對紐結的Vassiliev不變量的研究

霍承剛,王樹新

（1.宿州學院數學與統計學院,安徽宿州234000;2.遼寧師范大學數學系，遼寧大連116029）

對紐結的Vassiliev不變量的研究

霍承剛,1王樹新2

（1.宿州學院數學與統計學院,安徽宿州234000;2.遼寧師范大學數學系，遼寧大連116029）

介紹一類重要的紐結不變量，即Vassiliev不變量，給出了紐結Vassiliev不變量的一些性質及其作用在特殊紐結上的相關結論。

紐結；環鏈；Vassiliev不變量

1 引言

紐結是三維空間中的簡單閉曲線，簡單閉曲線意思是連通的（連成一體），封閉的（沒有端點的），不自交的（自己與自己不相交，即沒有粘連的）曲線。尋找拓撲不變量是拓撲學的重要議題之一，作為低維拓撲一個分支的紐結其任務亦然。1989年，V.Vassiliev和M.Goussarov各自獨立的引進了有限階紐結不變量的概念，也稱為Vassiliev紐結不變量。顯然，Vassiliev不變量是低維拓撲中相當新的一個概念，是基于對流形光滑映射的判別式（即帶奇異點映射）研究而引入這一概念的。后來Birman和Lin給出了Vassiliev不變量的公理描述。本文采用Birman-Lin所引進的Vassiliev不變量的定義。Vassiliev不變量是一個極具特色的紐結不變量，比如它有著類似多項式的性質等。Vassiliev不變量引起了廣泛的興趣和關注，Vassiliev不變量被證明至少同瓊斯多項式及其源于各種量子群的一般形式具有同等作用。像紐結的Goussarov多項式的系數，Jones多項式的導數在1的值等被證明是Vassiliev不變量，人們從不同的角度去研究刻畫Vassiliev不變量的特性，例如Y.Ohyama利用紐結的相似性研究它；Ted.Stan ford利用辮交換子刻畫其特點；Y.Ohyama和Harumi Yamada利用Cn-move進行研究等。近年來對其研究越來越多，相信在對紐結的分類過程中，它勢必扮演比各色紐結多項式更重要的作用。[1]

本文將對紐結的Vassiliev不變量進行介紹，給出紐結Vassiliev不變量的一些性質及其在特殊紐結上的相關結論。

2 主要結果

對值域為阿貝爾群的紐結不變量，可以通過下述線束關系：

定義奇異紐結的不變量,其中KD，K+，K-表示局部，如圖1。

圖1

而其余部分完全相同的紐結圖表。

定義1：設v為值域在阿貝爾群的紐結不變量，如果對任意多于n個奇異點的紐結有v(K)=0，則稱此不變量為n階Vassiliev不變量，通常記為vn，此定義可自然的擴充到環鏈上。

從不變量的定義及線束關系(1)可以得到如下事實：記Kn為有n個奇異點的紐結，則交換它的一系列交叉點而值vn(Kn)不變（其值僅由奇異點位置決定）。特別地)，其中n表示鏡面像。再由vn(Kn+1)=0，這使人聯想到如果f∶R→R為常值映射，則對?x∈R有f(x)=v(-x)。

定義2[2]：設v,w為兩個紐結不變量，定義它們的乘積如下：v.w(K)=v(K)w(K)。

利用歸納法易證明下面定理。

引理1[3]：令v,w為紐結J的Vassiliev不變量，K為有i個奇異點的紐結，則，其中。

此定理類似于分析上Leobniz的定理：若f,g∶Rn→R為函數，則

定理1：若v,w分別為m階和n階紐結不變量，則v,w為n+m階不變量。

證明：當v,w作用于任意有n+m+1個奇異點的紐結時，由引理1可知和式中每項要么|J|＞m，要么|J|＞m.從而v(|J|)=0或w(|J|)=0，所以v,w(n+m+1)=0，Conway多項式即得證。

下面定理說明了紐結的系數與Vassiliev不變量的關系。

定理2：經過適當的變量替換，Homfly多項式的泰勒展式的系數為有限階的。

證明：Homfly多項式的一種標準形式是以q和N為參數的多項式，且滿足下列等式:

若令q=ex，然后展成x次冪形式，則上式可變形為：

上式子為關于x的“一團”的表達式，其中“一團”表示此部分比較復雜，但不管它是什么，此時多項式的系數是有限階的。

注1：Jones多項式是Homfly多項式對N≡2的情況，所以由定理2的證明可知Jones多項式經過適當變量替換，它們泰勒展式的系數也為有限階的。

注2：類似于定理2的證明，對Kauffman多項式也有相同結論成立。

另外，紐結的Jones多項式的階導數在1的取值為n階不變量。而且Jones多項式的系數不是有限階的，但可以用有限階不變量來逼近。[4]

引理2[5]：令{K|z∈Z}是扭轉序列，若F: K→C是階≤m的不變量，則F（Kz）是以z為變量階≤m的多項式。

垂直扭轉序列和水平扭轉序列分別如圖2。

圖2

定理3：紐結的不紐數不是有限階的。

證明：考慮平凡紐結的Whitehead doubles的不紐數，

顯然這不是關于i的多項式，從而不紐數不是有限階的不變量。

對特殊紐結計算Vassiliev不變量有下面兩個結論。

定理4：設Kn為有n個奇異點的紐結，由Vassiliev線束關系式去掉奇異點計算其Conway多項式，則當拆得為平凡紐結時，zn的系數為1；當拆得為分離環鏈時，zn的系數為0。

證明：令C(K)(z)表示紐結的Conway多項式，仍用C表示其在奇異紐結上的擴展，由Conway多項式的定義及線束關系有：

由上關系式知每去掉一個奇異點，z的次數升高一次再結合平凡紐結和分離環鏈的Conway多項式即得證。

下面將描述了一個關于有平凡Conway多項式的紐結當其對應的V3值（此處V3簡記紐結Jones的多項式的3階導數在1的值）滿足一定條件時，它是Vassiliev值的特點。

定理5：若K為有平凡Conway多項式的紐結，則當K對應的值V3為72的倍數時，其3階的Vassiliev值v3(K)為整數。

證明：polyak-Viro給出了不變量v3的計算公式：[6，7]

在[4]中，給出了v4的計算公式：

則當K有平凡的Conway多項式時有：

由v4的整性及事實144|V4有：

[1]D.Bar-Natan,On the Vassilliev knot invariants[J].Topology 1995,34:423-472.

[2]Y.Ohyama,Vassiliev invariants and similarity of knots,Proc.Amer.Math.Soc.1995,123:287-291.

[3]T.Stanford,Braid commutators and Vassiliev invariants[J].Pacific J.Math,1996,174:269-276.

[4]Yasutaka Nakanishi and Y.Ohyama,knots with given finite type invariants and Conway polynomial[J].Knot Theory Ramifications,2006,15(2):205-215.

[5]T.Stanford and R.Trapp,On knot invariants which are not of finite type[M].Preprint,1999：28.

[6]A.Stoimenow,On the Polyak-Viro Vassiliev invariants of degree 4[J].Canad.Math.Bull,XX(Y):1-15.

[7]J.S.Birman and X.-S.Lin,Knot polynomials and Vassiliev's invariants[J].Inventiones mathematicae,1993,111:225-270.

責任編輯：胡德明

Abstract:The paper introduces a class of important knot invariant,namely Vassiliev invariant.Some properties of Vassiliev invariant and some conclusions about its use on special knot are given.

Key words:knot;link;Vassiliev invariant

Some Vassiliev Invariants of Knot

Huo Chenggang1，Wang Shuxin2
(1.School of Mathematics and Statistics,University of Suzhou,Suzhou234000,China;2.Department of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,China)

O189

A

1672-447X（2012）03-0001-003

2011-12-02

霍承剛（1980-），山東德州人，宿州學院數學與統計學院講師，碩士，研究方向為低維拓撲研究。