淺談積分概念的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系

徐志科

（中原工學(xué)院 廣播影視學(xué)院，河南 鄭州 450000）

淺談積分概念的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系

徐志科

（中原工學(xué)院 廣播影視學(xué)院，河南 鄭州 450000）

首先，分析積分概念的本質(zhì)是某種和式的極限；其次，把這個(gè)本質(zhì)運(yùn)用在各類(lèi)積分中，并探討了各類(lèi)積分的關(guān)系及積分的計(jì)算；最后，談?wù)劮e分的應(yīng)用.

積分；極限；原函數(shù)

要深入透徹地理解學(xué)過(guò)的知識(shí)，在學(xué)習(xí)的時(shí)候，就要善于歸納小結(jié).什么叫“深入透徹”？簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，就是要領(lǐng)會(huì)概念、理論的本質(zhì)，并了解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.要做到這點(diǎn)必須多多思索.我們就積分學(xué)來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題.

在《微積分》課程的學(xué)習(xí)中，積分的學(xué)習(xí)是學(xué)生覺(jué)得比較困難的，首先，積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，逆運(yùn)算難于正運(yùn)算，計(jì)算難；其次，積分概念結(jié)構(gòu)復(fù)雜，概念抽象，理解難；最后，積分方法應(yīng)用廣泛，是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，運(yùn)用難.不過(guò)作者認(rèn)為只要抓住積分概念的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，就可以實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)帶面的學(xué)習(xí).

1 抓住各類(lèi)積分概念共同的本質(zhì)屬性

在《微積分》中，我們分別學(xué)習(xí)過(guò)一元函數(shù)定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分（這里先撇開(kāi)不定積分不談），各類(lèi)積分來(lái)源于不同的現(xiàn)實(shí)模型.究竟積分概念的本質(zhì)怎樣？各種積分有什么內(nèi)在聯(lián)系？我們撇開(kāi)其具體內(nèi)容表象，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括，就可以抽象出各類(lèi)積分概念共同的本質(zhì)屬性.

設(shè)在某一“區(qū)域”G定義了點(diǎn)函數(shù)f(P)（這里“區(qū)域”廣義地理解，后面將加以說(shuō)明），我們定義f(P)在G上的積分：

（1）將G任意分割為n個(gè)子域σk，大小為△σk(k=1,2,…,n)；

（2）在每一子域σk中任意取點(diǎn)Pk；

如果不論G怎樣分割、Pk怎樣取法，這和數(shù)當(dāng)最大子域的直徑δ趨于零時(shí)存在極限，這極限就稱(chēng)為f(P)在G上的積分.

這樣看來(lái)，積分概念的本質(zhì)是某種微元和式的極限，而構(gòu)成定義的要素是：任意分割、任意取點(diǎn)、求和、取極限.

為什么有各種類(lèi)型積分？“區(qū)域”G的選擇正是產(chǎn)生各種類(lèi)型積分的原因.在一維數(shù)軸上，取“區(qū)域”G為區(qū)間[a,b]，被積函數(shù)為一元函數(shù)f(x)，上述積分即為定積分；在二維平面上，“區(qū)域”G可以取一般平面區(qū)域，也可以取平面曲線，被積函數(shù)為二元函數(shù)f(x,y)，就相應(yīng)地有二重積分、平面線積分；在三維空間，情形就更復(fù)雜些，G可以取空間立體、空間曲線或空間曲面，就相應(yīng)地有三重積分、空間線積分或面積分.

2 抓住各類(lèi)積分計(jì)算的內(nèi)在聯(lián)系

抓住了各類(lèi)積分及不定積分與定積分關(guān)系，就可以從本質(zhì)上解決積分的計(jì)算問(wèn)題.

2.1 各類(lèi)積分之間關(guān)系的論證

牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式在本質(zhì)上所反映的是不同維空間同一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系，即它們都是將某一積分域上的積分用該積分域的“邊界”的另一類(lèi)積分表示出來(lái).一維空間的牛頓-萊布尼茨公式縱向發(fā)展成二維空間的格林公式，它把二重積分和線積分聯(lián)系起來(lái)，格林公式橫向推廣為斯托克斯公式，斯托克斯公式把線積分和面積分聯(lián)系起來(lái)，斯托克斯公式縱向發(fā)展成三維空間的高斯公式，高斯公式又把三重積分和面積分聯(lián)系起來(lái)，而二重積分、三重積分最終都化為定積分的計(jì)算，所以不管哪一類(lèi)積分的計(jì)算，最后都?xì)w結(jié)為一維空間定積分的計(jì)算.

各種積分計(jì)算上的聯(lián)系怎樣？就二重積分說(shuō)，我們總化為累次積分來(lái)計(jì)算：

從上式看，如果掌握了定限技巧，二重積分就化為定積分問(wèn)題；三重積分也一樣；線積分可以直接化為定積分；而面積分是先化為二重積分，再化為定積分，這樣，關(guān)鍵就在于計(jì)算定積分.

2.2 不定積分與定積分關(guān)系的論證

積分存在定理告訴我們，當(dāng)被積函數(shù)在G上連續(xù)時(shí)，積分一定存在，正因?yàn)榉e分存在，實(shí)際計(jì)算上我們可以不必任意分割、任意取點(diǎn)，而可以特殊分割、特殊取點(diǎn).例如，用定義計(jì)算定積分時(shí)，可以采取等分與取端點(diǎn)的方法.但這種計(jì)算方法在實(shí)際操作中是非常難，不可行的.

不定積分概念是某函數(shù)在區(qū)間I上所有原函數(shù)的集合，而定積分概念是一種“微元和式的極限”值，本來(lái)是兩個(gè)完全互不相關(guān)概念,但牛頓-萊布尼茨公式建立了不定積分與定積分之間的聯(lián)系，用原函數(shù)統(tǒng)一了積分與微分的關(guān)系，徹底解決了定積分的計(jì)算.

設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，由牛頓-萊布尼茲公式：

定積分又歸結(jié)為不定積分.這樣，各種積分的計(jì)算都?xì)w結(jié)為不定積分的計(jì)算.同學(xué)們，這樣看來(lái)，不定積分是何等重要，必須努力掌握不定積分的基本運(yùn)算，并且注意不要過(guò)多依賴積分表.應(yīng)該指出，不定積分還有其他廣泛的應(yīng)用.

我們?cè)倬团ｎD-萊布尼茲公式，談?wù)勗鯓由钊氲乩斫饫碚?我們知道，原函數(shù)與定積分的概念是作為導(dǎo)數(shù)與微分的逆運(yùn)算提出來(lái)的，正是牛頓-萊布尼茲公式建立了定積分與不定積分的深刻的本質(zhì)聯(lián)系.因?yàn)镕'(x)=f(x)，因而公式可以改寫(xiě)為

這一公式把導(dǎo)數(shù)與積分聯(lián)系起來(lái)，指明微分與積分是互為逆運(yùn)算的關(guān)系.導(dǎo)數(shù)與積分是微積分學(xué)二個(gè)最基本的概念，求導(dǎo)與求積是二種最基本的極限過(guò)程，這就使得牛頓-萊布尼茲公式成為整個(gè)微積分學(xué)的樞紐.應(yīng)該知道，不定積分是作為導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算的概念而引入，這與牛頓-萊布尼茲公式揭示的導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系，是根本不同的.同學(xué)們必須把定義與定理、概念與理論區(qū)別清楚.

上面談的是定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系.在理論上，其他各種積分也有深刻的內(nèi)在聯(lián)系.例如，格林公式體現(xiàn)了平面線積分與二重積分的內(nèi)在聯(lián)系.

3 理解積分的應(yīng)用

〔1〕許娟娟.微積分教學(xué)中學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011（12）：27-29.

〔2〕蕭樹(shù)鐵.大學(xué)數(shù)學(xué) 微積分(一)[M].北京：高等教育出版社,2003.

〔3〕劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔4〕謝芳.《微積分》課程中積分的學(xué)習(xí)[J].高校理科研究,2010（12）：68.

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