部分預應力混凝土受彎構件開裂截面應力計算

魏 煒

（長安大學公路學院，陜西西安 710064）

允許開裂的部分預應力混凝土B類受彎構件，在使用階段的受力情況，與全預應力混凝土及部分預應力混凝土A類構件的計算不同點在于截面可能已開裂。開裂截面的中性軸位置和幾何特性，不僅取決于混凝土截面尺寸，而且還取決于橫向彎矩的大小和預加力的大小及其作用位置、預應力鋼筋和普通鋼筋數量的多少，這使計算比較復雜。

部分預應力混凝土受彎構件截面開裂后的應力狀態，與鋼筋混凝土大偏心受壓構件很相似。但應該注意到，當外力為零時，鋼筋混凝土大偏心受壓構件截面上各應力均等于零（稱為“零應力”狀態），且僅有單一的偏心壓力作用。而作用在預應力混凝土受彎構件上的荷載，是在2個階段作用上去的，預加力階段預應力鋼筋的張拉回縮力Np及其對混凝土產生的預應力（實際上是2種材料的內部相互作用，并不能簡單地視為外荷載）；使用階段結構恒載和活載的效應——使用荷載彎矩M；預應力鋼筋的回縮力及其對混凝土產生的預應力與使用荷載產生的彎矩M不具有同時性，更不是比例加載，所以不能簡單地將這些作用力合成為一個偏心壓力，像鋼筋混凝土偏壓受壓構件一樣計算截面上的應力。為了能夠借用鋼筋混凝土大偏心受壓構件的計算方法，新舊《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》等［1-4］實際上均引入了一個“虛擬荷載”，“虛擬荷載”施加時在截面上的應力效應采用未開裂截面的幾何特性計算，卸掉時在截面上的應力效應卻采用開裂截面特性計算，該方法較難理解；文獻［3］也是采用“虛擬荷載”的方法，但為了避免解一元三次方程，采用了反復試算的方式求近似解；文獻［5］-文獻［10］也均采用“虛擬荷載”的方法，在理論上仍在重復前人的成果。

1 開裂截面應力計算

1.1 基本假定

預應力混凝土受彎構件開裂截面的應力計算，是屬于正常使用極限狀態的設計計算，仍按彈性理論進行，其基本假定如下：

1）受彎構件截面開裂后的變形仍符合平截面假定；鋼筋和受壓混凝土仍處于彈性階段；2）不計截面受拉區混凝土的拉應力；

3）不考慮裂縫與裂縫之間未開裂截面對計算的影響。

1.2 預加力效應

在配有非預應力鋼筋的預應力混凝土構件中，由于混凝土的收縮和徐變，使非預應力鋼筋產生與預加力相反的內力。為簡化計算，非預應力鋼筋的應力均近似取為混凝土收縮和徐變引起的預應力損失值。在截面全部預應力鋼筋和普通鋼筋的合力作用下（見圖1），預壓區、預拉區預應力鋼筋合力Np中心處混凝土的壓應變分別為

圖1 預加力效應Fig.1 Preloaded effect

式中：A為截面面積；r為截面回轉半徑；Ec為混凝土彈性模量；yp為預拉區預應力鋼筋合力中心至截面重心的距離；預壓區預應力鋼筋合力中心至截面重心的距離σcon-σl＋σl4（對先張構件），σp0=σpe=σcon-σl（對后張構件），σpe為預拉區預應力鋼筋的有效預應力，Ap為預拉區預應力鋼筋的總面積（對先張構件）（對后張構件）為預壓區預應力鋼筋的有效預應力為預壓區預應力鋼筋的總面積；ep為合力Np至截面重心的距離，其大小為

此時，預拉區和預壓區預應力鋼筋中的拉應變分別為

式中：Ep為預應力鋼筋彈性模量。

則預拉區預應力鋼筋與其重心處混凝土的應變差為

則預壓區預應力鋼筋與其重心處混凝土的應變差為

在截面全部普通鋼筋的合力Nl6作用下（見圖1），預壓區、預拉區普通鋼筋合力中心處混凝土的拉應變分別為

此時，預拉區和預壓區普通鋼筋中的拉應變分別為

式中Es為普通鋼筋彈性模量。

則預拉區普通鋼筋與其重心處混凝土的應變差為

則預壓區普通鋼筋與其重心處混凝土的應變差為

在以上計算中，對先張法施工的預應力混凝土構件，采用換算截面參數；對后張法施工的預應力混凝土構件，采用凈截面參數。

1.3 開裂截面應力計算

圖2所示為具有一般性的預應力混凝土受彎構件工字形截面開裂應力計算圖式。

圖2 開裂截面應力計算圖式Fig.2 Computation of stress of cracked section

受拉區混凝土因開裂退出了工作，受壓區混凝土應力、應變呈線性分布，受壓區高度為x，σc為受壓區邊緣混凝土壓應力。為計算簡便，先將受壓區擴張成矩形（×x），其上的合力為（壓力），其作用點距截面中性軸，再扣除腹板兩側2個矩形的作用，其上的合力為（拉力），其合力作用點距截面中性軸

水平方向（構件軸線方向）上力的平衡方程為

將具體表達式代入后，可得

進一步可導出

對中性軸取矩建立力矩平衡方程式∑Mz=M：

將具體表達式代入，可得

由式（3′）、式（4′）相等可得

式（5）與文獻［2］中所給出的結果相同，但以上導出過程力學概念運用明確，且易理解，無需引入“虛擬荷載”。由式（5）求得x后，再由式（3′）或式（4′）即可確定σc的大小，普通鋼筋中的應力由下式求得（拉應力為正）：

預應力鋼筋中的應力為

2 結 語

預加力導致預應力鋼筋與相鄰混凝土產生應變差；若鋼筋與混凝土之間黏結可靠，這一應變差就始終保持不變，采用這一基本方法或原理使預應力混凝土受彎構件開裂截面的應力計算公式的推演變得非常簡單易行。其過程具有概念清晰、易于理解的特點；所提出的方法對加筋混凝土偏心受壓構件具有普遍適應性。

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