基于二階泛模型的無模型自適應控制及參數整定

王晶，紀超，曹柳林，靳其兵

(北京化工大學 信息科學與技術學院，北京，100029)

無模型自適應控制器將不依賴被控對象具體數學模型的“泛模型”和某些“控制功能”模塊相結合[1-2]，采用邊建模邊控制的方式，得到新的觀測數據后，再建模再控制，使每次得到的“泛模型”逐漸精確，從而控制器的性能也隨之得到改善。無模型自適應控制作為一種不依賴于對象數學模型的簡單、有效、具有廣泛適用性的先進控制策略，在很多復雜過程控制中得到成功應用[3]。但是對于相同的控制系統而言，不同的控制器參數所得到的控制效果完全不同。特別是當工況發生改變時，對象特性將發生一些變化，當前控制器參數可能造成響應曲線的振蕩，導致生產事故的發生[4]。同時，當代社會對節能減排的要求也越來越高，而較好的控制效果可以達到節能減排的目的。要獲得較好的控制效果，就需要較好的控制器參數。因此，優化控制器參數是非常必要的。本文作者首先針對MFAC中的關鍵因素“泛模型”進行改進，由一階擴展為二階“泛模型”，使得每次迭代得到的“泛模型”更加精確，從而大大提高控制精度。然后針對現階段無模型自適應控制領域中參數整定問題研究較少的現狀，提出適用于改進無模型自適應控制的基于下降梯度法的參數優化整定算法，并運用不同的性能指標進行控制器參數整定和結果對比分析研究。

1 基于二階泛模型的改進無模型自適應控制器設計

1.1 二階“泛模型”

對于一般離散時間非線性系統：

其中：y(k)和u(k)分別為系統的輸出與輸入；m和n分別為系統階數[5]。

首先假設：

假設1：系統(1)是輸入輸出可觀測的，可控制的。即：對某一系統一致有界的期望輸出信號 y*( k+ 1)，存在一致有界的可行控制輸入信號，使得系統在此控制輸入信號的驅動下其輸出等于系統的期望輸出。

假設2：f (…)關于系統當前的控制輸入信號u(k)的偏導數是連續的。

假設3：系統(1)是廣義Lipsehitz的，即滿足對任意時刻的k和 Δu(k )≠0有：

其中：Δ y(k +1)=y(k+1) -y(k )；Δu(k)=u(k)-u(k -1)；b是1個大于0的常數。

對非線性系統(1)，如果滿足以上假設條件，那么當 Δu(k )≠0和 Δu(k - 1)≠0時，一定存在偽偏導數φ1(k )和φ2(k )，使得系統可以用下式表示[6]：

簡寫為：

稱式(3)為系統(1)的二階“泛模型”(Second-order universal model)。眾所周知，系統當前時刻的輸出不僅與當前時刻的輸入有關，而且與以前時刻的輸入相關，因此，上述二階泛模型的提出可以代表更廣泛的系統信息。

1.2 基于二階“泛模型”無模型自適應控制規律

1.2.1 控制規律導出

考慮如下的控制輸入準則函數：

其中：λ是權重因子； y*( k+ 1)是k+1時刻的給定值。λ[u (k)-u(k-1)]2的引入，使得控制輸入量的變化受到約束，且能克服穩態跟蹤誤差。將式(3)代入式(5)，并對u(k)求導，令其為0，得：

根據下降梯度法，得：

其中：ρk(0＜ρk≤2)是步長序列[6]。

從控制律算法(6)可以看出：此類控制系統與受控系統參數數學模型結構、系統階數無關，僅用系統I/O數據設計[7]。

1.2.2 偽偏導數估計

傳統的參數估計準則函數應該是極小化系統模型輸出與系統真實輸出之差的平方，然而，應用此類準則函數推導出的參數估計算法在估計參數時，其參數的估計值經常變化太快，或者就是對某些突變的個別不準的干擾過于敏感，為此，提出如下新的參數估計準則函數：

其中：y(k)為k時刻系統的輸出；μ1和μ2為權重因子。分別對 φ1(k )和φ2(k )求導并令其等于 0，得到偏偽導數估計：

其中：1η和2η為步長序列。

2 二階“泛模型”無模型控制器參數整定

針對無模型自適應控制器參數較多、不易得到合適參數的特點，必須對其進行控制器參數整定。首先，二階“泛模型”無模型自適應控制器的可調參數為1ρ，2ρ，λ，1η，2η，1μ和2μ。經過工程實踐與大量仿真實驗發現：λ，1η，2η，1μ和2μ對控制器影響很小，因此，參數整定的重點在于1ρ和2ρ。而2ρ又是在二階“泛模型”概念提出后才出現，根據式(6)可知：其在(0, 2)之間取定后，只要與1ρ的比值一定，對系統的影響并不明顯。因此，對于整個二階“泛模型”無模型控制器參數整定的核心在于1ρ的優化。

參數優化算法需要根據離線數據對被控對象辨識出一個簡單的模型，該模型只是被控對象的近似，在此對任何高階復雜對象均使用二階加純滯后模型近似，由于參數整定效果并未因辨識誤差較大而變差，因此此時的系統辨識并不違反無模型控制的宗旨。即假設所有對象經系統辨識均近似為二階慣性純滯后對象，

式中：τ為純滯后時間。

傳統的參數優化算法比較簡單[8]，基本原理較容易理解，使用起來比較方便，計算量不大。但對于比較復雜的被控對象，傳統整定方法難以使用。因此，需要選擇一種優化精度高且可以適用于較為復雜的被控對象的參數優化算法，而梯度下降法可以很好地滿足以上要求。

2.1 性能指標的選取

二階“泛模型”無模型自適應控制器的參數優化就是尋找合適的控制器參數，即使在工況發生變化的時候，系統仍具有較小的超調量，較快的響應速度和較高的控制精度。根據性能要求不同，參數優化時所采用的目標函數也大不相同。

2.1.1 ISE系列目標函數

最優 PID控制器參數整定算法由 Zhuang等[9]提出，其最優準則為：

式中：e(θ,t)為進入控制器的誤差信號；θ為控制器參數構成的集合。在最優準則中考慮了3個n的取值，即n=0，1，2。當n=0時，為誤差平方(ISE)準則；當n=1時，為時間加權的誤差平方積分(ISTE)準則；當n=2時，為時間平方加權的誤差平方積分(ISTTE)準則[10]。

下面針對n=0時，采用梯度下降參數優化算法進行推導。

首先，將性能指標(11)轉化成離散形式，即：

最終根據式(6)、(10)和(12)聯立，得到基于 ISE性能指標的梯度下降法參數優化算法：

2.1.2 IAE系列目標函數

經常使用的還有誤差絕對值積分(IAE)以及誤差絕對值與時間乘積的積分(ITAE)最小為目標的調節規律[11]，其表達式分別如式(14)和式(15)所示：

類似于ISE性能指標優化算法的推導過程，可以得到基于IAE性能指標的梯度下降法參數優化算法：

2.1.3 Jeu目標函數

上述各準則考慮了綜合性能指標，包括響應速度、穩定性和超調量這些指標。它使用起來比較方便，但是如果控制器對某一性能指標的要求較高，例如：要求最大超調量最小、峰值時間最短、上升時間最短等，上述表達式難以實現。因此，提出了組合目標函數[12]。

為了獲得滿意的過渡性能和動態特性，采用誤差平方積分性能指標作為參數優化的目標函數。同時為了避免超調量過大，在目標函數中加入了控制器輸出的平方項。目標函數為：

式中：e(t)為系統誤差；u(t)為控制器的輸出；1ω和2ω為權值。其參數優化算法為：

另外，也可以在性能指標(17)的基礎上加入對超調量δ、上升時間tr等約束條件，即：

2.2 改進無模型控制的參數整定算法實現

運用梯度下降法對二階“泛模型”無模型自適應控制器的參數整定思路如下：

(1) 根據離線數據對被控對象辨識出 1個簡單的模型；

(2) 根據控制要求，選取參數優化的性能指標；

(3) 將其余無需參數整定的控制器參數進行設定；

(4) 根據式(6)可知1ρ的選取范圍為(0, 2)，因此，在參數整定時，在該范圍內選擇初始值；

(5) 根據性能指標的計算結果得到?J?1ρ；

(6) 運用下降梯度法對1ρ進行調整，即

(7) 判斷是否滿足性能指標要求，若滿足，則參數整定結束；若沒達到要求，則跳轉到第 5步繼續整定。

上述(5)～(7)步為運用梯度下降法進行二階“泛模型”無模型控制參數優化的步驟，如圖1所示。

圖1 梯度下降法參數優化流程圖Fig.1 Flow chart of parameter optimization of gradient descent method

3 仿真研究

針對三容水箱的三階慣性純滯后對象為[13]：

其中：靜態增益K=5；慣性時間常數T=3；純滯后時間τ=60。

3.1 二階“泛模型”無模型自適應控制仿真研究

從式(6)可以看出：2ρ的作用是減弱無模型自適應控制器的控制作用，使得控制器輸出更加穩定與準確。

仿真參數為：

改進無模型自適應控制器控制參數為：

ρ1=0.003 5；ρ2=0.35；λ=2；μ=2；ε=0.1；

MFAC控制參數ρ=0.002 8(其余參數同二階“泛模型”無模型自適應控制器)。相對于ρ1來說，ρ2的數量級較大。因為從式(6)可知： y*(k+1) -y(k )＞＞Δu(k -1)。二階“泛模型”無模型自適應控制器與MFAC控制方法的系統響應曲線對比如圖2所示。

圖2 改進MFAC與常規MFAC響應曲線對比Fig.2 Comparison of improved MFAC and MFAC

由圖2可知：二階“泛模型”無模型自適應控制算法與MFAC的調節時間分別為326 s和523 s；超調量分別為1.40%和0.14%；而上升時間分別為216 s和300 s。可以看出：在2種控制方法中，二階“泛模型”無模型自適應控制器的調節時間最短，相比MFAC快近200 s，盡管超調量比MFAC的略大，但滿足控制系統設計要求(2%)，上升時間也較快，并且在1 000 s時，當被控對象特性發生了改變時，二階“泛模型”無模型自適應控制算法依舊最先到達新穩態值，并且無超調，因此，二階“泛模型”無模型自適應控制具有較好的魯棒性和較快的響應速度。

3.2 二階“泛模型”無模型自適應控制參數優化的仿真研究

參數優化算法需要根據離線數據對被控對象辨識出一個簡單的模型，如圖3所示，可以看出實際對象與辨識出的近似對象相差很大。實際對象與辨識對象對比如下。

根據辨識結果可以看出：辨識出的被控對象參數與實際對象偏差很大，這就說明在二階“泛模型”無模型控制器的參數整定中辨識對象不需要較高的精度，并且運用簡單的二階純滯后對象即可對所有高階被控對象近似，適用范圍廣。接下來根據辨識出的對象帶入參數優化算法對實際三階純滯后對象進行控制器參數優化。

圖3 實際對象與辨識對象的階躍響應曲線Fig.3 Step response for real and identified objective

3.2.1 ISE系列目標函數參數優化仿真

運用下降梯度法為優化算法，并以式(11)為目標函數對二階“泛模型”無模型自適應控制器進行參數優化，優化結果如圖4所示，分析結果如表1所示。

當n=0時著重權衡大的誤差，在初始值1ρ=0.01時，控制系統具有較短的上升時間，但超調較大，在實際系統中往往存在偏差小但波動次數多，調節時間長，系統穩定裕量偏小等缺點；當n為1和2時較少考慮大的起始誤差，著重權衡過渡過程后期出現的誤差，有較好的選擇性，反映系統的快速性和精確性，相比較而言，ISTE的優化效果最好。

3.2.2 IAE系列目標函數參數優化仿真

運用目標函數式(14)和(15)對二階“泛模型”無模型自適應控制器進行參數優化，優化控制效果如圖 5所示，優化迭代次數及最終參數結果如表2所示。

圖4 目標函數分別為ISE，ISTE和ISTTE的參數優化效果Fig.4 Comparison of ISE, ISTE and ISTTE parameter optimization effects

表1 ISE系列目標函數參數優化效果對比Table 1 Results of ISE, ISTE and ISTTE parameter optimization

表2 IAE系列目標函數參數優化效果對比Table 2 Results of IAE and ITAE parameter optimization

IAE所具有的性質與式(11)的相同，ITAE與其有較大不同。從圖5可以看出：當初始參數1ρ=0.01時，兩者的優化效果并沒有明顯差異，但當初始值為1ρ=0.001時，ITAE優化出的參數明顯比IAE的好。ITAE對剛開始的誤差要求比較低，而對響應曲線最后出現的誤差要求比較高。它體現了控制系統所要求的快速性和精確性的品質。因此，它經常在優化或整定過程中得到應用。

3.2.3 對比總結

將上述各種目標函數中優化效果最好的幾種性能指標進行對比，以便得到最佳目標函數。

首先，通過對下降梯度法參數優化的仿真可以看出：在辨識模型與實際模型相差較大的情況下，仍可以將二階“泛模型”無模型自適應控制器參數調整到較好的程度，證明本優化算法可以只運用二階純滯后模型，便可以優化任何高階復雜的真實對象，具有較強的實用性。

由圖6及表3可以看出：ISTE目標函數主要對較大的誤差求和。以此為目標函數整定出來控制參數的響應曲線，具有快速的上升速度，需要較短的上升時間。但是，超調量比較大，穩定所需要的時間比較長，往往經過多次較小的偏差波動才能穩定。因此，不能很好滿足控制的要求。

而ITAE目標函數相對于ISTE來說，優化效果相對較好，穩定性更好一些。但是，相比于帶約束條件的Jeu，穩定性與快速性都差。這里在Jeu性能指標的基礎上增加了約束條件：超調量δ小于1%；上升時間tr＜300 s，即如式(19)所示。此類Jeu-tr型指標對應的優化迭代次數最少，更加實用與快速。因此，為了滿足綜合控制性能的要求，選擇Jeu-tr作為目標函數對無模型自適應控制器進行參數優化能得到最好的結果。

圖5 目標函數分別為IAE和ITAE的參數優化效果Fig.5 Comparison of IAE and ITAE parameter optimization effects

圖6 目標函數分別為ISTE，Jeu-tr和ITAE的參數優化效果Fig.6 Comparison of ISTE, Jeu-tr and ITAE parameter optimization effects

表3 目標函數參數優化效果對比Table 3 Results of ISTE, Jeu-tr and ITAE parameter optimization

4 結論

(1) 本文基于無模型自適應控制中“泛模型”的概念，從提高控制過程中“泛模型”精度的角度出發，提出了二階“泛模型”概念，給出了基于二階“泛模型”的無模型自適應控制(Second order universal MFAC)算法，并推導了控制器和泛模型的迭代求解方程。與常規無模型自適應控制比較的仿真結果表明，該方法具有較快的響應速度，并且對過程對象參數的攝動具有較強的魯棒性。

(2) 為了解決改進無模型自適應控制器參數整定問題，提出了下降梯度參數優化算法，針對不同類型的目標函數進行參數優化。仿真結果說明了該參數優化算法的有效性；采用帶約束條件的誤差平方與控制器輸出平方加權(Jeu)為目標得到的參數控制效果最佳，適宜二階“泛模型”MFAC的參數整定。

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