珩磨機(jī)運(yùn)動(dòng)控制卡的三次B樣條曲線插補(bǔ)算法*

張萬(wàn)軍 胡赤兵 張 峰 張國(guó)華 龔 俊

（①蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730050;②蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730050;

③蘭州工業(yè)化設(shè)備有限公司，甘肅蘭州 730050）

在數(shù)控珩磨機(jī)加工中，經(jīng)常會(huì)遇到如飛機(jī)機(jī)翼、飛機(jī)葉輪等許多具有復(fù)雜外形輪廓的零件。在傳統(tǒng)數(shù)控加工中加工這些不規(guī)則曲線的零件時(shí)，加工程序只能通過(guò)離線方式CAD/CAM方式下編程來(lái)完成，這就使得加工速度受到嚴(yán)重限制。因此研究數(shù)控系統(tǒng)曲線的新的插補(bǔ)方法顯得尤為重要［1］。

三次B樣條曲線是在數(shù)控加工領(lǐng)域中應(yīng)用較多的樣條曲線，它可以用來(lái)描述復(fù)雜曲線曲面的零件輪廓。數(shù)控珩磨機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中通常用TMS320F2812芯片的結(jié)構(gòu)專門為實(shí)時(shí)信號(hào)處理而設(shè)計(jì)，集實(shí)時(shí)處理能力和控制外設(shè)能力于一身，處理功能強(qiáng)大，使用各種伺服控制系統(tǒng)。本文介紹將三次B樣條曲線與DSP運(yùn)動(dòng)控制卡技術(shù)相結(jié)合的實(shí)時(shí)插補(bǔ)方法，該方法克服了傳統(tǒng)軌跡插補(bǔ)方法的缺點(diǎn)，有效地簡(jiǎn)化了插補(bǔ)過(guò)程中的軌跡計(jì)算，提高了運(yùn)算速度和控制精度［2］。

1 三次B樣條曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)

1.1 三次B樣條曲線的數(shù)學(xué)表示

在三維空間中有如下關(guān)系［3］:

式中:u為參變量數(shù)（u∈［0，1］），Ai為為一組系數(shù)矢量。

1.2 三次B樣條曲線的實(shí)時(shí)插補(bǔ)

設(shè)V為沿曲線的進(jìn)給速度，可由曲線對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得到［4－5，7］:

因此，u對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)可以表示為

所以，一階展開式的近似計(jì)算公式為

當(dāng)插補(bǔ)周期T→0時(shí)，ui+1≈ui，可以滿足泰勒公式一階展開式插補(bǔ)近似迭代。如果曲線曲率半徑很小，便于可以滿足泰勒公式二階展開式插補(bǔ)近似迭代:

式（6）、（7）中，當(dāng)前ui+1與ui（xi，yi，zi）對(duì)泰勒公式求一階導(dǎo)數(shù)、兩階導(dǎo)數(shù)，得到（xi+1，yi+1，zi+1）的坐標(biāo)點(diǎn)。

1.3 三次B樣條曲線的插補(bǔ)弓高誤差分析

由于三次B樣條曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)，在每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)上不存在誤差，主要是弓高誤差影響了插補(bǔ)精度。弓高誤差指的是一段曲線上連接兩端點(diǎn)的弦與弧的最大法向差［3］。如圖1所示:2個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)分別為p（ti）和p（ti+1），徑向誤差為e可用e≈MN來(lái)表示，求得p（ti）和p（ti+1）的坐標(biāo)位置。令|p（ti）p（ti+1）|=V·T代入式（1）中得

1.4 三次B樣條曲線的插補(bǔ)算法流程圖

筆者針對(duì)上面插補(bǔ)算法的過(guò)程分析，給出了該插補(bǔ)算法的插補(bǔ)流程圖，如圖2所示。

2 利用DSP運(yùn)動(dòng)控制卡實(shí)時(shí)插補(bǔ)

本文采用的DSP運(yùn)動(dòng)控制卡數(shù)控珩磨機(jī)運(yùn)動(dòng)控制結(jié)構(gòu)圖如圖3所示，USB和RAM具有通訊和存儲(chǔ)的功能，主要是以 TMS320F2812為核心控制，DSP控制速度達(dá)到40MIPS的速度，總線擴(kuò)展通過(guò)CF卡來(lái)實(shí)現(xiàn)［6］。定時(shí)器T1、T2、T3發(fā)出的脈沖數(shù)來(lái)完成脈沖控制，通過(guò)控制運(yùn)動(dòng)控制卡定時(shí)器來(lái)調(diào)整插補(bǔ)軌跡，保證了3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸能同時(shí)到達(dá)預(yù)先的位置，實(shí)現(xiàn)3個(gè)驅(qū)動(dòng)軸的空間插補(bǔ)，達(dá)到了高速高精度插補(bǔ)的要求。運(yùn)動(dòng)控制發(fā)出的信號(hào)通常為“脈沖（CP）+方向（DIR）”的形式，該運(yùn)動(dòng)控制器輸出三組脈沖/方向信號(hào)，實(shí)現(xiàn)數(shù)控系統(tǒng)的速度和位置控制［1］。

在TMS320F2812 DSP運(yùn)動(dòng)控制卡上進(jìn)行實(shí)際控制時(shí)，每一臺(tái)電動(dòng)機(jī)軸驅(qū)動(dòng)器需要控制2個(gè)信號(hào)，一個(gè)脈沖CP信號(hào)和另外一個(gè)方向DIR信號(hào)。于是本文選用如圖3所示的DSP運(yùn)動(dòng)控制卡作為插補(bǔ)的數(shù)控系統(tǒng)，保證控制每一個(gè)軸的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置。應(yīng)用這種插補(bǔ)方法，在插補(bǔ)器上進(jìn)行調(diào)試，得到了預(yù)期的插補(bǔ)效果。下面主要介紹這種插補(bǔ)算法在硬件系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的思想。

控制脈沖的發(fā)送是通過(guò)定時(shí)器T1、T2、T3中斷來(lái)完成，設(shè)一個(gè)周期內(nèi)x軸、y軸、z軸的實(shí)際脈沖數(shù)為nnx、nny和nnz，令CPx=T/nnx，CPy=T/nny和CPz=T/nnz，則每一個(gè)脈沖的時(shí)間的坐標(biāo)為{CPx，2CPx，3CPx，…，T}和{CPy，2CPy，3CPy，…，T}{CPz，2CPz，3CPz，…，T}。將 min{CPx，CPy，CPz}的值存儲(chǔ)在寄存器中，在定時(shí)器中發(fā)射脈沖數(shù)，向3個(gè)軸的方向移動(dòng)坐標(biāo)的位移。中斷查詢3個(gè)軸的脈沖數(shù)，使x軸、y軸和z軸的脈沖坐標(biāo)相等完成查詢插補(bǔ)。

本文提出的插補(bǔ)算法是以x軸、y軸和z軸某一軸脈沖頻率為基準(zhǔn)，使該軸發(fā)出的脈沖數(shù)與定時(shí)器中斷嚴(yán)格同步，也讓其他兩軸同步運(yùn)動(dòng)，從而盡可能保證了插補(bǔ)軌跡是一條空間曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡。

3 插補(bǔ)實(shí)例

根據(jù)三次B樣條曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)算法，文章給出了空間三次B樣條曲線插補(bǔ)的實(shí)例。輸入型值點(diǎn)Q1=［0.636 0.742 11］，Q2=［0，0，1］，Q3=［25，30，6］，Q4=［50，50，16］;進(jìn)給速度v=10 mm/s;插補(bǔ)周期T=0.01 mm。所確定的一段三次B樣條曲線插補(bǔ)的軌跡如圖4所示，是一條空間曲線完全符合插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)的控制要求。

4 結(jié)語(yǔ)

三次B樣條曲線理論曲線和實(shí)際曲線發(fā)出脈沖數(shù)相等，無(wú)弓高等累計(jì)誤差從而說(shuō)明理論曲線和實(shí)際曲線相吻合，驗(yàn)證了該算法的正確性和合理性。該算法實(shí)現(xiàn)三軸的聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)，拓展了從平面到空間的插補(bǔ)。在DSP運(yùn)動(dòng)控制卡上實(shí)時(shí)插補(bǔ)能夠大大提高運(yùn)算速度和運(yùn)算準(zhǔn)確性，也能夠提高加工精度和加工效率，在其他數(shù)控插補(bǔ)的過(guò)程中具有借鑒意義。

［1］王婕，王寶仁，張承瑞.基于DSP的嵌入式運(yùn)動(dòng)控制器插補(bǔ)算法及誤差補(bǔ)償研究［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2007（6）:8－11.

［2］李廣濤，薛重德，侯小強(qiáng).基于TMS320F2812的三次B樣條曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)［J］.中國(guó)制造業(yè)信息化，2008，12（23）:55－57.

［3］葉伯生，楊叔子.CNC系統(tǒng)三次B樣條曲線的高速插補(bǔ)方法的研究［J］.中國(guó)機(jī)械工程，1998，9（3）:42－－44.

［4］高鐘旈.機(jī)電控制工程［M］.2版.北京:清華大學(xué)出版社，2002.

［5］施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［6］蘇奎峰，呂強(qiáng)，靳嵐，等.TMS320X281X DSP原理及 C程序開發(fā)［M］.北京:北京航天航空大學(xué)出版社，2008.

［7］Feng Jingchun，Li Yuhao，Wang Yuhan，et al.Design of a real－time adaptive NURBS interpolator with axis acceleration limit［J］.Int J Adv Manuf Technol，2010，48（1－4）:227－241.