用改良單反饋法實現損耗型變形耦合發電機系統的混沌控制

孫娜燕，郝建紅

（華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206）

用改良單反饋法實現損耗型變形耦合發電機系統的混沌控制

孫娜燕，郝建紅

（華北電力大學電氣與電子工程學院，北京102206）

采用常規線性反饋法對一個考慮機械阻尼損耗的耦合發電機系統實施混沌控制，從操作性強、利于實現和降低控制功率等方面考慮，提出一種改良線性反饋法.即僅當運動軌道接近控制目標時才實施控制，最大限度地維持系統動力學特性不變.此方法具有滑模控制作用，可以調整極限環半徑等系統性態.基于Lyapunov指數和Routh－Hurwitz判據，討論受控系統的混沌軌道達到不穩平衡點或極限環的條件，給出理論上的證明.最后，通過數值模擬驗證方法的有效性.

機械阻尼損耗；耦合發電機系統；線性反饋法；混沌控制

自1990年著名的OGY（E.Ott，C.Grelogi，J.A.Yorke）混沌控制法［1］被提出之后，人們相繼提出了很多混沌控制方法［2－4］.反饋控制法是其中一種極易實現的有效方法［5］，它的核心是目標軌道的局域穩定性問題，以原系統的固有狀態為控制的目標狀態，可以保留系統原有的動力學性質.耦合發電機系統是從工程實踐中抽象提煉出的一種非線性系統模型，其混沌動力學和控制行為的研究對機電工程的實際運用具有重要的指導意義，已有不少工作對其進行了綜合性研究［6－8］.然而，以往的工作都不考慮機械阻尼損耗，但實際工程中，尤其隨著高性能電機技術的發展，電機運行速度越來越高，機械阻尼損耗對電機系統的影響也變得明顯.本文利用線性反饋法將損耗型耦合發電機系統鎮定到不穩平衡點和極限環上，并在此基礎上提出一種改良單反饋法控制混沌系統.

1 損耗型變形耦合發電機系統

損耗型耦合發電機系統的混沌數學模型為

式（1）中：α，μ和ε均為系統的控制參數，μ和ε分別表征電機的電流損耗和機械阻尼損耗.

選取系統參數α＝3，μ＝2，ε＝0.75，初始條件為（1，－1，2）時，系統（1）的相軌跡圖如圖1所示.圖2是圖1在x－y平面上的投影.系統（1）的散度為

上式中：F＝（F1，F2，F3）＝（－μx＋y（z＋α），－μy＋x（z－α），εz－xy）.

系統（1）有5個平衡點，即

圖1 系統混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the system

圖2 吸引子在x－y平面上的投影Fig.2 Projection of the attractor on the plane x－y

其中：β1＝設其中一個平衡點的坐標為Si（xi，yi，zi），則系統在該平衡點處的Jacobian矩陣為

特征方程為

且有

由特征方程可求得系統在平衡點J（S0）的特征根為λ1＝－2＋3i，λ2＝－2－3i，λ3＝0.75，則S0存在一個實部為正的特征根，因而S0是不穩定的鞍點.對于平衡點S1，由系統特征方程可求得其特征根為λ1＝－4.000 0，λ2＝0.375＋3.099 9i，λ3＝0.375－3.099 9i，S1存在正實部，所以S1是不穩定點.同理，可證明平衡點S2，S3，S4也是不穩定的.

2 改良線性反饋法對系統進行混沌控制

線性反饋是一種簡單易行的控制方法，現用單反饋和雙反饋對損耗型變形耦合發電機系統進行混沌控制，系統變為

1）當利用單反饋法時，控制器設為

將式（3）代入式（2），可得到受控系統為

2）當利用雙反饋法時，將電流量作為控制量，控制器設為

將式（5）代入式（2），可得到受控系統為

式（6）中：（xi，yi，zi）是系統（1）的不穩定平衡點，k1，k2和k3是正反饋增益.受控系統（4）在平衡點Si處的Jacobian矩陣為

特征方程為

且有

根據Routh－Hurwitz準則，當b＞0，c＞0，bc＞d時，系統（4）的所有特征根均有負實部［9］，系統（1）不再做混沌運動，而將收斂到原來不穩平衡點Si.當b＞0，c＞0，bc＝d時，系統（4）的特征根中有一個負實數和一對共軛虛數，此時系統將收斂到圍繞點Si的極限環.

當系統參數為α＝3，μ＝2，ε＝0.75，初始值為x（0）＝1，y（0）＝－1，z（0）＝2時，利用單反饋法將系統鎮定到平衡點和極限環的情況，如圖3所示.圖3中：正反饋增益分別為k1＝1，k2＝1，k3＝1和k1＝2.6，k2＝k3＝0.

圖3 利用單反饋法將系統鎮定到不穩平衡點S1和圍繞S1的極限環Fig.3 Stabilization of unstable saddle point S1and the limit cycle around S1by single－feedback

同理，可分析利用雙反饋法將系統（1）鎮定到不穩定平衡點和極限環的條件.即

圖4 利用雙反饋穩定系統（1）到平衡點S1上時穩定區與不穩定區的分布Fig.4 Distribution of stable region and unstable region when stabilize the system（1）to stable point S1by dual－feedback

利用雙反饋法將系統鎮定到不穩定平衡點時，穩定區域與不穩定區域由控制增益確定.例如：將S1（2.988 5，0.904 85，3.605 55）代入式（10）進行求解，根據Routh－Hurwitz準則，計算可得k1和k2確定的穩定和不穩定區域，如圖4所示.

同理，可討論平衡點S0，S2，S3和S4的穩定區域分布.

若點（k1，k2）取自圖4分界線上的值，則系統（1）的運動軌道將趨于圍繞點S1的極限環.當系統參數為α＝3，μ＝2，ε＝0.75，初始值為x（0）＝1，y（0）＝－1，z（0）＝2時，利用雙反饋法將系統鎮定到平衡點和極限環的情況，如圖5所示.圖5中：正反饋增益分別為k1＝3，k2＝30和k1＝3.718，k2＝4.

控制方法的選取應該以工程實現為目的，將操作性強的可控量作為控制變量，控制方法越簡單易行，工程實踐性就越強.基于上述考慮，對線性反饋法進行改良.耦合發電機處于混沌態時，由于混沌系統具有遍歷性，使得系統在相空間的狀態可以任意靠近（或遠離）失穩的平衡點.一旦靠近（或遠離）平衡點時，外界實施控制，可以迫使軌道向不穩平衡點（或周期軌道）靠近，從而實現對系統的控制.改良單反饋控制法選擇特定區域對系統實施不連續的脈沖控制，其基本思想與OGY方法相似.

圖5 利用雙反饋法將系統鎮定到不穩平衡點S1和圍繞S1的極限環Fig.5 Stabilization of unstable saddle point S1and the limit cycle around S1by dual－feedback

現將控制器（3）進行改良，可得到

若將混沌系統控制到不穩定平衡點，則Θ（r）為

若將混沌系統控制到圍繞平衡點的極限環，則Θ（r）為

式（12），（13）中：ζ為任意小正數；r為控制半徑，大小等于系統的狀態點（x，y，z）與某一不穩定平衡點的距離，即有

將控制器代入系統（2），得到受控系統為

3 數值仿真

系統參數固定在α＝3，μ＝2，ε＝0.75，設定初始值為x（0）＝1，y（0）＝－1，z（0）＝2，正數ζ＝1.5，反饋增益k＝6，利用改良單反饋法將系統鎮定到平衡點S0和S1時x，y，z的變化情況分別如圖6（a）和6（b）所示；將系統鎮定到圍繞平衡點S2半徑ζ為1.5時的極限環如圖6（c）所示；將系統鎮定到圍繞平衡點S2半徑ζ為4.5時的極限環如圖6（d）所示.

圖6 利用改良單反饋法將系統鎮定到平衡點和圍繞平衡點的極限環Fig.6 Stabilization of stable saddle point and the limit cycle around stable saddle point by improved linear feedback

4 結束語

反饋法具有操作簡單、控制信號小等優點，在對混沌系統控制時，只需要很小的控制能量就能實現.在運用單反饋和雙反饋對損耗型耦合發電機系統進行控制的基礎上，將控制方法進行改良，僅當系統軌道靠近（或遠離）目標態時才對系統軌道實施控制，迫使系統軌道向目標軌道移動，并最終穩定到平衡點或極限環上.此方法利用很小的不連續的脈沖信號將耦合發電機系統控制到不穩平衡點或周期軌道上，不僅簡單易行，而且對混沌系統施加控制不會改變系統的原有的動力學性質.另外，該方法可以很方便地調節極限環的半徑和位置，對實際工程有較大的應用價值.

［1］ OTT E，GREBOGI G，YORKE J.Controlling chaos［J］.Phys Rev Lett，1990，64：1196－1199.

［2］ 李曉穎，陳至坤，宋雪梅.混沌控制方法綜述［J］.中國科技信息，2009（7）：41－42.

［3］ AGIZA H N.Chaos synchronization of two coupled dynamos systems with unknown system parameters［J］.Int J Modern Phys C，2004，15（6）：873－883.

［4］ AGIZA H N.Controlling chaos for the dynamical system of coupled dynamos［J］.Chaos Solitons＆Fractals，2002，13（2）：341－352.

［5］ CHEN Mao－yin，HAN Zheng－zhi.Controlling and synchronizing chaotic Genesio system via nonlinear feedback control［J］.Chaos，Solitons ＆Fractals，2003，17（4）：709－716.

［6］ 王興元，武相軍.變形耦合發電機系統中的混沌控制［J］.物理學報，2006，55（10）：5083－5094.

［7］ XANG Xing－yuan，WU Xiang－jun.Chaos control of a modified coupled dynamos system［J］.Phys Rev Lett，1995，52：3558.

［8］ WU Shu－hua，HAO Jian－hong，XU Hai－bo.Controlling chaos to unstable periodic orbit and equilibrium stable solutions for the coupled dynamos system［J］.Chin Phys B，2010，19（2）：149－156.

［9］ 劉秉正，彭建華.非線性動力學［M］.北京：高等教育出版社，2001.

Controlling Chaos on a Loss Type of Modified Coupled Dynamos System by the Improved Linear Feedback Method

SUN Na－yan，HAO Jian－hong
（Electrical and Electronic Engineering，North China Electric Power University，Beijing 102206，China）

The linear feedback method is adopted to implement chaos control for the coupled dynamos system which considered mechanical damping loss.An improved method is proposed，and the method is easy to operate，easy to implement and has low control power.It is only when the trajectory is close to the controlled objectives，the system is controlled.It can furthest maintain the dynamic characteristics of the system.This method has sliding mode control action which can adjust system state such as the limit ring radius.Based on the Lyapunov exponent and Routh－Hurwitz criterion，the conditions of the controlled system to steady equilibrium points and limit cycle are discussed.They are proved theoretically.The validity of this method has been verified by numerical simulations.

mechanical damping loss；coupled dynamos system；linear feedback method；chaos control

TM 310.12；O 415.5

A

（責任編輯：陳志賢 英文審校：楊建紅）

1000－5013（2012）05－0484－06

2012－02－12

郝建紅（1960－），女，教授，主要從事非線性動力學的研究.E－mail：jianhonghao＠ncepu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（10775018）；華北電力大學博士科研基金和國際科技合作項目（2011DFR00780）