以確定出推力矢量所形成的控制力矩：

(25)

圖2 推力矢量及滾控噴管在參考坐標系中的描述

式(25)中，rx，ry，rz分別為矢量r在x，y，z軸上的分量，并對應于式(8)。

對比式(22)中MC的后2項和式(25)中MThrust的后2項，可以確定出產生變結構控制要求的控制力矩所對應的推力偏角θ1與推力仰角θ2。此時推力矢量對滾轉通道的干擾即MThrust的第一項MTx也將得以確定。隨著控制進程的推進，系統的姿態將不斷向目標姿態趨近，角速度及擬歐拉角參數也將趨近于0，式(22)所確定的需求控制力矩也將不斷減小，相應地，變軌發動機矢量噴管擺角相對于其平衡位置的擺動幅值也不斷減小。但控制開始時刻所需的控制力矩可能較大，進而可能造成矢量噴管的需求擺動角過大，而過大的擺角可能會引起過大的推力損失。為保證變軌推力不因姿控過程而產生較大的推力損失，這里可對姿控過程中矢量噴管的推力偏角和推力仰角進行限幅，如設定

(26)

這里，θm為相應擺角的變化幅值。

滾轉通道主要由安裝在YOZ平面上、提供側向力的4個滾控發動機來控制(見圖2)，其中，1#和3#發動機提供正向控制作用，2#和4#發動機提供反向控制作用。由于滾轉通道由這兩對控制作用相反的姿控發動機來控，則滾控發動機所應提供的控制力矩Mr為：

(27)

由于滾控發動機所提供的正向或反向的控制力矩是定額的，因此滾控發動機可采用PWPF策略來提供時變的控制力矩。任一時刻，滾控發動機所提供的控制力矩為：

Mx=Mesgn(Mr)=Tdsgn(Mr)

(28)

這里，Me為滾控發動機所提供的滾控力矩的大小，T為滾控發動機推力，d為上面級直徑。

5 仿真

上面級初始參數，包括上面級直徑，初始姿態，質心坐標，滾控發動機推力，變軌發動機推力等，由表1給出。這里上面級存在有較大的質心橫移，而矢量噴管的平衡位置為θ10=-26.565°及θ20=-53.301°，即只有當矢量噴管偏轉θ10和θ20時，變軌推力對姿態的影響方為0。

表1 初始參數

式(20)中的參數k取為1，ε分別取為0.01和0.000001，則在不限矢量噴管擺角幅值的情況下，其擺角變化曲線見圖3，易有：ε越大，姿態控制的時間就越短，但控制末端矢量噴管需做較大振幅的高頻顫振；相反，ε越小，控制末端矢量噴管的擺動情況越平滑，但姿控時間卻越長。若ε足夠小，則姿控過程即與PD控制的臨界阻尼控制過程[5]相重合。

圖3 推力曲線

為避免矢量噴管的搖擺造成變軌推力的過大損失，這里按式(26)對其擺角進行限幅。取θm為5°，則相應的推力擺角變化規律，以及姿控過程相關參數的變化曲線均如圖4所示。

圖4 仿真結果

對比圖3和圖4(a)可知，采取擺角限幅之后，矢量噴管的初始擺角無須過大，而其變化的“波峰”明顯升高，其趨近于平衡位置的時間稍有滯后，但最終依然能夠趨于其平衡位置，且整個姿控時間并無明顯變化。圖4(a)顯示，對矢量噴管擺角進行限幅取得了較好的效果，若要保證初始擺角與矢量噴管的平衡位置角(即θ10與θ20)一致，可將限幅值θm取為時變參數，將其由0°平緩過渡到5°。

由圖4(b)可知，在姿控終了時刻，矢量噴管的指向即為指令制導方向。在姿控過程中，由于只約束了噴管相對于上面級的偏航與搖擺，而無約束其相對滾轉角，因此在將矢量噴管指向控制到指令方向上時，上面級的滾轉角不為0，如圖4(c)所示，不過這并不影響上面級的控制，只需在變軌后對上面級進行適當的滾控即可消除其滾轉角的偏差，當然，在由指令制導方向確定噴管目標姿態時加入滾轉角的偏差信息也可以保證上面級的滾轉角為0。

由圖4(d)易見，隨著控制過程的推進，上面級姿態擬歐拉角將逐漸向0趨近，擬歐拉角速度則既服務于擬歐拉角的減小，又不斷向0趨近，其變化趨勢基本與上面級角速度的變化趨勢(見圖4(e))相一致。另外，擬歐拉角速度及角速度的滾轉分量的變化曲線因PWPF技術的應用而出現了折線變化。

6 結論

1)將上面級姿態四元數進行調制，得到一組描述上面級姿態偏差的擬歐拉角，基于擬歐拉角描述的上面級姿態運動方程具有物理意義明確、無奇異、末端值為坐標原點等優點；

2)對于出現質心橫移的情形，本文首先確定出矢量噴管的平衡位置，并基于該平衡位置相對于上面級體坐標系的位置關系，確定出將噴管指向控制到指令方向上時上面級所對應的姿態，使得質心橫移飛行器的姿態控制可按普通的姿態控制律進行設計；

3)設計了用于控制上面級姿態的變結構姿態控制律，進而間接地控制了變軌推進方向，以保證其可對指令方向進行快速、準確的跟蹤；

4)為保證姿態過程不過大損失變軌推力，可對矢量噴管的擺角進行限幅，限幅不會明顯影響上面級的姿控過程。

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The Attitude Control Law Design Based on Qausi-Euler-Angle Scheme in the Upper Stage

XIA Xiwang LIU Hanbing DU Han

Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201108, China

Thelarge-anglemaneuverproblemisconcernedintheprocessofmulti-satellitedeployment.Thecentroidoffsetduringthedeploymentcanbringdifficultiestothecontrollawdesign.Withthecorrespondingknowledgeoftheoffsetofthecenterofmass,theequilibriumpositionofthevectoringnozzlecanbedeterminedandthecorrespondingattitudeoftheupperstagewiththenozzlepointsalongthecommanddirectioncanbedeterminedaswell.ThequasiEuleranglevectorandquasiEulerangularvelocityvectorareyieldedbymodulatingattitudequaternion,whichdescribethedifferenceandtherateofthecurrentandthedesiredattitudes.Basedonthequasi-Euler-angles-basedattitudemotionmodelinupperstage,whenaproperslidingmodesurfaceisspecified,avariablestructurecontrolschemeisproposed.Thesimulationresultsshowthattheattitudeoftheupperstageandfurtherthepointingofthevectoringnozzlecanbeperfectlycontrolledbyusingtheproposedcontrolscheme.Inaddition,theattitudecontrolprocesscannotbesignificantlyinfluencedunderthedefinitionoftheboundsofthedeflectedangles.

Attitudecontrol;Quasi-Euler-angles;Thrustvectorcontrol;Variablestructurecontrol

2011-11-23

夏喜旺(1978-)，男，河南鄢陵人，博士，工程師，主要研究方向為飛行器動力學與控制；劉漢兵(1967-)，男，江蘇南通人，碩士，研究員，主要研究方向為航天器總體設計，動力學與控制；杜 涵(1984-)，女，山東榮成人，碩士，助理工程師，主要研究方向為空間飛行器結構設計及復合材料設計。

V448.22

A

1006-3242(2012)03-0045-06