拓撲空間中幾類緊性的非標準研究

陳東立，魯 莉

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710055)

1 預(yù)備知識

定義1.1［2－3］設(shè)X是一個集合，對任意的x∈X，μ(x)為點x的單子.

定義集合X上的拓撲為T={A?X:對任意的x∈A，μ(x)?*A}∪{?}，T為開集.

定義1.2 設(shè)A是(X，T)的子集，若對于任意的x∈X，μ(x)∩*A≠?，都有x∈A，則稱集合A是閉集.

定義1.3 設(shè)(X，T)是拓樸空間，若對于任意的x，y∈X，x≠y，有μ(x)∩μ(y)=?，則稱T是Hausdorff的.

定義1.4 設(shè)(X，T)是拓樸空間，若對于任意的閉集A?X，及x?A，有μ(x)∩μ(A)=?，則稱T是正則的.

定義1.5 設(shè)(X，T)是拓樸空間，若對于任意的閉集A，B?X，有μ(A)∩μ(B)=?，則稱T是正規(guī)的.

2 幾類緊性的刻畫及其相關(guān)理論

定義2.1 設(shè)A是X子集，若對?y∈*A，?x∈A，使得y∈μ(x)，則稱A是X的緊子集.

定理2.1［4］設(shè)(X，T)是拓樸空間，那么A是X的緊子集，當(dāng)且僅當(dāng)A的任意開覆蓋有有限子覆蓋.

定理2.2 設(shè)A是拓撲空間(X，T)的子集，若A是緊的，則對所有的a∈*A有A∩stt(a)≠?.

證明:因為A是緊的，所以對?a∈*A，?x∈A，使得a∈μt(x)，而stt(a)={x∈A|a∈μt(x)}顯然x∈μt(a)，所以A∩stt(a)≠?.

定理2.3 設(shè)A是拓撲空間(X，T)的子集，則若對所有的a∈*A有A∩stt(a)≠?，則μ1(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

證明:對任意的a∈*A有A∩stt(a)≠?，一定存在x∈A∩stt(a)，使a∈μt(x)，所以有μt(a)∈μt(x)，則∪{μt(a)∶a∈*A}?∪{μt(x)∶x∈A}.又μt(A)=∪{μt(a)∶a∈A}，所以μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

定理2.4 若拓撲空間(X，T)是緊的，且A是X的閉子集，則A是緊的.

引理2.1 拓樸空間(X，T)是T2的，A為X的緊子集，若x∈X－A，則μ(x)∩*A=?.

證明:假設(shè)μ(x)∩*A≠?，則存在z，使z∈μ(x)∩*A，z∈*A，存在c∈A，使z∈μ(c)，因為X是T2的，x∈X－A，而c∈A，因此μ(x)∩μ(c)=?，這與z∈μ(x)∩μ(c)矛盾，所以μ(x)∩*A=?.

定理2.5［5］T空間的每個緊子集都是閉的.2

定理2.6 緊的T2空間是正則的.

證明:A為X的緊子集，由定理(2.5)知，A為閉的，因為拓撲空間(X，T)是T2的，對任意的x∈A，y?A，有μ(x)∩μ(y)=?，又因為A是閉的，所以A是緊的，從而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，所以μt(A)∩μt(x)=?，因此緊的T2空間是正則的.

定理2.7 緊的T2空間是正規(guī)的.

證明:A，B為X的緊子集，由定理(2.5)知，A，B為閉的，因為拓撲空間(X，T)是T2的，對任意的x∈A，y∈B，有μ(x)∩μ(y)=?，又因為A，B是閉的，所以A，B是緊的，從而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，μt(B)=∪{μt(x)∶x∈B}，所以μt(A)∩μt(B)=?，因此緊的T2空間是正規(guī)的.

定理2.8 如果對每一個i∈J，Xi是緊的，則也是緊的.

定義2.2 設(shè)(X，T)是拓撲空間，A是X的子集，若ˉA是緊的，則稱A是相對緊的.

定義2.3 點x屬于集合A?X的閉包，當(dāng)且僅當(dāng)存在p∈*A，使得p∈μ(x).

定理2.9 若ˉA?K，K是緊的，則A是相對緊的.

證明 對?x∈ˉA?K，?y∈*ˉA?*K，使得y∈μ(x)，K是緊的，所以對上述任意y∈*ˉA?*K，?z∈ˉA∈K，使得y∈μ(z)，所以ˉA是緊的，A是相對緊的.

定理2.10 A是相對緊的當(dāng)且僅當(dāng)*A?nst(*X).

證明:A是相對緊的，所以ˉA是緊的，?y∈*A?*ˉA，存在x∈ˉA，使y∈μ(x)，y∈nst(*X)，所以*A?nst(*X)，命題得證.

定義2.4 x是集合A的聚點，當(dāng)且僅當(dāng)存在p∈*A－{x}，使得p∈μ(x).

定理2.11 正則空間中緊集的閉包是緊集.

證明:即需證明:正則空間中，A是緊的，則A是相對緊的.我們知道，ˉA=A∪d(A)，若x∈A∈ˉA，則因為A是緊的，對?y∈*A?*ˉA，?x∈A?ˉA，使得y∈μ(x)，若x∈d(A)∈ˉA，則存在p∈*A－{x}，使p∈μ(x)，所以ˉA是緊的.

定理2.12 如果對每一個i∈J，Xi是相對緊的，則也是相對緊的.

定義2.5 拓撲空間為局部緊當(dāng)且僅當(dāng)他的每一點至少有一個緊鄰域.

定義2.6 如果對于緊集K，有A?K，則稱A?G是有界的.

定義2.7 設(shè)B是G的所有有界子集族，q∈X，Oq={G∈T|p∈G}為q的開鄰域系.

定理2.13 如果B∩Oq≠?，則稱G是局部緊的.

證明 因為B∩Oq≠?，所以設(shè)E∈B∩Oq即e∈E，且E為開集，E∈B，E為有界的，則存在K是緊的，使E?K，使對任意的y∈*E?*K，存在x∈K，使y∈μ(x)，E為開集，x∈E，則E是緊的.則對每一個點q有一個緊領(lǐng)域E.

定理2.14 設(shè)(X，T)是拓撲空間，如果X是緊的，則它是局部緊的.

定義2.8 設(shè)(X，T)是拓撲空間，由X的緊子集的補集生成的慮子稱為X的緊Frechet慮子，記作Fc(x).

命題2.1 對于任意X的緊子集C，F(xiàn)c的單子滿足μ(Fc)∩*C=?.

定義2.9 如果X的緊子集C使得a∈*C，則稱近標準點a∈nst(*X)是緊的.

定理2.15 一個拓撲空間是局部緊的，當(dāng)且僅當(dāng)每個近標準點是緊的.

證明

“?” 若a是近標準點，則a∈nst(*X)，對任意的x∈stt(a)，有a∈μt(x)，因為X局部緊的，則至少有一個緊鄰域V?X使得a∈μt(x)?*V是近標準的.

“?” 設(shè)每個近標準點是緊的，則μ(Fc)∩ns1(*x)=?，對任意標準點x，μ(Fc)∩μt(x)=?，則對任意的x∈X存在領(lǐng)域V，E?Fc使得V∩E=?，X－E是x的一個緊領(lǐng)域.

［1］Robinson A.Nonstandard analysis［M］.Amsterdam:North－h(huán)olland，1963.

［2］Davism.Applied nonstandard analysis［M］.New York:wiley，1977.

［3］Luxem BurgWaja.General theory ofmonads［M］.New York:Halt，1969.

［4］陳東立.拓撲的非標準定義［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報，2006，36(3):348－350.

［5］翟美娟.緊性的非標準定義及其性質(zhì)［J］.紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報，2009，22(3):276－278.