隨機最優控制下矩形薄板受面內隨機參數激勵的首次穿越研究

葛 根，王洪禮，許 佳

(1.天津工業大學 機械學院，天津 300160;2.天津大學 機械學院工程力學系，天津 300072)

近來越來越多的學者對各種邊界條件的矩形薄板的非線性振動特性進行了大量的研究［1－5］，發現了豐富的非線性動力學現象，如分岔，混沌等。這些文獻一般都是使用確定性非線性系統理論進行研究的，而事實上，薄板在實際情況中往往受到隨機激勵的作用。葛根等［6－7］研究了矩形薄板在摩擦邊界和四邊簡支邊界在面內高斯白噪聲激勵時，一階模態和二階模態的隨機穩定性和隨機Hopf分岔和問題。但是對矩形薄板在隨機激勵下的可靠性問題(即系統能量首次穿越安全域邊界問題)，及對如何對系統施加反饋控制來增加系統安全性的策略問題都尚未研究。

本文在文獻［6－7］基礎上建立了四邊簡支的矩形薄板在受面內含高斯白噪聲信號激勵下時，受控制力作用的二階隨機參數激勵模型，并用擬不可積Hamilton系統隨機平均法把受控薄板振動系統廣義能量表示為一維Itǒ擴散過程。隨后根據隨機動態規劃方法，得到了系統的最優反饋控制策略，并進一步得到了受控系統的條件可靠性函數滿足BK(Backward Kolmogorov)方程，設定邊界條件和初值及終值條件后，用蒙特卡羅數值模擬驗證了理論分析。

1 受控薄板隨機振動模型的建立

圖1 矩形薄板振動模型及坐標Fig.1 The model of a rectangular thin plate and the coordinate system

如圖1所示薄板，矩形薄板長寬分別為a和b，厚度為h，在x=0，x=a，y=0，y=b四邊簡支。在板中面建立如圖1所示的坐標，設 u，v，w 分別為 x，y，z方向的位移。在x=0，x=a兩邊受面內激勵p(t)，為絕對剛硬梁傳來的板中面內的分布載荷，其形式為:p(t)=p0+p'ζ(t)，其中，p0為均布載荷，ζ(t)為 0 均值，強度為2D的高斯白噪聲，p'為噪聲的幅值。G(x，y)為外加控制力，形式滿足:

該薄板可認為是柔性大撓度板，參考文獻［2］可建立板的橫向振動方程為:

板的簡支邊的位移邊界條件可表示為:

滿足位移邊界條件式(4)的板的二階模態為:

根據Galerkin變分法，可求得離散后薄板的常微分形式的運動方程:

其中參數變化形式為:

為研究系統(7)在隨機激勵下系統能量的變化，設系統的Hamilton函數(廣義能量)為:

其中:

系統(7)可寫為It?方程:

其中:B(t)是標準Weiner過程。

“?”表示It?意義下乘積。

該Hamilton系統不存在與H(t)獨立對合的首次積分，該系統為一個擬不可積Hamilton系統。根據擬不可積Hamilton系統的定義及性質，可知系統式(7)依概率收斂到一維It?擴散過程:

其中，m(H)和σ(H)分別是未受控系統的It?隨機過程的漂移系數與擴散系數。

使用擬不可積 Hamilton系統的隨機平均法［8］，得到:

這里R是方程(17)的根。

2 系統的隨機最優控制

系統的最優控制一般是指通過反饋控制使原來不穩定的隨機動力學系統變得穩定，或以此來提高系統的穩定度。在半無限長時間上的隨機穩定化是一種具有待定成本函數的遍歷控制方法。最優控制的目標常用一個泛函的極小或極大來表示，該泛函稱為成本泛函或性能指標。對隨機最優控制，受控系統的狀態與控制皆為隨機過程，該泛函為隨機變量，因此性能指標取為該泛函的數學期望。

隨機動態規劃方法就是對給定的隨機最優控制問題，建立并求解隨機動態規劃方程，確定最優控制，然后求解最優狀態。可定義值函數:

U為控制力受到的約束，“sup”是“supremum”的縮寫，T為終止時間。值函數V(t，H)就是使隨機受控系統的條件可靠性函數取最大。根據動態規劃原理［9－10］，可導出V(t，H)所滿足的隨機動態規劃方程:

方程(19)的邊界條件為:

方程(19)的終值條件為:

式(19)～式(21)組成了受反饋控制的擬不可積Hamilton系統的可靠性問題，構成了一個以最大可靠性為目標的非線性隨機最優控制策略。以擬Hamilton系統的隨機平均法及隨機動態規劃原理為基礎，從而可求出最優控制形式。

假設控制力有界，滿足－ bi≤ui≤bi，(i=1，2)。則方程(19)中的 ui(?H/?pi)(?V/?H)在時取最大且每項為正。所以，最優控制力可以寫為:

由于值函數V(t，H)都是H的遞減函數，即:?V/?H ＜0，因此，式(22)可簡化為:

其中:

考慮當H→0時，忽略高階小量可得:

3 系統首次穿越分析

隨機振動系統的可靠性可用許多指標來度量，包括可靠性函數、首次穿越損壞的概率密度函數和首次穿越時間的均值等。其中可靠性函數定義為系統在時間區間［0，t］內無損壞地工作的概率［11］。

圖2 系統能量安全域示意圖Fig.2 Safe domain of H

假設系統在狀態空間中的安全域為一開域 Ω =［0，Γ )，其中Γ是Ω的平滑邊界。引入可靠性函數}其中P表示條件概率。

得到受控系統的可靠性函數滿足的BK(Backward Kolmogorov)方程

方程(11)的初始條件為:

方程(11)的邊界條件為:

Γe為系統廣義能量的安全界限值。

首次穿越的條件概率為:

假設系統首次穿越安全域邊界的時間為T，則首次穿越時間T滿足的條件概率密度為:

對于邊界是奇異邊界的 Hamilton系統來說，式(31)的邊界條件由擴散系數α，漂移系數β和特征標值c來決定，由參考文獻［7］可知 H=0在特征標值cl＜1時為吸引自然邊界。

則對于左邊界H=0為進入邊界來說，對應的BK方程的邊界條件為:

由于可靠性函數、首次穿越損壞的概率密度函數所滿足的方程均為偏微分方程，一般情況下無法得到精確解，只能求得數值解，這里我們采用有限差分法來求得方程的數值解。

4 數值結果

首先我們研究隨機激勵噪聲強度對未受控系統的條件可靠性函數和首次穿越概率密度函數的影響。取=0.5，ω22=0.5，f1=0.5，f2=1.35。安全域邊界 Hc=1。用(—…－·－)表示分析結果;用(■●★)表示數值結果。

我們從圖3可以看出:當隨機激勵強度D從0.5增加到0.8時，系統狀態的可靠性函數下降會隨著噪聲加強變得越來越快。此現象說明了隨機噪聲的強度對此時系統可靠性函數的影響，從圖4可以看出，首次穿越時間概率密度的峰值會隨著噪聲強度的增大而升高，對應的峰值時間也會提前。

為研究結構參數中比較有代表性的剛度系數ω21，ω22變化對系統可靠性的影響。取噪聲強度D=0.5，其他參數保持不變。圖5顯示了當剛度系數從0.5上升到1.0時，系統的可靠性函數隨時間下降明顯變慢。說明增加矩形薄板的剛度對保障振動安全有顯著作用。

然后，我們研究系統在受控情況下系統的首次穿越情況隨著控制力幅值變化的情況。

圖6 系統可靠性函數隨控制力幅值變化圖Fig.6 Reliability function of system(24)

圖6顯示出隨著控制力幅值的變化，從b1=0(表示未受控系統)上升到b1=0.2和b1=0.8時，系統的可靠性函數隨時間的降低變得緩慢，這說明對系統施加反饋控制是增加系統安全性的有效措施。

以上的分析表明:隨機系統在穩定性條件被破壞后與確定性系統一樣都會發生損壞，而隨機系統的非線性動力學行為與確定性系統的動力學現象有所不同。隨機系統由于受到隨機因素的作用，當滿足一定的條件時，系統發生破壞是以一定的可能性(概率形式)來反映的。這說明即使滿足一定的條件，系統也并不是一定會發生系統能量超越安全域邊界的情況，發生的概率反映了發生損壞的可能性的大小，可見隨機系統的復雜性。同時，可以發現當系統參數發生變化時，系統發生破壞的概率也會發生相應的變化，我們可以根據實際的需要，通過調節系統自身參數，或者對系統加以反饋控制，從而降低產生首次穿越的概率，加強系統的可靠性。

5 結論

本文的主要工作為:

(1)首先建立了四邊簡支矩形薄板的受面內隨機激勵的受控隨機動力學模型;

(2)擬不可積Hamilton系統隨機平均法被用于將系統能量(Hamilton函數)的變化過程簡化為一個一維擴散過程。隨后以使受控系統的可靠性最大為目標函數得到了隨機反饋控制策略;

(3)最后以受控可靠性函數滿足的BK方程和首次穿越條件概率密度方程的數值模擬得出噪聲強度、系統剛度系數對系統可靠性的影響，從而驗證了控制策略的有效性。

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