二元一次不定方程的說課設計

李 文

（平頂山學院 數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000）

二元一次不定方程的說課設計

李 文

（平頂山學院 數學與信息科學學院，河南 平頂山 467000）

本文從教材分析、學情分析、教學方法、教學過程及設計意圖等方面對“二元一次不定方程”的教學進行說課設計，并把啟發式教學法、類比教學法和探究教學法融入到該節課的教學過程中；從而突出重點、突破難點，使學生更好地掌握該節內容，同時也為《初等數論》課程中其它內容的教與學提供參考.

說課；初等數論；二元一次不定方程

本文以閔嗣鶴、嚴士健編著的第三版《初等數論》第二章第1節“二元一次不定方程”為案例進行說課設計。下面我將從教材分析、學情分析、教學方法、教學程序四個方面進行簡要闡述.

1 教材分析

本節課的內容是二元一次不定方程，它是整冊教材中的重難點之一，這部分內容是第一章整除理論中有關知識的應用，是本章第二節學習多元一次不定方程的基礎，同時也為第四章求解一次同余式提供了一種方法.

根據師范教育的培養目標和初等數論教學大綱要求,對本節課我制定了如下教學目標：

基礎知識目標：⑴.掌握二元一次不定方程有整數的充要條件；⑵.理解并掌握在有解的情況下一切整數解的表達式；⑶.能熟練求二元一次不定方程的特解、正整數解和一切整數解。

能力訓練目標：鍛煉學生發現、分析和討論問題的能力；培養學生勤于思考、善于歸納總結、把所學知識融會貫通的能力。

情感態度目標：讓學生體會到數學中探索與發現的樂趣，激發學生的求知欲；讓學生體驗解決問題的過程，培養科學探究精神。

根據教材內容和教學目標我確定本節課的重點是二元一次不定方程有解的充要條件、一切解的表達式及求解方法。而難點是二元一次不定方程一切解的表達式及推導過程.

2 學情分析

學生在中學階段已經接觸到了二元一次不定方程；第一章又研究了整除、最大公因數、輾轉相除法等理論知識，而二元一次不定方程一切整數解的結構與《高等代數》中非齊次線性方程組通解的結構，以及《常微分方程》中常系數非齊次線性微分方程通解的結構有著類似之處，因此，學生具有學習本節課的知識基礎。大二的學生具有較強的抽象思維和邏輯思維能力，具備學習這節課的認知基礎.

3 教學方法

根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知情況，我采用啟發式教學法、類比教學法和探究教學法相結合的教學方法.

4 教學程序

為了實現本節課的教學目標，在教學過程中注意突出重點，突破難點，我將從以下六個環節來進行教學，具體過程如下：

4.1 創設情境——提出問題

在這一環節，首先介紹中國古代數學中著名的“百雞問題”。該問題學生在中學時就已經有所了解。學生通過分析，設出未知數x,y,z，可得不定方程組，進而消去未知數z，得到7x+4y=100.讓學生回顧中學所學解法。由此引出二元一次不定方程的一般形式

其中 a，b，c是整數，b≠0.

在引出新概念后，向學生提問：不定方程(1)一定存在整數解嗎？給出兩個簡單例子（如：2x+3y=5，2x+4y=1），學生通過觀察，可知答案是不一定的。在此基礎上，向學生提出本節課所要解決的兩個核心問題：

問題一：不定方程(1)在什么情況下，有整數解?

問題二：如果不定方程(1)有解，如何求出其一切整數解？

下面的環節將圍繞這兩個問題展開.

4.2 啟發探究——突出重點

這一環節中主要解決“二元一次不定方程有解的充要條件”這一問題.

首先，和學生一起觀察、分析二元一次不定方程的一般形式，引導學生利用第一章中整除和最大公因數的性質探究ax+by=c有解的必要條件，然后，讓學生討論該必要條件是否為ax+by=c有解的充要條件，并引導學生加以驗證。進而，引入定理2，該定理證明過程的板書，在學生主動分析問題時，同步完成。至此問題一得到解決.

這一環節的設計意圖是：在講解定理2時，我采用了引導學生利用所學知識先尋求有解的必要條件，然后驗證其充分性的做法。與直接展示結論再證明的做法相比，這樣做可以充分調動學生學習的積極性，更有助于培養學生自主探究問題的能力。讓學生體會到數學中探索與發現的樂趣，培養科學探究精神.

4.3 類比歸納——突破難點

通過例子使學生明白：如果二元一次不定方程有解的話，那么一定有無窮多個解。如何求出它的一切整數解呢？進而，讓學生回顧《高等代數》中非齊次線性方程組通解的結構，以及《常微分方程》中常系數非齊次線性微分方程的通解的結構。引導學生用類比的方法猜測，二元一次不定方程在有解的情況下一切解的結構——ax+by=0的通解+原方程的一個特解。進一步，啟發學生利用整除的性質，探究ax+by=0的通解.最后歸納總結二元一次不定方程一切解的表達式.組織學生分析討論，尋找證明思路，同時板書證明過程.為了讓學生加深對定理2的理解，給出一個簡單的二元一次不定方程（如：6x+4y=10），讓學生寫出該不定方程一切解的表達式.

這一環節的設計意圖是：通過類比教學法能激發學生把相關內容結合起來比較學習，使學生掌握從已知到未知探求解決問題的方法。這樣做能加深學生對所學知識的理解，使學生從知識和能力兩個方面得到同步提升.

定理1內容說明：如果知道二元一次不定方程的一個特解的話，就可以寫出該方程一切解的表達式。如果已知二元一次不定方程有解，那么怎樣去求出該方程的一個特解呢？由此，進入下一環節.

4.4 化歸討論——解決問題

引導學生由定理2充分性的證明過程發現，在有解的情況下，要求ax+by=c的特解，可轉化為求ax+by=(a,b)的特解.進一步，引導學生通過觀察發現ax+by=d 與 a1x+b1y=1（其中(a,b)=d,a=a1d=b1d）同解.最后，組織學生利用第一章所學的輾轉相除法及其性質，分析歸納出求形如不定方程a1x+b1y=1,(a1,b1)=1的特解的方法.至此，第一個環節中所提出的兩個問題全部得以了解決.

這一環節的設計意圖是：利用化歸思想把要解決的新問題，通過觀察、分析、聯想等思維過程，選擇恰當的方法進行轉化、歸結為熟悉的問題加以解決。這樣做可以使學生體驗解決問題的樂趣，激發學生的求知欲.

4.5 即時訓練——鞏固新知

在這一環節中，引導學生利用以上所學到的知識，解決“百雞問題”.為了使學生更好地掌握二元一次不定方程的求解方法，我將和學生一起分析討論例2：求111x-321y=75的一切整數解.

通過兩道例題講解，引導學生對二元一次不定方程的求解步驟進行歸納.

首先，利用定理2判斷二元一次不定方程是否有解；其次，若有解，利用輾轉相除法求出該不定方程的一個特解；最后，利用定理1寫出不定方程一切解的表達式.

為了使學生熟練地掌握二元一次不定方程的求解方法.我將設置一個課堂練習題：P31.1(a).讓學生自己動手完成.為了學生在課下可以更好的復習鞏固本節課的內容，我選擇部分習題作為課后作業.課后作業：P31.1(a)、3.

在本節課結束之前，向學生提出課后思考的問題：

問題1：由二元一次不定方程的一般形式寫出n元一次不定方程的一般形式？

問題2：嘗試利用本節所學到的方法，找出n元一次不定方程有解的充要條件？

這部分的設計意圖是：對課堂所學知識進行延伸，并為下節課的學習提供基礎.

〔1〕閔嗣鶴,嚴士健.初等數論[M].北京:高等教育出版社,2003.

〔2〕王丹華,楊海文,劉詠梅.初等數論[M].北京:北京航空航天大學出版社,2008.

〔3〕潘承洞,潘承彪.初等數論[M].北京:北京大學出版社,2003.

G642

A

1673-260X（2012）06-0239-02

平頂山學院校級教研項目（2010-YJ14）