粗粒土初始各向異性彈塑性模型

褚福永 ，朱俊高，趙顏輝，何順賓

(1. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京，210098；2. 麗水學(xué)院 土木工程學(xué)系，浙江 麗水，323000；3. 中國水電顧問集團成都勘測設(shè)計研究院，四川 成都，610072)

各向異性是土的基本特性之一。一般來說，土的各向異性分為固有各向異性(Inherent anisotropy)和應(yīng)力誘發(fā)各向異性(Induced anisotropy)。固有各向異性是由土骨架的結(jié)構(gòu)各向異性引起的，如天然土在沉積的過程，土顆粒往往形成一定的排列方向，在排列方向上土的強度和變形與其他方向上不同。應(yīng)力誘發(fā)各向異性通常指由于應(yīng)力狀態(tài)的改變導(dǎo)致土結(jié)構(gòu)發(fā)生變形而引起的各向異性。近年來，國內(nèi)外學(xué)者[1-7]針對土的各向異性特性及其本構(gòu)模型已進行了大量的研究，并得到了一系列的進展。如 Wheeler等[1]基于對軟黏土的試驗研究，在修正劍橋模型的基礎(chǔ)上考慮K0固結(jié)誘發(fā)的土體各向異性，傾斜橢圓作為其本構(gòu)模型S-CLAY1的屈服面；魏星等[2]基本于邊界面本構(gòu)理論，提出了一個可以考慮初始各向異性和誘發(fā)各向異性對黏土應(yīng)力應(yīng)變行為影響的本構(gòu)模型；孔亮等[4]將Lade提出的旋轉(zhuǎn)硬化機制引入修正的劍橋模型中，建立了一個能反映應(yīng)力誘發(fā)的各向異性彈塑性模型；王立忠等[7]采用傾斜的屈服面來描述土體各向異性。以往對土體各向異性的研究大多是針對細粒土進行的，盡管國內(nèi)外學(xué)者一直以來對粗粒土都在從各個角度對其研究[8-15]，也有一些關(guān)于粗粒土各向異性的研究，但對粗粒土各向異性本構(gòu)模型研究很少。然而，在實際工程中，如土石壩的壩基的深厚覆蓋層，可以認為處于初始各向異性狀態(tài)(即存在固有各向異性的性質(zhì))，在其后的壩體填筑荷載及蓄水荷載作用下變形無疑會表現(xiàn)出各向異性。因此，粗粒土的各向異性研究具有重要實際意義。本文作者基于對修正劍橋模型以及S-CLAY1模型的深入分析，考慮粗粒土具有剪脹性這一特殊性質(zhì)，提出了一個適用于粗粒土的初始各向異性彈塑性模型，并對模型進行了初步驗證。

1 各向異性彈塑性本構(gòu)模型

1.1 屈服函數(shù)及硬化參數(shù)

S-CLAY1模型[1]用旋轉(zhuǎn)的橢圓屈服面替代了修正劍橋模型關(guān)于平均主應(yīng)力軸對稱的橢圓屈服面，并考慮加載過程中各向異性的演化，引入了綜合考慮塑性體積應(yīng)變和塑性剪應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)硬化準則。該模型比修正劍橋模型更符合K0固結(jié)土體的受力變形性質(zhì)。

為使建立的模型能夠反映初始各向異性，本文采用 S-CLAY1模型所采用的旋轉(zhuǎn)橢圓作為屈服面，其屈服函數(shù)為：

為確定后繼屈服面，需要確定硬化參數(shù)和硬化法則。本文模型建議了兩個獨立的硬化參量，即計算屈服面大小的硬化參數(shù)pk和旋轉(zhuǎn)硬化參數(shù)α。

圖1 各向異性屈服面Fig.1 Anisotropic yield surface

式中：β描述 dεvp和 dεsp的耦合程度；η=q/p為應(yīng)力比。

式中：dλ為比例系數(shù)。

把式(3)代入式(2)，可得：

當土體到達峰值強度(破壞)時，屈服面達到最大，即破壞面。以后，硬化不再發(fā)展，故土體的硬化模量dkp= 0。由于破壞時η = Mf(Mf為峰值應(yīng)力比，如圖1所示)，因此，由式(4)等于0可得：

由式(1)，可求得破壞(η= Mf)時：

將式(7)代入式(6)，可推求出β為：

下面利用等向應(yīng)力條件下粗粒土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系確定硬化參數(shù)pk。本文作者對文獻[8]中關(guān)門山主堆石料及文獻[9]中糯扎渡堆石壩Ⅰ區(qū)主堆石料等壓固結(jié)試驗結(jié)果進行了整理，并點繪出lg p0～lg εv之間(p0為各向等壓固結(jié)壓力)的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 粗粒土的等壓試驗結(jié)果Fig.2 Result of isotropic compression tests for coarse-grained soil

從圖 2可以看出：等向應(yīng)力條件下，lg p0～lg εv之間呈較好的線性關(guān)系。故建議粗粒土等壓條件下εv與p0之間關(guān)系采用下面表達式表示：

式中：h，m為材料參數(shù)；pa為大氣壓力。

等壓固結(jié)時沒有偏應(yīng)變，因此，依據(jù)式(2)有dkp=dεp。若假定等向卸載時應(yīng)力與彈性體變之間v也符合冪函數(shù)關(guān)系，即

式中：he為材料參數(shù)；εv0為狀態(tài)參數(shù)。

由式(9)和(10)求導(dǎo)可得

因此，塑性應(yīng)變增量 dεpv= dεv-dεev，從而，考慮到dkp=dεpv，故有

對模型的旋轉(zhuǎn)硬化參數(shù)α，采用文獻[18]給出的旋轉(zhuǎn)硬化準則表示。該準則也考慮了塑性體應(yīng)變和塑性剪應(yīng)變的耦合，表達式如下：

與式(5)同理，式(14)可改寫為：

其中：X2假定由下式給出[18]：

式中：l1和 l2是材料參數(shù)，分別描述各向異性發(fā)展的速度和程度。從式(16)可知：l1的數(shù)值越大，各向異性發(fā)展速度越快；η= l2α?xí)r，dα=0，說明一定比例的加載路徑下土體的各向異性不會得到發(fā)展。

1.2 模型方程的建立

假定彈塑性土體的全應(yīng)變增量dε是由彈性應(yīng)變增量dεe和塑性應(yīng)變增量dεp兩部分所組成，即

1.2.1 彈性部分

彈性體應(yīng)變和彈性剪應(yīng)變增量如下式所示：

式中：K為體積模量；G為剪切模量。

體積模量K可根據(jù)等壓回彈曲線求取，體積模量K和剪切模量G的表達式如下：

式中：ν為泊松比，近似取0.3。

1.2.2 塑性部分

由式(1)及相關(guān)聯(lián)流動法則可得到：

式中：g和f分別為塑性勢函數(shù)和屈服函數(shù)。

沿屈服面軌跡有df=0，從而可求出比例系數(shù)dλ。對式⑴求導(dǎo)，考慮到式(1)中的硬化參數(shù) kp與 p0之間有式(13)所示的隱式關(guān)系，可得：

將式(5)和(15)代入式(21)，整理可得：

三軸空間的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

其中，H的展開式為：

根據(jù)式(1)和式(13)可推導(dǎo)出：

將式(26)和(27)代入式(25)，便可得到明確的H的表達式。其中，p0可由式(1)確定。

2 模型參數(shù)的確定

本文各向異性模型參數(shù)共8個，分別為h，he，m，M，Mf，α0，l1和l2。參數(shù)h，he和m可根據(jù)等壓固結(jié)試驗的結(jié)果確定。

峰值應(yīng)力比Mf可用 Mf=6sinφ/ (3-sinφ)計算得到，φ為內(nèi)摩擦角。特征狀態(tài)應(yīng)力比M則用圍壓很大時不產(chǎn)生剪脹時的破壞時的q/p計算，或者可近似用公式 M=6sinφr/(3-sinφr)計算得到，φr為殘余內(nèi)摩擦角[10]。

α0為旋轉(zhuǎn)硬化參數(shù)α的初始值，可通過粗粒土K0固結(jié)試驗確定屈服面形狀，從而根據(jù)屈服面的性質(zhì)得到。但是通過試驗獲得準確的屈服面形狀是比較困難的。已有大量試驗結(jié)果證明，原狀土的初始屈服面傾角近似為K0線的傾角，因此，本文選用K0線的傾角作為初始屈服面的傾角。

參數(shù)l2可由α0計算[16]，l2=η0/α0，其中，η0=3(1-K0)/1 +2K0為初始應(yīng)力比；K0為靜止側(cè)壓力系數(shù)。

參數(shù)l1沒有明確的物理意義，而且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系對該參數(shù)不太敏感，一般可假定為10左右，也可通過固結(jié)排水三軸壓縮試驗結(jié)果采用優(yōu)化識別得到，即由模型計算應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，與試驗曲線最優(yōu)吻合所對應(yīng)的參數(shù)l1即為所求。

3 試驗結(jié)果與模型預(yù)測的比較

為了驗證本文建議模型的合理性，本文作者對雙江口覆蓋層土料進行各向等壓固結(jié)試驗和常規(guī)三軸試驗，用于確定模型參數(shù)，同時，進行了K0固結(jié)排水剪和 K0固結(jié)不排水剪大三軸試驗(K0=0.42，文獻[17]通過試驗測定)，將試驗成果與模型預(yù)測的結(jié)果進行了對比分析。試樣密度為 2.21 g/cm3，三軸試驗的固結(jié)圍壓均為0.2，0.5，1.2，2.0和2.5 MPa。

在K0固結(jié)不排水剪大三軸試驗中，為了提高試樣的飽和度，固結(jié)時施加了350 kPa的反壓力，以保證試樣飽和，同時測得準確的孔隙水應(yīng)力。利用等壓固結(jié)試驗和常規(guī)三軸試驗可確定模型參數(shù)(見表1)。

圖3和圖4分別給出了雙江口覆蓋層土料K0固結(jié)排水剪、K0固結(jié)不排水剪的試驗結(jié)果(以散點表示)和模型的預(yù)測結(jié)果(以實線表示)。

表1 模型參數(shù)Table 1 Material parameters of model

由圖3可知：模型不僅可以較精確地預(yù)測偏應(yīng)力與軸向應(yīng)變的關(guān)系，還能較好地反映粗粒土隨圍壓變化剪脹特性的變化情況，即低圍壓時剪脹特性明顯，隨著圍壓的增大，剪脹性減小，逐漸向剪縮性過度。

由圖4可知：模型能較好地預(yù)測K0固結(jié)不排水剪試驗的(σ1-σ3)-εa關(guān)系、u-εa關(guān)系及不排水剪的有效應(yīng)力路徑，尤其在圍壓較低情況下。說明模型能合理的反映粗粒土在 K0固結(jié)不排水應(yīng)力路徑下的應(yīng)力與應(yīng)變特性。

圖3 K0固結(jié)排水剪試驗結(jié)果和模型預(yù)測結(jié)果比較Fig.3 Comparison between predication and results of K0-consolidated drained triaxial test

圖4 K0固結(jié)不排水剪試驗結(jié)果和模型預(yù)測結(jié)果比較Fig.4 Comparison between predication and results of K0-consolidated undrained triaxial test

4 結(jié)論

(1) 提出了一個適用于粗粒土各向異性的彈塑性模型，該模型能夠反映粗粒土在各向異性條件下的應(yīng)力-應(yīng)變特性，特別是能夠較好反映粗粒土在各向異性條件下的剪脹特性。利用雙江口堆石壩覆蓋層料的各向等壓固結(jié)試驗及常規(guī)大型三軸試驗結(jié)果確定模型參數(shù)。利用該參數(shù)預(yù)測了粗粒土K0固結(jié)三軸排水剪及K0固結(jié)三軸不排水剪條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，與大三軸試驗結(jié)果進行了比較，吻合較好，初步證明了模型的合理性。

(2) 針對粗粒土各向異性的研究僅僅是初步的探討，考慮的因素還相對較少，例如模型尚未能考慮應(yīng)變的軟化特性，有關(guān)應(yīng)變軟化特性的研究還需進一步展開。模型對復(fù)雜應(yīng)力條件下應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的反映能力有待更多試驗驗證。另外，模型在實際工程問題中的應(yīng)用也有待于進一步研究。

[1] Wheeler S J, Naatanen A, Karstunen M, et al. An anisotropic elastoplastic model for soft clay[J]. Candian Geotechnical Journal, 2003, 40: 403-418.

[2] 魏星, 黃茂松. 黏土的各向異性邊界面模型[J]. 水利學(xué)報,2006, 37(7): 831-837.WEI Xin, HUANG Mao-song. Anisotropic bounding surface model for clays[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2006,37(7): 831-837.

[3] 姚仰平, 候偉. K0超固結(jié)土的統(tǒng)一硬化模型[J]. 巖土工程學(xué)報,2008, 30(3): 316-322.YAO Yang-ping, HOU Wei. A unified hardening model for K0overconsolidated clays[J]. Chinese Journal of Geotechnial and Engineering, 2008, 30(3): 316-322.

[4] 孔亮, 惠治鑫, 王燕昌. 基于旋轉(zhuǎn)硬化理論的修正劍橋模型的改進[J]. 巖土力學(xué), 2007, 28(增): 124-128.KONG Liang, HUI Zhi-xin, WANG Yan-chang. Elastci-plastic model of initial stress of anisotropy soft soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(增): 124-128.

[5] Dafalias Y F, Manzari M T, Papadimitriou A G. SANICLAY:Simple anisotropic clay plasticity model[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2006,30: 1231-1257.

[6] Taiebat M, Dafalias Y F. SANICLAY: Simple anisotropic sand plasticity model[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2008, 32: 915-948.

[7] 王立忠, 沈愷倫. K0固結(jié)結(jié)構(gòu)性軟黏土的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律研究[J]. 巖土工程學(xué)報, 2008, 30(6): 863-872.WANG Li-zhong, SHEN Kai-lun. Rotation hardning law based on elastropicoplastic constitutive model[J]. Chinese Journal of Geotechnial and Engineering, 2008, 30(6): 863-872.

[8] 張丙印, 呂明治, 高蓮士. 粗粒料大型三軸試驗中橡皮膜嵌入量對體變的影響及校正[J]. 水利水電技術(shù), 2003, 34(2):30-33.ZHANG Bing-yin, Lü Ming-zhi, GAO Lian-shi. Correction of membrane penetration in large-scale triaxial tests for granular materials[J]. Water Resources and Hydropower Engineering,2003, 34(2): 30-33.

[9] 相彪. 筑壩堆石料應(yīng)力路徑本構(gòu)關(guān)系研究[D]. 大連: 大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院, 2009: 42.XIANG Biao. Study on contitutive relations of dam rockfill Considering the effect of stress path[D]. Dalian: Dalian University of Technology. School of Hydraulic Engineering,2009: 42.

[10] 孫德安, 姚仰平. 顆粒材料的一個實用彈塑性模型[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2002, 21(8): 1147-1152.SUN De-an, YAO Yang-ping. A practical elastic-plastic model of granular materials[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2002, 21(8): 1147-1152.

[11] 楊光, 孫遜, 于玉貞, 等. 不同應(yīng)力路徑下粗粒土力學(xué)特性試驗研究[J]. 巖土力學(xué), 2010, 31(4): 1118-1121.YANG Guang, SUN Xun, YU Yu-zhen, et al. The testing research of mechanical properties of coarse-grained soil in different stress paths[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(4):1118-1121.

[12] 魏松, 朱俊高. 粗粒土料濕化變形三軸試驗研究[J]. 巖土力學(xué), 2007, 28(8): 1609-1615.WEI Song, ZHU Jun-gao. Study on wetting behavior of coarse grained soil in triaxial test[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007,28(8): 1609-1615.

[13] 古興偉, 沈蓉, 張永全. 復(fù)雜應(yīng)力路徑下糯扎渡堆石料應(yīng)力-應(yīng)變特征研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2008, 27(Supp.1):3251-3260.GU Xing-wei, SHEN Rong, ZHANG Yong-quan. Study on stress-strain properties of rockfill materials under different stress paths in Nozhadu project[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(Supp.1): 3251-3260.

[14] SHI Wei-cheng, ZHU Jun-gao, CHIU Chung-fai, et al. Strength and deformation behaviour of coarse grained soil by true triaxial tests[J]. J Cent South Univ Technol, 2010, 17(5): 1095-1102.

[15] Zhu H N, Mehrabadi M M, Massoudi M. Three-dimensional constitutive relations for granular materials based on the dilatantdouble shearing mechanism and the concept of fabric[J].International Journal of Plasticity, 2006, 22: 826-857.

[16] Yasufuku N, Murata H, Hyodo M, et al. A stress-strain relationship for anisotropically consolidated sand over a wide stress region[J]. Soils and Foundations, 1991, 31: 75-92.

[17] 沈靠山. 覆蓋層砂卵石料靜止側(cè)壓力系數(shù)研究[D]. 南京: 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院, 2009: 54.SHEN Kao-shan. Study of coefficient of earth pressure at rest on gravel soil[D]. Nanjing: Hohai University. College of Civil and Transportation Engineering, 2009: 54.