分數階脈沖微分方程的反周期邊值問題

楊 柳，高正暉

（衡陽師范學院 數學與計算科學系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

反周期邊值問題是重要一類的邊值問題，它的研究得到了廣泛關注。反周期邊值問題產生于一些物理過程的數學模型當中，見文獻［1－2］。最近對分數階微分方程反周期邊值問題的研究可見文獻［3－4］。對于帶脈沖的分數階微分方程邊值問題，已有文獻多是討論階數 和2＜q的情形。

本文將研究如下分數階脈沖微分方程的反周期邊值問題

1 預備知識

令

定義1.1 一個函數u∈c，并且它的q階Caputo導數j1在上存在，且滿足 （1），那么它叫做問題 （1）的解。

為了處理問題 （1.1），首先考慮相聯的線性問題和它的解。

引理1.1 假設

對于給定的，如下邊值問題的解

按下式給出

1.在轉換師生角色上,積極探索和構建和諧民主的新型師生關系。“親其師,才能信其道。”課堂是一個情感場,學生們會帶著各種各樣的感情上每一節課。教師要在平等的前提下,嚴愛有度,走進學生的心靈,給學生信心,給學生溫暖,給學生希望,給學生可以觸摸到的未來,才可以建立良好的師生關系,學生才會因為喜歡這位教師而喜歡上這位教師的課。

證明 方程 （2）可以寫作

這里b0∈?

對于t∈J1，則有

這里b1∈?。這樣，有

考慮到△u（t1）＝Q1（u（t1）），可得

歸納可得

由u（0）＝－u（1）可得

化簡可得引理。

2 主要結果及證明

證明 首先證明算子T：PC（J，?）→PC（J，?）是全連續的。考慮到f，Qk的連續性，可知T是連續的。

令Ω?PC（J，?）是有界的。則存在常數K1＞0，K2＞0使得對于任意的u∈Ω，

這樣，對于任意的u∈Ω，有

這意味著

另一方面，對任意的u∈Ωτ1，τ2∈Ji，τ1＜τ2，i＝0，1，…，p，可得

根據tq在J上是一致連續的，可知T在Ω?PC（J，?）上是等度連續的。根據文獻［5］的引理5.4.1，可得T是相對緊的。這樣T：PC（J，?）→PC（J，?），是全連續的。

定義Ω＝｛u∈PC（J，?）｜‖u‖≤r｝，根據條件可得

對于u∈?Ω，可得

因為

所以，有‖Tu‖≤‖u‖，u∈?Ω。這樣，根據引理2.2，可得算子T至少有一個不動點，它就是邊值問題 （1）的解。

例2.1 考慮邊值問題

很明顯，它滿足推論2.1的條件，根據推論2.1可得此邊值問題至少具有一個解。

［1］Nakao M.Existence of an anti－periodic solution for the quasilinear wave equation with viscosity［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，204（3）：754－764.

［2］Shao J.Anti－periodic solutions for shunting inhibitory cellular neural networks with time varying delays［J］.Physics Letters A，2008，372（30）：5011－5016.

［3］Ahmad B.Existence of solutions for fractional differential equations of order with anti－periodic boundary conditions［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2010，34（3）：385－391.

［4］Wang G，Ahmad B，Zhang L.Impulsive anti－periodic boundary value problem for nonlinear differential equations of fractional order［J］.Nonlinear Analysis，2010，74（3）：792－804.

［5］孫經先.非線性泛函分析及其應用［M］.北京：科學出版社，2008.

［6］郭大均，孫經先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法［M］.濟南：山東科技出版社，2005.