壽命服從weibull分布的系統固有可用度試驗方案

付 康 ，于永利，張 柳，徐 英，張 偉

（軍械工程學院裝備指揮與管理系，河北石家莊 050003）

固有可用度作為綜合設計參數，指僅與壽命和修復性維修時間有關的系統可用度，是產品使用和研制部門最關心的參數之一［1］。固有可用度A的表達式為

式中：X表示壽命；Y表示修復時間。

可用度驗證試驗作為驗收性試驗，其目的是在產品定型階段，在規定條件下，證明可用度是否達到規定要求，具有重要作用。完成固有可用度試驗需要一系列技術作支撐，其中試驗方案設計是非常關鍵的技術之一。

可用度試驗方案按截尾方式分為定時截尾、定數截尾和序貫試驗，而且隨著壽命和修復時間分布的變化，試驗方案設計也會變化。 相對于可用度估計的相關研究［2-4］，當前國內外可用度試驗方案相關研究較少，主要集中在壽命服從指數分布的定數截尾試驗方案的研究上。A試驗方案研究文獻情況見表1［5-11］。然而，在實際工作中，還有許多系統如隨機載荷下機械系統的壽命常用weibull分布來描述。因此，筆者針對系統壽命服從weibull分布，修復時間服從對數正態分布的情況，提出固有可用度定數截尾試驗方案。

固有可用度定數截尾試驗方案設計的目的是為滿足給定的承制方和使用方風險，通過計算選擇最小樣本量。因此，最小樣本量的確定問題是本試驗方案設計的核心問題。筆者主要分2個部分展開研究。首先提出相關假設和試驗運行過程，設計了定數截尾試驗方案。然后利用實例，設計了一個固有可用度試驗方案，并進行試驗的實施與判定。

表1 A試驗方案研究文獻情況表Tab.1 Study on availability A-test procedure

1 固有可用度定數截尾試驗方案的設計

1.1 背景與假設

1）固有可用度定數截尾試驗將系統狀態分為交替進行的開機與修復2種。

2）X服從weibull分布，X～W（γ，λ）。γ＞0，λ＞0。E（X）=（1／λ）Γ（（1／γ）＋1）。γ已知。X的概率密度為

3）Y服從對數正態分布，lnY～N（μ，σ2），σ2已知，σ＞0，E（Y）=exp（μ＋σ2／2）。Y的概率密度為

4）X與Y相互獨立，可獲得試驗數據為開機時間Xi與修復時間Yi，（Xi，Yi）為一組工作循環時間對。循環n次后結束試驗。

5）已知固有可用度檢驗上下限之間分別為A=A0，A=A1；A0＞A1。承制方風險為α，使用方風險為β，維修系數為

1.2 固有可用度驗證試驗方案設計

由式（1）和式（4）可得

式中A是ρ的嚴格單調減函數，對Α的檢驗可等價轉化為對ρ的檢驗。得ρ的檢驗下限和上限分別為

假設：

設立判定規則：Zn＞C，拒收H0，Zn≤C，接收H0，C為臨界值。

令S=Gγ／U，即S為分布與未知參數無關，分布完全已知的樞軸量。令Gγ=M，即S=M／U。M的概率密度fM（m）為

M與U相互獨立，（M，U）聯合概率密度f（m，u）為

S的概率密度h（s）為

因此得到：

接收概率函數L（ρ）為

構建接收概率方程組：

解接收概率方程組，可以確定C=C＊和n=n＊。

試驗方案（n＊，C＊）接收概率函數L＊（ρ）為

任一個定數截尾試驗方案（n＊，C＊）的抽檢特性（OC）曲線是該試驗方案接收概率函數的二維圖像描述。該曲線對于這個驗證試驗來說，能夠描述維修系數（等價于固有可用度）在檢驗上下限之間變化時接收概率的大小。因此，OC曲線具有重要的統計作用。

2 應用實例分析

2.1 固有可用度試驗方案的設計

給定：A0=90%，A1=80%；α=10%，β=10%；γ=1.5，σ2=0.25。可得ρ0=1／9，ρ1=1／4。利用接收概率方程組（15），可得C＊≈0.19，n＊≈8。判定規則為Z8＞0.19，拒收H0，Z8≤0.19，接收H0。

2.2 固有可用度試驗的實施與判定

表2 試驗樣本數據Tab.2 Test sample data

實施固有可用度試驗，得到8組試驗樣本。試驗樣本數據見表2。

E（X）和E（Y）的極大似然估計分別為

利用式（6），可以得到Z8：

由于Z8≤0.19，接收H0，固有可用度試驗通過，作出接收判定。

3 結 論

在假設壽命服從weibull分布、修復時間服從對數正態分布的前提下，設計了一種固有可用度定數截尾試驗。然而，由于本文一方面基于泰勒展開式，采用多項式近似替換的方法來求S的概率密度h（s），帶來誤差可能較大；另一方面，假設γ，σ2為已知。在γ，σ2未知時，如果用γ，σ2的強相合性估計量代替會進一步增加誤差。如何克服這些問題和不足在今后研究工作中將是重點。

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