基于人工魚群算法的桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

李彥蒼，程芳萌，楊貝貝，張學(xué)志

(1.河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北邯鄲056038;2.濱州運通房地產(chǎn)開發(fā)有限公司，山東 濱州256600)

桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計思想從馬克斯威爾理論的提出到米歇爾桁架的出現(xiàn)，已有百年歷史。近年來仿生型優(yōu)化算法在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域開始興起，為解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題提供了新的思路和手段。其中，最具代表性的有遺傳算法和粒子群算法，目前基于這兩種算法及其改進算法的桁架尺寸優(yōu)化方向的研究已經(jīng)趨于成熟［1－4]。

李曉磊等于2002年提出一種新的智能優(yōu)化算法人工魚群算法(AFSA)［5－6]，通過魚群中各人工魚個體的覓食、聚群和追尾行為進行局部尋優(yōu)，經(jīng)過不斷迭代找到問題的最優(yōu)解。本文嘗試將人工魚群算法用于桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，以期提供一種新的優(yōu)化方法，同時針對其后期收斂速度慢、尋優(yōu)精度不高的缺陷，利用粒子群優(yōu)化算法的慣性權(quán)重調(diào)整策略對步長進行改進。

1 人工魚群算法基本理論

在基本人工魚群算法中，人工魚的視野決定了其搜索范圍的大小，步長決定了其收斂速度和尋優(yōu)精度的大小。一般情況下，視野范圍 Visual=4Step，人工魚的移動公式如下［7]:

式中Xi－人工魚當(dāng)前位置;Xj－目標狀態(tài)的位置;Xnext－人工魚移動后的位置;rand()－產(chǎn)生0－1之間的隨機數(shù);Step－人工魚移動步長的最大值。

基本人工魚群算法采用固定的 Step，在算法運行后期，不可避免的會出現(xiàn)人工魚在最優(yōu)值附近來回振蕩，而難以達到最優(yōu)解的情況。Step大，則人工魚移動的范圍就大，尋優(yōu)精度低，不易得到精確解;Step小，則人工魚移動的范圍小，能得到較精確的解，但收斂速度慢。

2 人工魚群算法的改進

2.1 初始解群的獲得

利用混沌運動遍歷性、隨機性等特點，采用Logistic方程得到初始解群［8]。

式中 Xk－被映射到［0，1] 區(qū)間內(nèi)的N維優(yōu)化空間的優(yōu)化變量;μ－控制參數(shù)，當(dāng) μ=4時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在此區(qū)間內(nèi)方程運動軌跡呈現(xiàn)混沌特征。

2.2 步長的改進

本文采用粒子群優(yōu)化算法慣性權(quán)重調(diào)整策略［9－10]動態(tài)地調(diào)整人工魚的步長。

式中Stepini－初始步長;Stepend進化到最大迭代次數(shù)時的步長;MaxStep－最大迭代次數(shù);t－當(dāng)前迭代次數(shù)。

3 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用

3.1 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的建立

(1)優(yōu)化模型

以截面積為設(shè)計變量的桁架優(yōu)化問題可以描述為

式中g(shù)i(x)－約束函數(shù);m －約束個數(shù)。

(2)目標函數(shù)

式中W(A)－結(jié)構(gòu)的重量;Ai－第i桿件的截面積;Li－第i桿件的長度;ρ－材料密度;n－設(shè)計變量個數(shù)。

(3)約束條件

各桿必須滿足強度、剛度、穩(wěn)定性及截面尺寸的要求，約束條件如下

式中 σ －第i桿的軸向正應(yīng)力;［σ] －材料的許用應(yīng)力;uj－節(jié)點j的位移;umax－節(jié)點j的許用位移;Amin、Amax－桿件截面積的上、下限。

3.2 優(yōu)化過程

步驟1:根據(jù)實例設(shè)置混沌初始化魚群規(guī)模N，魚群個體數(shù)Np，魚群最小步長Stepmin，最大嘗試次數(shù)Trynumber，最大迭代次數(shù)MaxStep，擁擠度因子δ等。

步驟2:魚群混沌初始化。在問題可行解空間中混沌產(chǎn)生N(N＞Np)條人工魚，從中選出Np條較優(yōu)個體作為初始魚群。

步驟3:計算并比較每個人工魚個體的函數(shù)值，把最優(yōu)值記入公告板。

步驟4:達到規(guī)定的最大迭代次數(shù)則輸出結(jié)果;否則轉(zhuǎn)向步驟5。

步驟5:根據(jù)粒子群優(yōu)化算法慣性權(quán)重調(diào)整策略的思想，按式(3)調(diào)整步長。

步驟6:將新魚群中最優(yōu)的函數(shù)值與公告板進行比較后更新。

步驟7:若達到規(guī)定的最大迭代次數(shù)，則輸出結(jié)果;否則轉(zhuǎn)向步驟5。

4 算例分析

建立25桿空間桁架結(jié)構(gòu)模型［11](圖1)，荷載工況見表1，應(yīng)力約束［－275.8，275.8] ，材料密度ρ =2 678 kg/m3，彈性模量 E=68 950 MPa，1、2 節(jié)點的最大豎向位移dmax=8.889 mm，L=635 mm。桿件分組見表2，優(yōu)化結(jié)果見表3。

表1 25桿空間桁架荷載工況Tab.1 Load cases of the 25 －bar spatial truss structure kN

表2 25桿空間桁架分類Tab.2 The classification of the 25 －bar spatial truss structure

在相同的約束條件下，采用改進的人工魚群算法對25桿桁架結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化，從表3可知，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總重量為216.118 kg，與其他相比，優(yōu)化結(jié)果得到了較好的改善。

設(shè)置如下控制參數(shù):Trynumber=5，Stepmin=0.8，Stepend=0.3，MaxStep=400，δ=0.618，N=50，Np=10，采用MATLAB軟件得到桁架優(yōu)化迭代關(guān)系曲線(圖2)。可以看出改進的人工魚群算法能夠搜索到全局最優(yōu)解，有較高的收斂速度和收斂精度，尤其在迭代計算的初期，效果非常明顯，迭代次數(shù)在38次左右時可以跳出局部最優(yōu)解，55次左右優(yōu)化結(jié)果基本平穩(wěn)。

表3 25桿空間桁架優(yōu)化結(jié)果比較Tab.3 Comparison of optimal designs for the 25 － bar spatial truss structure

5 結(jié)論

1)運用粒子群優(yōu)化算法慣性權(quán)重調(diào)整策略動態(tài)的調(diào)整人工魚的步長，很好的克服了基本人工魚群算法后期收斂速度慢、尋優(yōu)精度不高的缺陷。

2)在承載力優(yōu)化前后相差不大且符合設(shè)計要求的前提下，改進后的人工魚群算法經(jīng)過更少的迭代次數(shù)求得目標函數(shù)值，達到結(jié)構(gòu)重量最輕的目的。

［1] 唐文艷.結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的遺傳算法研究和應(yīng)用［D] .大連:大連理工大學(xué)，2001.

［2] 李麗娟，黃志斌，劉鋒.啟發(fā)式粒子群優(yōu)化算法及其在空間結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用［J] .空間結(jié)構(gòu)，2008，14(3):47－55.

［3] 李紅芳.混沌遺傳算法與結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計［D] .天津:天津大學(xué)，2004.

［4] 張忠偉.結(jié)構(gòu)優(yōu)化中粒子群算法的研究與應(yīng)用［D] .大連:大連理工大學(xué)，2009.

［5] 李曉磊，邵之江，錢積新.一種基于動物自治體的尋優(yōu)模式:魚群算法［J] .系統(tǒng)工程理論與踐，2002，22(11):32－38.

［6] BONABEAU E，THERAULAZ G.Swarm smarts［J] .Scientific American，2000，282(3):72－79.

［7] 劉彥君，江銘炎.自適應(yīng)視野和步長的改進人工魚群算法［J] .計算機工程與應(yīng)用，2009，45(25):35－37.

［8] 王曉敏，劉宏偉，李石妍.改進型混沌粒子群算法求解函數(shù)均值問題［J] .河北工程大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，28(3):100－104.

［9] 周書敬，薄濤，史三元.混合算法在輕鋼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用［J] .河北工程大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，28(2):71－74.

［10] 許小麗.一種新的交叉粒子群算法［J] .四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，23(1):19－22.

［11] 李峰，唐和生，薛松濤，等.粒子群優(yōu)化算法在桁架優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用［J] .土木建筑與環(huán)境工程，2009，31(1):7－12.

［12] 項寶衛(wèi).結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的模擬退火算法研究和應(yīng)用［D] .大連:大連理工大學(xué)，2004.