《空間解析幾何》課程的教學探討

郭春曉

（中國礦業大學(北京)理學院數學系，北京 100083）

《空間解析幾何》是高等院校數學系開設的一門重要的基礎課程,它對培養學生的數學素質，訓練與提高學生的抽象思維能力、邏輯推理能力有重要作用.同時,它又與數學分析、高等代數等課程有著密切的聯系.該課程的基本思想是用代數的方法來研究幾何，坐標法和向量法是其基本的研究方法[1].但是在實際教學中，學生認為空間解析幾何課程的內容相對抽象，對一些基本概念難以理解.如何使學生掌握課程的主要內容并培養他們嚴密的邏輯思維能力，是我們教學活動所要解決的問題.針對這些現象，筆者結合自己的教學實踐談一點教學體會.

1 提高緒論課和章節小結在教學中的比例

緒論是每門課程的第一堂課，是教師與學生的第一次正面接觸，因此講好緒論課，能促使學生對該門課程產生濃厚的學習興趣，同時又能使教師贏得學生的充分信任與尊重，從而為這門課程的進一步教學奠定良好的基礎.通過緒論課的學習，學生能從整體上把握這門課程，了解該課程的研究內容、研究對象、研究方法，進而了解整本書以及每個章節的重點、難點，使學生在學習過程中做到“有的放矢，胸有成竹”.在《空間解析幾何》的教學中，緒論課的教學尤為重要，因為絕大多數學生在高中時期就或多或少接觸了一些向量和坐標的基礎知識，使得他們無論是從學習動力還是從投入精力方面都有所減少，正是這種狀況使得學生對解析幾何課程的學習出現了懈怠情緒.筆者在教學過程中經常聽到學生們說學過這門課程的相關知識，他們基本上做完作業就很少再花時間在這門課程的學習上，而把更多的時間和精力留給了數學分析和高等代數.介于此種情況，如果緒論課不能激發學生的學習興趣，那么以后的學習可能越來越困難，慢慢就失去了學習的動力；相反若緒論課能講好，引起學生濃厚的興趣，那么學生會主動地學習，積極配合教學，能產生良好的教學效果.

好的開始是成功的一半，但是在教學過程中忌諱“虎頭蛇尾”.因此，“趁熱打鐵”及時對所學內容進行歸納總結，可以使學生把前后所學內容聯系在一起，融會貫通，更深刻地掌握所學知識.比如，當講授完向量與坐標這一章后，可以將向量積和行列式結合起來考慮，結束平面與空間直線這一章的教學后，可以將平面的參數式方程、點位式方程、三點式方程、截距式方程等進行比較，直線的參數式、射影式、一般式等進行比較，使學生能更好地掌握它們的聯系、區分這些基本方程式的區別，并能熟練的實現幾種方程的相互推導轉化.同時，再將平面和直線的方程與行列式的知識結合起來講解[2,3]，使學生能把分散的知識點系統化、有序化.

2 加強基本概念、重點概念的教學

數學概念是現實世界中客觀事物在數量關系上的抽象,反映了客觀對象普遍的本質屬性,這就決定了數學概念的抽象性.解析幾何是以向量、共線、共面、線性表示、線性相關等一系列抽象概念為主線的數學課程.對于抽象概念，若不注重引入方法而直接講解，會使學生難以接受.即使勉強接受也不能在實際中熟練應用.在這些概念的教學中，教師在授課過程中應注意用精練的語言準確的講清概念，強調揭示概念的實質，具體來說教師應注意以下幾點：

2.1 將抽象概念和實際問題相結合

解析幾何作為基礎課程，在數學專業的相關課程中都有應用.但在解析幾何教學過程中我們會發現，滿堂灌的教學方法往往會使學生感到單調乏味，因此在解析幾何教學中增加實用性教學就顯得尤為重要.可以考慮在解析幾何教學中引人生活或者數學中的實際案例，并引導學生用已經學過的知識去解決，這樣就使抽象枯燥的知識點變得實用有趣.例如，向量法講過之后，就可以用來解決三角形三條邊上的高、中線、角平分線交于一點的問題.而上面這些問題實際上是大家從初中高中就知道的一些基本常識.另一方面，講授概念時首先從概念的背景出發，由引例來導入概念，做到先具體后抽象，再到具體的問題中去.例如，在講向量的點積、向量積、混合積的概念時，就可以從計算點到直線的距離、三角形的面積、六面體的體積等實際問題引入.

2.2 借助概念的直觀性

數學的最大特點就是嚴謹，數學中每個概念都有嚴格的定義，在解析幾何的實際教學中，為了讓學生理解一些定義相對抽象的概念，如：向量、線性相關、線性無關等概念，教師可以先依托二維、三維向量，二維、三維向量空間等已知概念，逐步幫助學生實現由具體到抽象的思維過程.盡管抽象性是解析幾何的特點，但在教學中我們也要注意直觀性教學在本門課程中的應用.

再如，在講授空間直線方程的時候提到一個概念—方向數[1]：直線的方向向量的坐標或者與它成比例的一組數，稱為直線的方向數.對于標準式給出的直線方程，直接通過觀察法就可以得到這組數.但是對于由一般方程表示的直線如何求方向數呢？設直線L的一般方程為：

教材中用行列式的形式給出了這組數：

教師可以通過直觀的方法來解釋這組數.直線L可以看作兩個平面相交得到，故其一般式是由兩個平面方程聯立而得.那么第一個平面的法向量與直線垂直，第二個平面的法向量也與直線垂直.結合兩向量的向量積的概念，直線的方向向量可看作由兩個法向量做向量積得到，再結合向量積的行列式表示，自然就得到了由一般方程表示的直線的方向數.

2.3 注重概念的體系化

數學的概念很少是孤立的，理解概念之間的相互聯系既能促進新概念的引入，也有助于加強學生對已有知識的理解.解析幾何的知識點很多，看起來錯綜復雜，這就需要在講課過程中注重知識點的銜接和轉化.如向量共線、共面問題，既可以從向量的線性相關性方面理解，也可以從行列式是否為零的角度理解.讓學生把一個個孤立的知識點串聯成一套完整的理論體系.

3 注重習題課的教學，精選習題，歸納總結

目前，習題課的教學主要存在以下幾個問題：1.學生完成作業的質量不高，究其原因，教師布置了作業之后，一部分學生盲目地完成“任務”，并未挖掘題目深層次的內容；一部分學生參考習題集草草完成作業；一部分學生索性“拿來主義”，抄襲他人作業.2.由于課時的限制，往往留給習題課的課時很少，教師并未能充分地利用好這一環節.因此，精心組織好習題課，是提高教學質量的一個重要環節.在習題課上，教師要充分調動學生的積極性，把學生由被動學習轉變為主動思考，積極探索，歸納總結，吸收和消化所學知識內容.針對上面教學中的問題，習題課應該分兩大塊內容：一是充分發揮教師的作用.前面我們已經提到了章節小結的重要性.因此，習題課首先要總結這一章的主要內容，如向量法和坐標法是貫穿解析幾何課程始終的重要方法，為了使學生掌握并靈活應用這兩類方法，除了書上的例題，書后還有涉及此類問題的相關習題，結合這些題目教師可以總結出向量法和坐標法解題的一般思路.同時，在講習題課的過程中，培養學生歸納問題、總結問題的能力.二是精講典型習題.針對學生在做習題過程中出現的應付、抄襲等現象，首先，教師要解決的是習題的選取問題，要盡量按以下原則選題：1.題目形式要簡明，學生容易看懂，容易引起學生興趣，而且解法具有一定的技巧；2.所選習題要有代表性和啟發性.其次，教師在講解這些習題的時候要使得學生在正確理解和掌握基本概念的基礎上培養一定的解題能力，并靈活運用這些解題技巧.最后，通過批改作業，發現學生存在的共性問題，詳細講解，使學生真正明白問題的原因，并在以后的學習中加以改進.

4 發揮多媒體優勢,增強教學效果

多媒體教學是當前高校教學模式的重要手段.傳統的黑板加粉筆的教學模式已經很難滿足學生的學習需求.《空間解析幾何》課程的特點是課時少，而內容多，尤其是瑣碎的知識點比較多，再加上在教學過程中教師板書多，因此，在較短的時間內想把這門課講清楚，有一定的困難.而豐富的多媒體資源以其優異的計算功能和圖像功能可以彌補板書教學的不足，但同時，由于PPT頁面切換較快，又容易使學生產生“過眼不過腦”的結果.因此，如果PPT與板書兩者能完美的結合，我們的課程不僅會在教學內容、教學方式、教學手段上獲得很大的進步，也會使學生由怕數學轉變為愛數學.例如，第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面的教學，如果可以將多媒體教學和板書形式結合的恰如其分的話，教學效果會事半功倍.平行截面法是我們研究曲面的主要方法，但是有些曲面如馬鞍面本身圖就不太好畫，如果進一步在黑板上畫出曲面截面的話更是體現不出立體性，倘若我們借助于PPT教學，可以讓學生直觀的看到一些立體圖形，這樣不僅節省教學時間，對學生能深刻理解這些曲面也有很大的幫助.

5 “交流”有助于提高教學效果

作為年輕老師，需要從學生的角色迅速轉換成“傳道授業者”的角色.要想成為一名合格的大學老師除了有較高的學術水平外，還需要有充足的教學經驗.因此，教學活動中就需要積極的交流.一方面，教師應主動跟學生交流.我們都知道,教師與學生相處是否融洽對學生的學習成績有很大影響,而這主要取決于教師的表現.筆者講授的《空間解析幾何》課程，每周都有固定時間組織學生答疑，在答疑的時候，基本會先了解一下學生最近的學習情況,哪些知識點好學,哪些比較困難不好理解等等.根據這些信息,教師可以相應地調整教學內容和進度,重點講解那些“攔路虎”,不必浪費太多時間在簡單的知識點上面.如學生對向量的點積的計算比較熟悉，而對向量的向量積卻是第一次接觸，根據這些實際情況，教師可以把更多的精力放在向量積的教學上.像解析幾何這類課程，教師應采取啟發式、問題式教學模式,通過在引導、解惑和練習訓練上下功夫,激發學生的學習興趣,為學生創造充足的自主學習時間,調動學生自主學習的能動性.另一方面，教師之間經常交流可以促進教學水平的提高.在教學中，經常會有這樣的問題：老師在上面滔滔不絕，學生在下面不知所云.這種狀況要求教師要多與老教師交流、請教，并且多與學生交流，從中發現教學中的問題，并及時改正.筆者作為一名年輕教師，在與有經驗的教師的交流中獲益匪淺.

〔1〕呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

〔2〕韓瑞珠.線性代數與空間解析幾何教學中的一點體會[J].工科數學,2002,18（6）:52-58.

〔3〕楊純富.《解析幾何》課堂教學改革的實踐與思考[J].重慶文理學院學報，2006，5（1）：82-83.