冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性＊

蘇 超， 劉世清， 王家濤

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性＊

蘇 超， 劉世清， 王家濤

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

對(duì)剖面厚度按冪函數(shù)變化的薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了理論分析，導(dǎo)出了其等效電路;進(jìn)而由等效電路得出了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程及共振頻率表達(dá)式;探討了環(huán)形振子第1、第2階共振頻率及角位移放大系數(shù)與其半徑比的關(guān)系;給出了薄圓環(huán)振子第1、第2階共振頻率及放大系數(shù)與其半徑比的擬合關(guān)系曲線.通過(guò)有限元(FEM)模態(tài)的分析，表明理論結(jié)果與FEM仿真結(jié)果吻合，對(duì)環(huán)形扭轉(zhuǎn)振子的工程設(shè)計(jì)具有參考價(jià)值.

圓環(huán)振子;超聲扭轉(zhuǎn)振動(dòng);等效電路;振動(dòng)系統(tǒng);振動(dòng)模態(tài)

1 n次冪剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析

圖1 冪函數(shù)剖面環(huán)形振子示意圖

設(shè)圖1所示為冪函數(shù)剖面環(huán)形振子的示意圖，平均厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其半徑，即為薄圓環(huán)，厚度方向振動(dòng)可忽略，而只認(rèn)為做平面徑向運(yùn)動(dòng).設(shè)內(nèi)半徑為b，外半徑為a，厚度隨半徑變化的函數(shù)為h(r)=h0rn，h0為常數(shù)，以Ma，Mb分別表示環(huán)形振子外側(cè)、內(nèi)側(cè)輻射面的外力矩，φa，φb分別表示環(huán)形振子外側(cè)、內(nèi)側(cè)輻射面質(zhì)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移.對(duì)于任意徑向變厚度薄圓盤(環(huán))的平面切應(yīng)力問(wèn)題，由文獻(xiàn)［7］知，在簡(jiǎn)諧振動(dòng)情形下，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程為

切向力的函數(shù)表達(dá)式為

式(2)中：φ(r)表示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移;ω為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角頻率;h(r)為圓盤或環(huán)的厚度沿徑向變化函數(shù);為材料剪切模量;E為楊氏模量;σ為泊松系數(shù).

本文研究的薄圓環(huán)的厚度沿半徑變化的規(guī)律為h(r)=h0rn，h0為常數(shù)，代入式(1)可得冪函數(shù)型薄圓盤的平面扭轉(zhuǎn)振動(dòng)波動(dòng)方程

式(3)中：kt=ω/ct為薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)波數(shù);為扭轉(zhuǎn)波速.考慮到圓環(huán)作簡(jiǎn)諧扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，引入時(shí)間項(xiàng)，由式(3)可得彈性薄圓環(huán)的平面扭轉(zhuǎn)振動(dòng)波動(dòng)方程的通解，可表示為如下形式：

式(4)即為作軸對(duì)稱平面簡(jiǎn)諧扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的彈性薄圓環(huán)或彈性薄圓盤的振動(dòng)方程，其中：

式(5)～式(6)中：m=(2+n)/2;Jm(ktr)和Ym(ktr)為非整數(shù)m階的第1類和第2類貝塞爾函數(shù)

式(7)中：

2 角位移振幅放大系數(shù)和位移節(jié)圓位置

對(duì)于邊界自由的冪指數(shù)型剖面薄圓環(huán)，設(shè)其內(nèi)表面質(zhì)點(diǎn)的角位移振幅為φb，輻射面切應(yīng)力等于0，則有邊界條件

由角位移表達(dá)式(4)和切應(yīng)力表達(dá)式(7)并結(jié)合邊界條件(10)，且略去時(shí)間項(xiàng)后，得到關(guān)于待定系數(shù)C，D的方程組

由式(10)可解出待定系數(shù)C，D的表達(dá)式分別如下：

將式(12)與式(13)代入式(4)并忽略時(shí)間項(xiàng)后得到角位移分布函數(shù)為

對(duì)于角位移節(jié)圓(即角位移始終為零的位置構(gòu)成的圓環(huán))，有φ(r)=0，則

由頻率方程求得了冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)平面扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的共振頻率后，利用式(15)可確定其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移節(jié)圓的位置，位移節(jié)圓處角位移始終為零，因此可以作為支撐整個(gè)振子的位置.

設(shè)當(dāng)r=a時(shí)，φ=φa，由此得扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)為

同樣，用頻率方程求出了冪函數(shù)剖面薄圓環(huán)平面扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的共振頻率后，利用式(16)可確定其平面扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)圓環(huán)內(nèi)外表面的角位移振幅放大倍數(shù).

3 機(jī)電等效電路及頻率方程

力矩表達(dá)式為

可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

其中：

式(22)～式(23)中：z0a=ρctSa，z0b=ρctSb為扭轉(zhuǎn)特性力阻抗.由機(jī)電類比原理知，式(20)～式(21)可用圖2的T型網(wǎng)絡(luò)描述，即

從圖2的機(jī)電類比等效電路可得到頻率方程，考慮自由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的情況，即輻射面無(wú)負(fù)載，此時(shí)相當(dāng)于圖2等效電路兩端機(jī)械短路，即由此得輸入阻抗為

將式(24)～式(26)代入式(27)，并由機(jī)械共振條件——阻抗虛部等于0，得到振子共振頻率方程為

冪函數(shù)剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振動(dòng)頻率方程(28)是一個(gè)含有非整數(shù)階m的第1類和第2類貝塞爾函數(shù)的復(fù)雜超越方程，其共振頻率決定于振子的幾何參數(shù)、材料特性以及相應(yīng)的振動(dòng)階次.

圖2 冪函數(shù)剖面環(huán)形振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)機(jī)電等效電路圖

4 數(shù)值計(jì)算及有限元分析

以常用的45號(hào)鋼材料環(huán)形振子為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，剖面高度變化函數(shù)為h(r)=2rn，取n=0，1，2進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，材料特性參數(shù)為ρ=7 800 kg/m2，泊松系數(shù)σ=0.28，楊氏模量E=209 GPa.振子外徑為2a=100 mm保持不變，改變內(nèi)半徑b的值，計(jì)算中引入λ=b/a.選取ANSYS單元庫(kù)中的SOLID45結(jié)構(gòu)單元，采用掃掠網(wǎng)格對(duì)實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并采用計(jì)算精度高、速度快的分塊Lanczos法對(duì)振子進(jìn)行模態(tài)提取.當(dāng)冪指數(shù)n=2時(shí)，外邊緣高度為5 mm，有限元仿真得到圓環(huán)振子的第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振模態(tài)如圖3、圖4所示.

圖3 振子1階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)圖(n=2)

圖4 振子2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)圖(n=2)

圖5、圖6分別為冪指數(shù)n=0，1，2這3種剖面環(huán)形振子(n=0時(shí)為厚度不變的薄圓環(huán)振子，n=1時(shí)為錐形薄圓環(huán)振子)的第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率與其內(nèi)外半徑關(guān)系比的關(guān)系.從中可以看到：理論結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好.當(dāng)半徑比相同時(shí)，隨著冪指數(shù)n的增加，基頻共振頻率和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率均增大，但增大幅度不明顯，尤其是半徑比較大時(shí)，薄圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)共振頻率幾乎相同，不受n的影響，這與該薄圓環(huán)的徑向共振頻率規(guī)律不同［9］;隨著半徑比的增大，第1階和第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率均趨于無(wú)窮，即薄壁圓環(huán)彈性振子無(wú)扭轉(zhuǎn)共振模態(tài).

圖5 基頻扭轉(zhuǎn)共振頻率與半徑比關(guān)系

圖6 第2階扭轉(zhuǎn)共振頻率與半徑比關(guān)系

圖7 第1階共振扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

圖8 第2階共振扭轉(zhuǎn)角位移放大系數(shù)與半徑比關(guān)系

圖7、圖8分別為冪指數(shù)n=0，1，2這3種剖面環(huán)形振子的角位移振幅放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比的關(guān)系.從中可以看出：在半徑比相同時(shí)，隨著冪指數(shù)n的不斷增加，角位移振幅放大倍數(shù)也不斷增加;n不變時(shí)，隨著半徑比的不斷增加，角位移放大倍數(shù)越來(lái)越小，逐漸趨近于1，即薄壁圓環(huán)無(wú)扭轉(zhuǎn)放大作用.

5 結(jié)論

1)建立了厚度按n次冪函數(shù)變化的環(huán)形超聲振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)機(jī)電類比等效電路，從等效電路得出了圓環(huán)振子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率方程，并得出了聚能器的角位移振幅放大系數(shù)計(jì)算式和位移節(jié)圓計(jì)算式;給出了n=0，1，2時(shí)薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率、放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比的關(guān)系曲線，并利用有限元軟件對(duì)薄圓環(huán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行了分析，理論與有限元仿真結(jié)果吻合良好.

2)冪函數(shù)剖面薄圓盤振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的共振頻率、角位移放大系數(shù)與內(nèi)外半徑比有關(guān)，與振子的厚度無(wú)關(guān).

3)第1階和第2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率均隨著內(nèi)外半徑比的增大而增大，內(nèi)外半徑趨于一致時(shí)，均無(wú)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)諧頻，此結(jié)論可推廣至其他剖面形狀的環(huán)形振子.

4)剖面厚度冪指數(shù)n越高，環(huán)形聚能器的角位移放大系數(shù)越大，2階扭轉(zhuǎn)共振比基頻具有更大的角位移振幅放大系數(shù)，當(dāng)內(nèi)外半徑趨于相等時(shí)，圓環(huán)無(wú)振幅放大作用.

5)對(duì)于由若干單一環(huán)形振子沿徑向級(jí)聯(lián)構(gòu)成的復(fù)合換能器系統(tǒng)，利用各接觸面上力與振速連續(xù)的邊界條件，即可得到復(fù)合振動(dòng)系統(tǒng)的集成等效電路，通過(guò)電路分析法可得出頻率方程.

［1］林仲茂.超聲變幅桿的原理與設(shè)計(jì)［M］.北京：科學(xué)出版社，1987.

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An annular ultrasonic resonator with power function profile and FEM simulation for its torsional vibration

SU Chao， LIU Shiqing， WANG Jiatao

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

The torsional vibration of thin annular resonator with power function profile was studied and the equivalent circuit was derived，the resonance frequency equation and the resonance frequency were obtained.By means of the numerical methods，the relationships between resonance frequencies，torsional displacement amplitude magnification coefficient of the resonator at the first and second order vibration modal and their radii were analyzed.Verified by FEM，it was showed that the theoretical values basically agreed with the simulation results of FEM，which suggested some helpful rules for the engineering designs and calculations of annular torsional resonator.

annular resonator;ultrasonic torsional vibration;equivalent circuit;vibration system;vibration mode

O4261

A

0 引言

2011-12-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11074222);浙江師范大學(xué)研究生創(chuàng)新科研項(xiàng)目(ZC316011063)

蘇 超(1986－)，男，河北石家莊人，碩士研究生.研究方向：聲學(xué).

劉世清.E-mail：shiqingliu@zjnu.cn

1001-5051(2012)03-0284-06

(責(zé)任編輯 杜利民)

在功率超聲領(lǐng)域，需要設(shè)計(jì)各種不同形狀和振動(dòng)模式的彈性振子，以滿足不同應(yīng)用場(chǎng)合的需要，如超聲加工應(yīng)用中常利用桿形超聲變幅器來(lái)實(shí)現(xiàn)振動(dòng)位移的放大及機(jī)械阻抗的變換［1-3］;而彈性圓形、矩形板或殼常被用作換能器的輻射器件，以增大換能器的輻射面積，從而改善換能器的阻抗匹配，便于其廣泛應(yīng)用于超聲清洗等領(lǐng)域.文獻(xiàn)［4-7］研究了幾種典型的厚度變化圓盤軸對(duì)稱徑向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)情形，研究方法為解析法或數(shù)值法，求解過(guò)程比較復(fù)雜.而在功率超聲技術(shù)應(yīng)用中，利用等效電路分析彈性振子的共振頻率較為方便.文獻(xiàn)［8］討論了等厚度薄圓環(huán)振子扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振動(dòng)特性.文獻(xiàn)［9-10］討論了彈性薄圓盤振子徑向振動(dòng)的振動(dòng)特性.本文對(duì)厚度按冪函數(shù)變化的薄圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了研究，導(dǎo)出了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的等效電路，推導(dǎo)出其角位移振幅放大系數(shù)及位移節(jié)圓方程，得到了頻率方程，并對(duì)振子的基頻及第2階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性進(jìn)行了有限元分析與驗(yàn)證.