一類非線性方程組正解的存在性

胡 玲

（黃山學院數學與統計學院，安徽黃山245041）

一類非線性方程組正解的存在性

胡 玲

（黃山學院數學與統計學院，安徽黃山245041）

研究了一類非線性二階常微分方程組m-點邊值問題的正解存在性，在合適的條件下，運用抽象的不動點定理，得出了正解及多重解的存在性。

m-點邊值問題；格林函數；錐

1 引言

近年來，常微分方程的邊值問題在數學及工程科學中受到很大的關注，據我們所知，絕大多數結果都是針對單個方程及簡單的邊值條件的，例如：[1,2]

運用錐的不動點定理，可以獲得（1）的正解存在性。再看下面的方程組：

運用度理論[3]，（2）的正解也可以獲得，類似還有很多結果[4-6]。可以看到，（1）中只有單個方程，而（2）中的邊值條件是最簡單的。

結合（1）與（2），本文研究的是如下方程組：

為了得到（3）的解的存在性，我們要用到格林函數，并定義一些錐，最后通過不動點定理得出正解的存在性及多重性。

2 引理

顯然，方程組（3）可以轉化為如下積分方程組：

其中G（t,s）為格林函數，積分方程組（4）又可以化為非線性積分方程：

引理1：格林函數G（t,s）為如下形式：

其中i=1，2，…m-1，顯然，G（t,s）＞0，G（0,s）=G（1,s）=0。

設m=min∫G( t, s) ds, M=max∫G( t, s) ds，顯然，M＞m＞0。

設E=C[0,1],?u∈E,定義u=maxu,那么{E，||·||}是一個巴拿赫空間，定義

K={u∈E u( t)≥0,minu( t)≥γu,η≤t ≤1}，

顯然K是E中的一個正錐。

由α(u)=minu( t )，我們定義函數α:K→R。定義算子

Tu( t)=∫G( t, s) f( s,∫G( s,σ)g(σ,u(σ))dσ)ds, u∈K,(6)由以上討論可知，（3）的正解的存在性可以轉化為算子T的正不動點的存在性問題。

3 定理

定理1：設a，b，c＞0，滿足a＜b≤min{γ,m }c,f( t,0)≠0,g( t,0)≠0且M

那么邊值問題（3）至少有3個正解u1，u2，u3，滿足

證明：T如上定義，?Ω∈K ，開集且非空，我們容易知道T:→K是全連續的。設

所以，我們有

綜上所述，錐壓縮錐拉伸不動點定理的條件得到滿足，我們得到至少有3個不動點u1，u2，u3,滿足，即是邊值問題（3）的3個正解。

[1]Guo Y,Ge W,Three positive solutions for second order m-point boundary value problems[J].Appl Math.Camp，2004,156(3)：733-742.

[2]Guo Y,Ge W.Positive solutions for second order mpoint boundary value problem[J].Comp.Appl.Math,2003,151:415-424.

[3]Hu Ling and L.L.Wang,Multiple Positive Solutionsof Boundary Value Problems for Systems of Nonlinear Second-Order Differential Equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,335：1052-1060.

[4]K.Deimling,Nonlinear Functional Analysis[M].Springer-Verlag,Berlin 1985.

[5]Leggett R W,Williams L R,Multiple positive fixed solutions of nonlinear operators on ordered Banach spaces[J].Indiana Univ.Math，1979,673-688.

[6]楊志林，孫經先，非線性二階常微分方程組邊值問題的正解[J].數學學報,2004,47(1)：111-118.

責任編輯：胡德明

Abstract:The paper is concerned with positive solutions to m-point boundary value problems of a class of nonlinear second order differential equations.Under suitable conditions,the existence of positive solutions and multiplicity of solutions are proved by using abstract fixed-point theorems.

Key words:m-point boundary value problem;Green's function;cone

Positive Solutions of m-Point BVPs for Nonlinear Differential Equations

Hu Ling
(School of Mathematics and Statistics,Huangshan University,Huangshan245041,China)

O175.8

A

1672-447X（2012）03-0004-002

收搞日期：2012-03-21

安徽省教育廳教學研究項目（20100996）；黃山學院質量工程項目（2011JPKC06）

胡玲（1981-），安徽黃山人，黃山學院數學與統計學院講師，碩士，研究方向為微分方程。