基于Copula函數和王變換的巨災死亡率債券定價研究

尚 勤， 秦 學 志， 張 悅 玫， 胡 友 群

（大連理工大學 管理與經濟學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

巨災死亡率債券是國際上新興的一種風險證券化產品.這類特殊的債券交易可以提升壽險公司承保和抗風險能力，增強保險業在救災、搶險以及災后重建中的作用，減緩國家的財政壓力.同時，還可以為資本市場的投資者提供新的投資工具，有利于實現保險業與資本市場的融合與共贏.2003年底瑞士再保險公司發行了世界上第一只死亡率債券，成為死亡率風險證券化具有開創意義的嘗試.隨著世界范圍內巨災事件的增多，此類產品的研發已得到國際理論和實業界的強烈關注.但中國在此領域的研究還處于定性討論階段.目前，我國巨災風險不斷升級，保險業發展滯后，此類產品定量研究的必要性和緊迫性不斷凸顯.

巨災死亡率債券定價有兩個關鍵點或難點：一個是對合同中指定地區的人口死亡率風險的合理預測；另一個是定價的方法要適用于此類債券交易所處的不完全市場.有關人口死亡率的預測，最初采用的是靜態模型，并未考慮時間因素的影響，不能反映死亡率隨時間的動態變化.Lee等［1］考慮到死亡率變動與年齡、時間的相關性，提出了Lee－Carter模型，給死亡率預測研究帶來了突破性進展.隨后，一些學者對Lee－Carter模型進行了擴展和修正［2、3］.近年來，一些學者利用隨機過程理論更加細致地刻畫出了死亡率的波動特征.如Milevsky等［4］通過It 死力過程來刻畫死亡率的隨機變動；Dahl［5］應用正隨機利率模型刻畫死亡率等.死亡率預測研究已經取得較為豐碩的成果，但應用于巨災死亡率債券觸發指數的設計還存在一些不足.現有研究側重于單個地區死亡率的預測，而巨災死亡率債券要預測的是多個地區的聯合死亡率狀況.巨災發生時，有些地區的死亡率可能會出現跳躍，并且不同地區死亡率之間不可避免地會具有一定的相關性.現有研究均缺乏對這些特征的有效描述，難免會造成對死亡率風險的低估，影響巨災死亡率債券定價的準確性.另外，關于死亡率風險證券化產品具體定價方法的研究，已有學者進行了嘗試.Friedberg等［6］應用資本資產定價模型（CAPM）和以消費為基礎的資本資產定價模型（CCAPM）計算死亡率風險的費用，研究得出利用以上基于完全市場假設的定價理論度量死亡率風險會出現較大的誤差.Dahl等［7］將風險中性定價方法應用于死亡率風險證券化產品定價，在理論上得出了較好的結果，但還未能進行實證研究.Wang提出一類均衡定價方法［8、9］，利用概率分布扭曲的方法實現了在不完全市場中的風險定價，并且具有簡明的表達式，在實證研究中具有較明顯的優勢.Lin等［10］將Wang變換方法引入巨災死亡率風險定價研究，并進行了相關數據分析，驗證了Wang變換方法在巨災死亡率債券定價研究中的可行性和有效性.本文利用跳－擴散過程刻畫死亡率的隨機波動及其跳躍特征，引入Copula函數對不同地區死亡率之間的相關性進行描述，以增強多個地區聯合死亡率預測的合理性；并在新的理論框架下運用王變換，進一步完善巨災死亡率債券的定價模型.

1 死亡率指數構建

為了更加合理地構造死亡率指數，本文從加強死亡率的跳躍性和相關性這兩個重要特征的刻畫，對現有研究進行完善.

1.1 死亡率服從的跳－擴散過程

首先，利用含Poisson頻率的跳－擴散過程描述某個地區人口死亡率的隨機變化特征.此隨機過程能夠描述出巨災發生時死亡率出現跳躍的特征，相對于不帶跳的隨機過程，更加符合死亡率隨機波動的實際情況.

式中：αi為地區i死亡率指數瞬間變化的期望；σi為死亡率指數的瞬間方差為標準布朗運動；為參數為的泊松過程為跳躍頻率為跳躍幅度，服從對數正態分布期望值為υi＋1，即

死亡率指數在（t，t＋Δt）內發生跳躍的概率為

需要說明的是含有跳躍項的隨機過程還有很多，本文綜合考慮隨機過程的代表性和運算性質選用了以上含Poisson頻率的跳－擴散過程.當然，根據實際需要利用其他帶跳的隨機過程對死亡率進行刻畫時，本文的定價方法同樣適用.

1.2 基于Gumbel Copula函數的死亡率指數

由于地理或人文環境的相似性，不同地區的死亡率并不是相互獨立的，而是具有一定的相關性.缺乏死亡率之間相關性的刻畫是現有死亡率指數構建存在的主要不足.事實上，巨災爆發時相鄰災區的死亡率協同變化明顯增強，甚至可能同時出現跳躍的極端情形.為了進一步完善死亡率相關性特征的刻畫，本文引入Copula函數.

Copula函數是探索隨機變量之間非線性相依結構的有力工具.不同類型的Copula函數可以描述不同的相關性模式［11］.本文主要討論Archimedean Copula函數族.這類Copula函數處理尖峰厚尾特征的觀測樣本（人口死亡率普遍具有尖峰厚尾的分布特征）具有良好的性質，其函數的具體表達式為

其中φ（·）稱為Archimedean Copula函數的生成元.按照生成元的不同，Archimedean Copula函數分為二十幾種.其中最具代表性的有3種，如表1所示.

表1 具代表性的Archimedean Copula函數Tab.1 Representative Archimedean Copula functions

圖1是3種Archimedean Copula函數分布密度圖.Clayton Copula函數分布密度上尾低，下尾高，對分布的下尾變化十分敏感，能快速捕捉到下尾相關的變化，可用于描述下尾相關性特征；Gumbel Copula函數密度分布上尾高，下尾低，對分布的上尾變化十分敏感，能快速捕捉到上尾相關的變化，可用于描述上尾相關性特征；而FrankCopula的分布密度具有對稱性，對上尾和下尾相關性描述都不敏感，難以捕捉到尾部相關性變化.

圖1 3種Copula函數分布密度Fig.1 Three kinds of Copula function distribution density

不同地區死亡率之間的相關性，主要表現在上尾相關性特征.即巨災發生時一個地區死亡率上升，其他地區死亡率上升的概率增大的情形.例如印度洋海嘯事件，導致十多個國家的人口死亡率的協同上升.因此要利用能夠快速捕捉這種相關性特征的Gumbel Copula函數來刻畫不同地區死亡率的相關特征，以此完善死亡率指數的構造.

現將二元Gumbel Copula函數擴展到n元：

則由n個地區人口死亡率生成的n維隨機向量的聯合概率分布可寫成

其中

2 雙因子王變換下的巨災死亡率債券定價模型

巨災死亡率債券定價的基本原理與其他類型債券相似，都是計算債券預期未來現金流的現值.由經典的資產定價理論可知，在一個完全市場中，任何一種現金流均可由該市場中交易的某些證券組合加以復制［12］.而巨災死亡率債券的現金流受地震、颶風、洪水等自然災害或其他保險風險的影響，通常無法由股票、債券等傳統資產的組合來復制，只能在不完全市場的條件下對死亡率關聯債券進行定價.為克服不完全市場定價這一難點，本文利用王變換方法.

2.1 王變換

王變換定義扭曲算子（distortion operator）：

其中Φ（·）是正態分布函數，λ為參數，0＜u＜1.

設隨機變量Z為保險市場中在區間［0，T］的負債，記F（z）為其分布函數，則扭曲分布

即為F（z）的單因子王變換（one－factor Wang transform）.

這里，λ為市場風險價值，反映了保險市場中的系統風險或公司特有的不可對沖的風險水平.單因子王變換要求概率分布已知.然而，實際研究中概率分布經常是根據有限的樣本數據估計得到的，即使選擇很好的樣本和參數估計方法也不可避免地會出現參數估計結果不準確的情況.為了解決這一問題，Wang給出了雙因子王變換（two－factor Wang transform）：

其中Q是t分布函數.

王變換的意義在于產生了一條經過“風險調整”后的“價格曲線”F＊（z）.用F＊（z）替代原累積函數F（z）求期望，再通過折現計算，就可以得到不完全市場中負債的公平價格.

2.2 巨災死亡率債券的定價模型

本文利用Gumbel Copula函數構造的死亡率指數，只能通過參數估計得到其分布情況.為了減少由于參數不確定性帶來的誤差，下面通過雙因子王變換為巨災死亡率債券定價.

設單位本金在t時刻的損失為

其中1＜a＜2，1＜b＜2且a＜b.

則到期日債券的價值

設r為無風險利率，則面值為F的巨災死亡率債券的價值

其中死亡率指數聯合分布為

1) 從通航凈高尺度看，與橋梁凈高相關。根據《運河通航標準》[10]規定，長三角地區二～四航道等級的水上過河建筑物通航凈高尺度為7 m，對標大運河全線7 m以上凈高橋梁，目前共計342座，占比85.3%(見表7)，相比2006年發布《辦法》前增長13個百分點，但仍有50座非標橋梁存在，主要分布在浙江內河四級航道，但按照浙江段三級航道整治工程計劃，橋梁改建后凈高均為7 m。對于其余河段非標橋梁，或因沉降略微下降高度或可通過其他航道繞行，因此運河全線通航凈高以7 m為限。

E＊為聯合概率分布C雙因子王變換為C＊后的期望值，

3 實證分析

本文利用汶川地震受災最為嚴重的兩個省份——四川省和甘肅省的人口死亡率數據進行相關的實證分析.

3.1 數據說明

人口數據來自中國人口信息網、《中國統計年鑒》和《新中國五十年統計資料匯編》.無風險利率初值的選取為2007－12－29發布的1年期Shibor 5日均值4.569 7%，相關數據來自http：／／www.shibor.orgshibor／web／shiborDefDownIFrame.jsp.

由圖2可以看出，自建國以來兩省的人口死亡率均呈現下降趨勢，且具有相類似的波動形態.在1959～1962年3年自然災害時期，兩省同時出現死亡率的跳躍.

圖2 四川省和甘肅省人口的死亡率Fig.2 Total population death rate of Sichuan and Gansu provinces

表2描述的是兩組樣本數據的統計特征，偏度均大于0，峰度均大于3.可以判斷兩組數據的分布均具有尖峰、厚尾和右偏的特征.進一步檢驗兩個省人口死亡率的相關性，利用SPSS軟件計算得出，Kendall相關系數τb為0.614，說明兩組數據具有較強相關性.

表2 統計特征描述Tab.2 Statistical characterization description

3.2 參數估計

巨災死亡率債券定價模型復雜且存在死亡率數據不足的問題，為減少參數估計的誤差，本文整合現有參數估計方法的優勢，分階段估計參數.首先，采用Lee等［13］的跳辨識方法估計式（1）中的跳躍項參數.把跳躍項參數估計結果代入式（1）再利用 MCMC算法［14］，估計剩余的參數αi和σi.進一步，利用Lin等［10］的方法估計市場風險價值λ，通過Kendall相關系數估計參數θ［15］.結果如表3所示.

表3 巨災死亡率債券定價模型中的參數估計結果Tab.3 Results of parameter estimation for pricing model of catastrophe mortality bonds

3.3 定價實例

設計票面價值10億元人民幣的5年期本金有風險的巨災死亡率債券.該債券2007年底發行，2013－01－01到期.債券給付與四川省和甘肅省的聯合人口死亡率指數qt相關聯.

四川省和甘肅省人口總數比近似為7∶3（中國人口信息網），設四川省人口死亡率在死亡率指數中的權重為70%，甘肅省人口死亡率的權重為30%.用表示2007年四川省人口死亡率乘以表示甘肅省人口死亡率乘以1 000.由2008年《中國統計年鑒》可知6.65.則2007年實際死亡率指數為如果死亡率指數累積惡化程度超過2007年實際死亡率指數的10%，壽險公司就可以按比例減少對投資者的本金支付，作為死亡率風險補償.如果累積死亡率超過2007年死亡率指數的30%，就可以提取全部本金支付.單位本金損失的表達式為

利用Gumbel Copula函數描述兩省死亡率的相關性特征，進一步通過雙因子王變換得出巨災死亡率債券的定價公式：

式中：E＊是qt服從概率分布為C＊的期望值，其 中

由于V＊沒有顯式表達式，下面通過Monte Carlo模擬計算債券價格，步驟如下.

第1步 生成n個服從（0，1）獨立均勻分布的隨機向量（v1v2）T.

第2步 生成（u1u2）T：令u1＝v1；u2是如下方程的解：

這里，由于u2沒有封閉解，采用牛頓迭代法求解.

t＝1 時可得從而得到q1＝

t＝2 時可得從而得到q2＝

t＝5 時可得從而得到q5＝

第4步 重復第1～3步k次，就可以用算術平均來估計qt.

第5步 代入價值公式（7）計算V.

利用Matlab軟件編程計算，當模擬次數達到10 000次時結果趨于穩定，可得債券的價值為6.570 8×108.由于價格計算采用固定利率折現，計算結果的可靠度主要取決于通過Monte Carlo模擬得到的死亡率指數.利用K－S檢驗對死亡率指數的擬合優度進行檢驗.在0.95的置信水平下，P值為0.726 3，遠大于0.05，通過檢驗.說明Monte Carlo模擬10 000次預測的死亡率指數與真實值擬合優度良好，進而驗證了計算結果的有效性和一致性.

3.4 參數敏感度分析

下面分析定價模型中主要參數的敏感度.圖3（a）是參數a和b單個變動或同時變動對巨災死亡率債券價格的影響，可以為債券設計中a和b的取值提供一定的參考.圖3（b）分析的是死亡率的跳躍參數的敏感度，可以看出死亡率跳躍參數對債券價格的影響是顯著的，從而也驗證了本文對死亡率跳躍特征的描述是必要的.

圖3 參數變動下V＊的趨勢圖Fig.3 Tendency graph of V＊ under the change of parameters

4 結 語

本文從我國巨災嚴重、保險業發展滯后的客觀實際出發，設計了一類巨災死亡率債券，意在大幅度提高保險公司對巨災保險的承保能力，扭轉長期依賴國家財政的被動局面.在債券的設計和定價上，主要從死亡率指數的構造和不完全市場定價方法兩個方面彌補了國際上現有研究存在的不足.利用含Poisson頻率的跳－擴散過程和Copula函數構造的死亡率指數，涵蓋了死亡率的跳躍性和相關性特征的描述，較已有研究對未來死亡率風險的預測更為合理.在定價方法上，通過王變換實現了在不完全市場中給巨災死亡率債券定價的方法，避免了基于完全市場假設的定價方法可能產生的偏差.在理論推進的基礎上，本文針對我國災害多發區四川省和甘肅省兩省的人口死亡率數據，給出巨災死亡率債券的定價實例，并通過價格計算、參數敏感度分析等實證分析驗證了定價模型的可行性和有效性.巨災死亡率債券不僅可以實現死亡率風險的有效管理，還能為資本市場帶來巨大商機，在我國擁有無限的潛力和發展空間.隨著我國資本市場的成熟，不久的將來，巨災風險證券化可能會成為巨大災害的風險管理機制中的重要環節.

［1］LEE R D，CARTER L R.Modeling and forecasting US mortality［J］.Journal of the American Statistical Association，1992，87（419）：659－671

［2］BROUHNS N，DENUIT M，VERMUNT J K.A Poisson log－bilinear approach to the construction of projected life tables［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2002，31（3）：373－393

［3］RENSHAW A E， HABERMAN S.Lee－Carter mortality forecasting with age specific enhancement［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2003，32（2）：379－401

［4］MILEVSKY M A，PROMISLOW S D.Mortalityderivatives and the option to annualize ［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2001，29（3）：299－318

［5］DAHL M.Stochastic mortality in life insurance：market reserves and mortality－linked insurance contracts［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2004，35（1）：113－136

［6］FRIEDBERG L， WEBB A.Life is cheap：using mortality bonds to hedge aggregate mortality risk［R］／／NBER Working Paper 11984.Cambridge：National Bureau of Economic Research，Inc.，2005：13－28

［7］DAHL M，M ／LLER T.Valuation and hedging of life insurance liabilities with systematic mortality risk［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2006，39（2）：193－217

［8］WANG S S.A class of distortion operations for pricing financial and insurance risks ［J］.Journal of Risk and Insurance，2000，67（1）：15－36

［9］WANG S S.A universal framework for pricing financial and insurance risks ［J］.ASTIN Bulletin，2002，32（2）：213－234

［10］LIN Y，COX S H.Securitization of catastrophe mortality risks ［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2008，42（2）：628－637

［11］韋艷華，張世英.Copula理論及其在金融分析上的應用［M］.北京：清華大學出版社，2008

［12］秦學志.金融工程理論與應用研究［M］.大連：大連理工大學出版社，2005

［13］LEE S S，MYKLAND P A.Jumps in financial markets：a new nonparametric test and jump ［J］.The Review of Financial Studies，2008，21（6）：2535－2563

［14］ERAKER B.MCMC analysis of diffusion models with application to finance［J］.Journal of Business and Economic Statistics，2001，19（2）：177－191

［15］CHERUBINI U，LUCIANO E，VECCHIATO W.Copula Methods in Finance ［M］.New York：John Wiley ＆Sons，2004