空間目標方向關系的圖譜分析方法

魏孔鵬，陳曉勇

（東華理工大學測繪工程學院，江西撫州344000）

空間目標方向關系的圖譜分析方法

魏孔鵬，陳曉勇

（東華理工大學測繪工程學院，江西撫州344000）

在地學信息圖譜理論的基礎上，應用數學形態學原理和方法建立了能夠兼顧目標形狀、尺寸和距離的方向關系模型，生成方向關系圖譜并進行圖譜分析。首先將源目標進行形態變換；然后選擇方向關系的粒度，用變換后的源目標和參考目標相交區域面積的比值生成圖譜，再根據設定的特征值 （如均值、方差、熵等）進行方向關系圖譜的分析；最后通過實例驗證了該方法的正確性和可行性。

地學信息圖譜；方向關系；圖譜；空間分析；數學形態學

0 引言

地學空間分析（Geo－spatial Analysis）是基于地學對象的位置和形態特征分析空間數據、研究空間信息分布的特征以及相互關聯規律的科學［1］。空間方向關系在空間分析、空間推理、制圖綜合等過程中起著重要作用，與空間距離、空間拓撲關系同為GIS的重要理論問題［2］。

近年來，國內外學者對空間目標方向關系及其空間定性推理進行了深入研究，提出的主要方向關系模型有：錐形模型［3］、最小約束矩陣（MBR）模型［4］、最小外接矩陣（MER）模型［5］、方向關系矩陣模型［6］和方向Voronoi模型［7］。現有的模型主要是將參考目標劃分成若干份，再附加參考框架，忽略了源目標的尺寸、形狀、距離等空間特征。按照傳統的方向概念，目標之間的方向關系與目標間的距離無關，但當顧及目標的大小和形狀后，目標之間的方向關系則與其間的距離相關。圖1a描述了距離對方向關系的影響：當目標B逐漸遠離A時，方向關系的分布發生明顯變化；當A、B無限遠時，可視A、B的方向關系為兩點之間的方向關系。圖1b描述了形狀對方向關系的影響：當源目標B比參考目標A的可視域［8］小或者相同時，容易推理出目標A、B的方向關系；但若源目標比參考目標的可視域大，推理則比較困難。圖1c描述的是相同形狀但不同尺寸的源目標：當源目標比參考目標的尺寸大時，方向關系推理較困難。因此，有必要建立一種新的空間方向關系描述模型，能夠全面考慮形狀、尺寸、距離等空間目標的特征。

本文用數學形態學原理和方法建立了新的方向關系模型。首先對源目標進行形態變換，選擇方向關系的粒度；然后用變換后的源目標和參考目標相交區域面積的比值生成圖譜，根據設定的特征值（最小值、最大值、均值、方差、熵）論述圖譜的分析方法；最后用實例驗證本文所述方法的正確性和可行性。

圖1 距離、形狀、尺寸對方向關系的影響Fig.1 The influence of distance，shape and size on direction relationship

1 圖譜的數學描述

地學信息圖譜具有圖形與譜系的雙重特性，是由大量地學數字信息經過圖形思維與抽象概括，并以計算機多維與動態可視化技術，顯示和揭示地球系統及各要素和現象空間形態結構與時空變化規律的一種手段與方法［9］。近十幾年來，許多學者對地學信息圖譜的概念、理論和應用做了廣泛研究，取得了很多成果［10］。本文將探索方向關系圖譜的數學描述方法，并以此為基礎進行空間目標方向關系圖譜的研究。

數學中將給定的一組元素稱為集合（Set）。如果在其元素中，按照指定的規則定義某種結構，則構成相應空間（Space），空間形式和完整性取決于選擇的結構。空間中所有線性獨立的元素（基元）的集合構成該空間的完備正交基（Basis），空間中任何子集在完備正交基上的特征值分布稱為譜（Spectrum），其中單個的特征值稱為譜密度。

方向的集合＝｛上、下、前、后、左、右、東、南、西、北、東南、西北、1°、π、…｝；方向的結構可以是二方向、四方向、八方向、十六方向、十二方向（時鐘方向）等；方向關系的完備正交基可以是｛前、后、左、右｝，也可以是｛東、南、西、北、東南、東北、西南、西北｝等；方向關系的譜是指在某個粒度下，空間目標方向關系子集在完備正交基上的特征值分布，單個的特征值稱為方向關系的譜密度。

2 空間目標方向關系的圖譜分析

2.1 方向關系模型的建立

首先，根據實際問題的需求選取α角度值（如1°、3°、5°等）作為方向關系的基元。根據數學形態學原理［11］，目標A以正北方向為起始，沿α角度無限膨脹地進行形態變換，記為A⊕Iαn∞；目標A經過形態變換后若與目標B有交集，則記為：

MBN是指目標A形態變換后與目標B的交集，MBN的值是該區域的像素值；若與目標B無交集，則MBN＝0。

若按順時針方向，將目標A每隔α角度依次膨脹一周，則目標A共有N次形態變換，其中N＝360°／α。式（1）可推廣成：

｛MB1，MB2，…，MBN｝為目標A每隔α角度形態變換后與目標B相交區域的集合，MBN的數值為相交區域的像素值。

2.2 方向關系圖譜的生成

針對復雜圖形，構建方向關系圖譜的基本過程如下：

（1）根據方向關系模型，目標A共有N次形態變換，且形態變換后與目標B的交集為｛MB1，MB2，…，MBN｝，其中MBN的非0值集合就構成了方向關系的完備正交基，記為｛M′B1，M′B2，…，M′BN｝。對完備正交基進行歸一化處理，并生成譜密度分布，即：

其中：ρ1，ρ2，…，ρn是某一方向的譜密度，則｛ρ1，ρ2，…，ρn｝就是目標A與B方向關系的完備正交基上的譜密度分布，也稱為目標A與B方向關系的譜。同理，可生成以B為參考目標的A的方向關系圖譜的譜密度分布。

（2）根據譜密度分布，進行譜分析和提取相應的圖譜特征（如均值、方差、熵等）。按式（4）分別計算圖譜特征：

2.3 方向關系圖譜的分析

如圖2，目標A、B的方向關系圖譜生成方式如下：

（1）從正北方向順時針每隔5°對目標A進行形態變換，與目標B形成的交集為MB，按順時針方向依次形態變換一周，則共有72次形態變換。

｛MB1，MB2，…，MB72｝的非0值集合構成方向關系圖譜的完備正交基，根據式（3）計算該方向關系的譜密度分布（表1）。

圖2 空間目標A與B的方向關系模型Fig.2 The direction relationship of target A and B

表1 譜密度數據計算處理（A為參考目標）Table 1 Spectrum density computation of experimental data（target A is reference target）

（2）結合已計算出的譜密度，根據式（4）提取相應的圖譜特征（表2）。

表2 空間目標A與B的方向關系圖譜特征Table 2 The spectrum feature of target A and B

（3）生成目標A與目標B方向關系圖譜的譜向量分布，如圖3所示。

圖3 空間目標A與B的譜向量分布Fig.3 A generated sequence of spectrum density distribution for target A and B

3 實例分析

隨著大城市中建筑物高度和密度的快速增加，高層建筑物所造成的太陽陰影遮擋及其變化規律是一個迫切需要解決的問題。作為方向關系圖譜的一個實際應用，筆者開發了相應的軟件系統：根據給定的三維地圖和相關參數（如地區的經緯度、日期、時間、建筑物高度和形狀等）可生成某一時刻的太陽陰影圖；將太陽陰影圖與指定的地物集合相交，用陰影面積（或體積）的比率計算此時的圖譜密度；根據實際需要選擇某一時間間隔，作為方向關系圖譜的基元，并以此將一天24小時劃分成一個完整序列，生成相應的方向關系圖譜，即可實現全天候高層建筑物太陽陰影遮擋的定量解析（圖4）。

圖4 基于方向圖譜的高層建筑物太陽陰影遮擋的全天候分析Fig.4 The analysis of the shadow of the sun－rise buildings around the clock by the direction relationship spectrum

在注冊新的商標時，需要審查待注冊商標圖像與已注冊商標圖像的相似性，從而決定其是否具有注冊資格。由于注冊商標的數目不斷增加，基于人工商標查詢方式難以滿足檢索的實時性和準確性要求，因此需要建立一種準確、高效的商標圖像自動檢索系統。具體方法如下：1）初始化二值商標圖像，提取圖像邊緣，計算最小外接圓；2）根據實際需要選取角度平分外接圓，計算每個分塊內圖像的像素值；3）用各分塊內圖像的面積比率生成商標圖像的方向關系圖譜；4）根據譜密度分布和圖譜特征檢索分類商標，如圖5所示。

圖5 商標圖像的方向圖譜方法檢索分類Fig.5 The analysis of the trademark image classification and retrieval by the direction relationship spectrum

4 結語

陳述彭院士倡導的地學信息圖譜，從宏觀的“圖”關聯到微觀的“譜”解析，為解決地球信息科學中復雜分析問題提供了新的理論與方法。基于數學形態學原理和方法構建的方向關系模型、圖譜及相應圖譜分析方法，全面考慮了形狀、尺寸、距離等空間目標的特征，實現了復雜空間目標之間的方向關系的完整解析，能夠滿足實際GIS空間分析應用中的方向關系分析要求。實例驗證了本文方法的正確性和可行性。

［1］ 郭仁忠.空間分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.1－8.

［2］ FRANK A.Qualitative spatial reasoning cardinal directions as an example［J］.International Journal of Geographic Information System，1996，10（3）：269－290.

［3］ HAAR R.Computational Models of Spatial Relations［R］.Technical Report：TR－478，MSC－72－03610，Computer Science，University of Maryland，College Park，MD，1976.

［4］ PAPADIAS D.Relation－Based Representation of Spatial Knowledge［D］.National Technical University of Athens，1994.

［5］ MUKERJEE A，JOE G A.qualitative model for space［A］.Proceedings of the 8th National Conference on Artificial Intelligence［C］.Boston，MA，1990.721－727.

［6］ GOYAL R.Similarity Assessment for Cardinal Directions between Extended Spatial Objects［D］.University of Maine，Orono，ME，2000.

［7］ YAN H，CHU Y，LI Z，et al.A quantitative description model for direction relations based on direction groups［J］.Geoinformatica，2006，10（2）：177－195.

［8］ 閆浩文，郭仁忠.基于Voronoi圖的空間方向關系形式化描述研究（一）［J］.測繪科學，2001，27（1）：24－29.

［9］ 陳述彭，岳天祥，勵惠國.地學信息圖譜研究及其應用［J］.地理研究，2000，19（4）：337－343.

［10］ 陳燕，齊清文，楊桂山.地學信息圖譜的基礎理論探討［J］.地理科學，2006，26（3）：306－307.

［11］ 陳曉勇.數學形態學與影像分析［M］.武漢：測繪出版社，1991.

Abstract：This paper presents a new method for describing directional relations based on their graph－spectrums by using the theory of the Mathematical Morphology.Directional relation graph－spectrums are generated based on the ratio of intersection area by original target and reference target which has been morphological transformation.Graph－spectrum analysis of directional relations is described according to a set of selected features，such as minimum，maximum，mean，standard deviation and entropy.Finally these new measures are experimentally evaluated.

Key words：Geo－information graph－spectrum；directional relations；graph－spectrum；spatial analysis；mathematical morphology

Graph－Spectrum Analysis on Directional Relations of Spatial Targets

WEI Kong－peng，CHEN Xiao－yong
（College of Surveying and Mapping Engineering，East China Institute of Technology，Fuzhou 344000，China）

P208

A

1672－0504（2012）04－0029－04

2011－12－28；

2012－02－28

國家自然科學基金項目（40940011、41161069）

魏孔鵬（1982－），男，碩士研究生，主要從事地學空間分析的理論與應用研究。E－mail：kpwei＠ecit.edu.cn