一類對稱函數的性質及其應用

劉清華，余 啟，張 昱

（南華大學 數理學院，湖南 衡陽 421001）

1 定 義

Schur凸函數的概念由I.Schur于1923年引入，它不僅在建立解析不等式方面發揮著極大的作用，而且在統計學，經濟學以及其它方面也有著許多重要的應用（詳見Marshall和Olkin的專著［1－2］）。下面的定義可參見文獻［2－5］。

對于向量x＝ （x1，x2，…，xn），把其分量排成遞減次序后記為：x［1］≥x［2］≥ … ≥x［n］。

則稱x被y所控制（記為x?y）。

定義1.2 定義在集合Ω?Rn上的實函數φ稱為Ω上的Schur凸函數，如果

在Ω上x?y?φ（x）≤φ（y）。

如果對于任意的x?y且x不是y的一個重排，有φ（x）＜φ（y），則稱φ為Ω上的嚴格Schur凸函數。φ在Ω上為Schur凹（嚴格Schur凹）的，當且僅當－φ在Ω上是Schur凸（嚴格Schur凸）的。

判斷函數f（x）為Schur凸函數，有下面的Schur條件。

定理1.3 設Ω?Rn是非空的對稱凸集，函數f：Ω→R在Ω上連續且在Ω的內部Ω0可微，則f為Ω上的Schur凸函數當且僅當f為Ω上的對稱函數，且對于所有x∈Ω0，

如果不等式（1.1）對于xi≠xj（1≤i，j≤n）是嚴格的，那么f為嚴格Schur凸的。

由于f（x）是對稱的，則Schur條件（1.1）可簡化為［2］

如果（1.2）對于x1≠x2是嚴格的，那么f為嚴格Schur凸的。如果不等式（1.1）或（1.2）反向，那么f為Schur凹的。

則稱x被y對數控制，記為lnx?lny.

定義1.5 設I是 （0，∞）的子區間［7］，函數f：In→ （0，∞）稱為Schur幾何凸的，如果在In上lnx?lny?f（x）≤f（y）；函數f稱為Schur幾何凹的，如果In上lnx?lny?f（x）≥f（y）.

定理1.6 設f（x）＝f（x1，x2...xn）為對稱的［7］，且在In上有連續偏導數，那么f：In→ （0，＋∞）為Schur幾何凸函數當且僅當

如果不等式（1.5）反號，則f為Schur幾何凹的Marshall和Olkin在文獻［2］中研究了函數

的Schur凸性問題，這里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.

本文研究Ψ（x）的對偶形式：

其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我們將討論此函數的Schur凸性和Schur幾何凸性問題，并利用“優化理論”建立一些解析不等式。

2 Ψk，n（x）的 Schur凸性

為此，我們分兩種情形進行討論。

情形1. 當k＝2時，直接計算可得

取對數并求導，可得

于是，當x1≠x2時，我們有

情形2. 當3≤k≤n－1時 ，我們不難得到

取對數并求導，得到

當x1≠x2時 ，由（2.4）和（2.5）可得

綜合上述，定理得證。

類似定理2.1的證明，我們還可以得到下面的

特別地

當且僅當x1＝...＝xn時等號成立。

注：（2.7）為Mewman不等式［2，（2.8）為Shapiro不等式［3。這樣，我們重新建立和推廣了這些不等式。

當且僅僅當x1＝...＝xn時等號成立

注：如果在 （2.9）中取k＝1，可得著名的 Ky Fan不等式［1，p.5；4，p.363］：

當且僅當x1＝...＝xn時等號成立。

3.Ψk，n（x）的Schur幾何凸性

定理3.1 設xi＞0，i＝1，2，...，n（n≥3），那么

（1）函數 Ψ1，n（x）在 0，（1）n是Schur幾何凹的；

求導得

因此，當x1≠x2時，我們有

由定理1.6，Ψ1，n（x）在 （0，1 ）n上是Schur幾何凹的。

情形1. 當k＝2時，由（2.2）和（2.3）可得

情形2. 當3≤k≤n 時，根據（2.4）和（2.5），直接計算可得

再根據定理1.6，Ψk，n（x）是Schur幾何凸的。定理證畢。

證明： 利用定理3.1并注意到ln（G（x），...，G（x））?ln（x1，....，xn），即可得到該推論。

［1］E.F.Beckenbach and R.Bellman.Inequalities［M］.Berlin：Springer－Verlag，1961.

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［3］匡繼昌.常用不等式［M］.3版.濟南：山東科技出版社，2004.

［4］D.S.Mitrinovic.Analytic Inequalities［M］.New York：Springer－Verlag，1970.

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