一種魏格納-威利分布交叉項剔除新算法

席有猷，郝建華，程乃平，劉茂國

（1.裝備學院研究生管理大隊，北京 101416；2.裝備學院光電裝備系，北京 101416）

魏格納-威利分布（Wigner-Ville distributions，WVD）作為一種基本的時頻分析方法，最早由魏格納提出，并應用于量子力學領域，此后，威利將其引入信號分析領域，定義解析信號x（t）的WVD為

由于WVD沒有引入窗函數，避免了短時傅里葉變換中時間分辨率和頻率分辨率的相互牽制。而且WVD的時間 -帶寬乘積可以達到不確定原理的下界，所以目前還沒有一種時頻分析方法的時頻聚集性優于WVD。

WVD由于其優異的性能，在非平穩信號處理中取得了廣泛應用，然而WVD是雙線性變換，針對非線性調頻信號和多分量信號，WVD存在交叉項干擾。這種干擾在某些情況下會嚴重影響時頻分析的結果。國內外眾多學者在如何消除WVD交叉項上做了大量研究。PWVD通過信號時域加窗消除了部分交叉項［1］，SPWVD分別對信號在時域、頻域加窗，有效消除了交叉項，但帶來運算量成倍的增加［2-3］。文獻［4］和文獻［5］通過對信號的WVD進行加窗，實現了交叉項的抑制。然而，時域或頻域的加窗都會導致時頻聚集性的下降。文獻［6］和文獻［7］利用信道化思想，通過帶通濾波器將頻率分解后分別進行WVD分析，該方法信道劃分是一個難點，且不適用于各信道有相關性的信號分析。文獻［8］至文獻［10］也采用信道化思想，采用信號預處理手段將多分量信號分解為單分量信號的組合，進行WVD分析后再進行重構。文獻［11］至文獻［14］分別利用STFT，ASTFT及Gabor變換與WVD的聯合時頻分析來有效抑制交叉項干擾，但都降低了WVD的時頻聚集性。

筆者通過分析跳頻信號WVD分布交叉項的規律，提出一種剔除交叉項的算法，為時頻分析方法在信號處理中的應用提供了一種新的思路，理論推導和仿真結果表明，該算法可以有效消除多分量信號WVD分析時產生的交叉項，同時具有WVD優異的時頻聚集性。

1 跳頻信號WVD交叉項分布

從以上分析可知，多分量信號的WVD分布有交叉項干擾，跳頻信號是頻率隨時間跳變的非平穩信號，是一種特殊的多分量信號。

1.1 兩分量信號WVD的交叉項

設信號x（t）=x1（t）＋x2（t）的解析信號為z（t）=z1（t）＋z2（t），x1（t），x2（t）都為正弦信號，頻率分別為f1，f2。則z（t）的 WVD分布為

其中，z（t）的 WVD分布的自項為

交叉項為

由式（3）可知，交叉項相當于x1（t＋τ／2）x＊2（t-τ／2）和x2（t＋τ／2）x＊1（t-τ／2）的傅里葉變換，設x1（t），x2（t）的傅里葉變換為X1（jw），X2（jw），即x1（t）F→X1（jw），x2（t）F→X2（jw）。根據傅里葉變換的性質有：

根據卷積定理及X1（jw）和X2（jw）的特性，x1（t＋τ／2）x＊2（t-τ／2）和x2（t＋τ／2）x＊1（t-τ／2）的頻率均為（f1＋f2）／2。則z（t）的 WVD分布的交叉項頻率為（f1＋f2）／2。

1.2 多分量信號WVD的交叉項

設信號x（t）=x1（t）＋x2（t）＋ … ＋xn（t）的解析信號為z（t）=z1（t）＋z2（t）＋ … ＋zn（t），x1（t），x2（t），…，xn（t）都為正弦信號，頻率分別為f1，f2，…，fn。則z（t）的 WVD分布為

由式（5）可知，交叉項由不同頻率分量信號相乘時產生，顯然，n個信號相乘時共n2項結果，其中有n項為自項。由式（4）可知，xnx＊m與頻率相等，則n個分量信號的交叉項數為（n2-n）／2，交叉項頻率值為2個分量信號各自頻率的中值處。

1.3 跳頻信號WVD的交叉項

跳頻信號的模型可以寫為［15］

其中：0＜t≤T，T為信號的觀測時間，rectTH是TH的矩形窗，在［0，TH］為1，其他為0，fk為跳頻頻率，TH為跳頻間隔，αTH為跳頻定時偏差，n（t）為加性噪聲，S為信號功率。

WVD分布相當于對信號的自相關信號進行傅里葉變換，跳頻信號是隨時間變化的多頻率分量信號。類似于多分量信號，結合跳頻信號模型和WVD分布公式可知，在信號自相關的過程中，產生不同頻率分量的交叉項。

2 WVD分布交叉項剔除算法

通過研究WVD分布交叉項分布規律，設計交叉項算法步驟如下。

1）對WVD分布進行頻率提取，設共有k個頻率值f1，f2，…，fk。

2）對頻率按大小進行排序f1＜f2＜…＜fk。

3）建立2個數組A，B，為了保證不溢出，數組長度為k，初始化數組值為-1，自項數組為A，用于寫入WVD自項頻率值，設a＿count為寫入的自項頻率的數目，初始化為0。交叉項數組B，用于寫入交叉項頻率值，設b＿count為寫入的交叉項頻率的數目，初始化為0。

4）顯然，f1必然是自項頻率值，寫入數組A，記為a0，a＿count加1。f2必然是交叉項頻率值，寫入數組B，記為b0，b＿count加1。

8）結合數組B中的交叉項頻率值bi（0≤i＜b＿count），設計濾波器組剔除交叉項影響，獲得高時頻聚集性且沒有交叉項的WVD分布。

3 仿真驗證

設仿真信號x（t）為含3個跳頻點的跳頻信號，其跳頻頻率分別為100，200，400Hz，跳頻周期為1s。采樣頻率為1 024Hz。則對采樣后信號x（n）進行WVD分析，其結果如圖1所示。

通過時頻分析結果提取到的頻率為100，150，200，250，300，400Hz。利用上節的交叉項剔除算法，得到其自項頻率值為100，200，400Hz，交叉項頻率值為150，250，300Hz。根據自項頻率和交叉項頻率設計帶阻濾波器，濾除交叉項后的時頻分布如圖2所示。

圖1 跳頻信號WVDFig.1 Wigner-Ville distributions of FH signal

圖2 跳頻信號時頻分布Fig.2 Time-frequency distributions of FH signal

從圖2中可以看出，新算法不但濾除了交叉項，而且時頻聚集性優于短時傅里葉變換。

4 結 語

通過分析魏格納-威利分布在處理多分量信號時產生交叉項的特性，提出了一種交叉項剔除算法，理論分析和仿真驗證表明，新算法不但有效消除了交叉項的影響，而且保持了魏格納-威利分布優異的時頻聚集性，為抑制時頻分析結果中的交叉項提供了一種新的解決思路。

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